elementy oscylacyjny

Podział charakterystyk dynamicznych
Typowe elementy liniowe
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn.
Summary
Właściwości dynamiczne elementów
Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe
dr inż. Grzegorz Sieklucki1
1
Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
PODSTAWY AUTOMATYKI
(Teoria sterowania i podstawy regulacji)
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych
Typowe elementy liniowe
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn.
Summary
Zakres materiału
1
Podział charakterystyk dynamicznych
Charakterystyki czasowe
Charakterystyki częstotliwościowe
2
Typowe elementy liniowe
Element proporcjonalny
Element oscylacyjny
Odpowiedzi skokowe
Charakterystyki częstotliwościowe
Stability (Asymptotic Stability)
Discretization of Continuous Time System
3
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych
Typowe elementy liniowe
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn.
Summary
Zakres materiału
1
Podział charakterystyk dynamicznych
Charakterystyki czasowe
Charakterystyki częstotliwościowe
2
Typowe elementy liniowe
Element proporcjonalny
Element oscylacyjny
Odpowiedzi skokowe
Charakterystyki częstotliwościowe
Stability (Asymptotic Stability)
Discretization of Continuous Time System
3
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych
Typowe elementy liniowe
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn.
Summary
Zakres materiału
1
Podział charakterystyk dynamicznych
Charakterystyki czasowe
Charakterystyki częstotliwościowe
2
Typowe elementy liniowe
Element proporcjonalny
Element oscylacyjny
Odpowiedzi skokowe
Charakterystyki częstotliwościowe
Stability (Asymptotic Stability)
Discretization of Continuous Time System
3
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych
Typowe elementy liniowe Charakterystyki czasowe
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Charakterystyki częstotliwościowe
Summary
Zakres materiału
1
Podział charakterystyk dynamicznych
Charakterystyki czasowe
Charakterystyki częstotliwościowe
2
Typowe elementy liniowe
Element proporcjonalny
Element oscylacyjny
Odpowiedzi skokowe
Charakterystyki częstotliwościowe
Stability (Asymptotic Stability)
Discretization of Continuous Time System
3
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych
Typowe elementy liniowe Charakterystyki czasowe
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Charakterystyki częstotliwościowe
Summary
Charakterystyki czasowe
-1
y(t) = L {y(s)}, y(s) = G (s)u(s) (1)
gdzie u(s) jest:
Um
wymuszeniem skokowym u(t) = Um (t) - u(s) = - odpowiedz
s
skokowa,
impulsem Diraca u(t) = Um�(t) - u(s) = Um - odpowiedz impulsowa.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych
Typowe elementy liniowe Charakterystyki czasowe
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Charakterystyki częstotliwościowe
Summary
Charakterystyki czasowe
-1
y(t) = L {y(s)}, y(s) = G (s)u(s) (1)
gdzie u(s) jest:
Um
wymuszeniem skokowym u(t) = Um (t) - u(s) = - odpowiedz
s
skokowa,
impulsem Diraca u(t) = Um�(t) - u(s) = Um - odpowiedz impulsowa.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych
Typowe elementy liniowe Charakterystyki czasowe
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Charakterystyki częstotliwościowe
Summary
Charakterystyki czasowe
-1
y(t) = L {y(s)}, y(s) = G (s)u(s) (1)
gdzie u(s) jest:
Um
wymuszeniem skokowym u(t) = Um (t) - u(s) = - odpowiedz
s
skokowa,
impulsem Diraca u(t) = Um�(t) - u(s) = Um - odpowiedz impulsowa.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych
Typowe elementy liniowe Charakterystyki czasowe
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Charakterystyki częstotliwościowe
Summary
Zakres materiału
1
Podział charakterystyk dynamicznych
Charakterystyki czasowe
Charakterystyki częstotliwościowe
2
Typowe elementy liniowe
Element proporcjonalny
Element oscylacyjny
Odpowiedzi skokowe
Charakterystyki częstotliwościowe
Stability (Asymptotic Stability)
Discretization of Continuous Time System
3
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych
Typowe elementy liniowe Charakterystyki czasowe
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Charakterystyki częstotliwościowe
Summary
Charakterystyki częstotliwościowe
Przy analizie układów dynamicznych pobudzanych sygnałami sinusoidalnymi
(okresowymi) posługujemy się transmitancją widmową:
G(j�) = G(s) |s=j� (2)
Sygnałem wejściowym obiektu jest u(t) = A1(�) sin(�t), a wyjściowym
A2(�) sin(�t + �(�)).
Poprzez transformację Laplace a uzyskuje się:
A2(�)
G (j�) = ej�(�) = A(�)ej�(�) = P(�) + jQ(�) (3)
A1(�)
Podział charakterystyk
1
A(�) = |G (j�)| charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa,
2
�(�) = arg G (j�) charakterystyka fazowo-częstotliwościowa,
3
G(j�) = P(�) + jQ(�) charakterystyka amplitudowo-fazowa,
4
Lm(�) = 20 log A(�) charakterystyka logarytmiczna
amplitudowo-częstotliwościowa.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych
Typowe elementy liniowe Charakterystyki czasowe
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Charakterystyki częstotliwościowe
Summary
Charakterystyki częstotliwościowe
Przy analizie układów dynamicznych pobudzanych sygnałami sinusoidalnymi
(okresowymi) posługujemy się transmitancją widmową:
G(j�) = G(s) |s=j� (2)
Sygnałem wejściowym obiektu jest u(t) = A1(�) sin(�t), a wyjściowym
A2(�) sin(�t + �(�)).
Poprzez transformację Laplace a uzyskuje się:
A2(�)
G (j�) = ej�(�) = A(�)ej�(�) = P(�) + jQ(�) (3)
A1(�)
Podział charakterystyk
1
A(�) = |G (j�)| charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa,
2
�(�) = arg G (j�) charakterystyka fazowo-częstotliwościowa,
3
G(j�) = P(�) + jQ(�) charakterystyka amplitudowo-fazowa,
4
Lm(�) = 20 log A(�) charakterystyka logarytmiczna
amplitudowo-częstotliwościowa.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych
Typowe elementy liniowe Charakterystyki czasowe
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Charakterystyki częstotliwościowe
Summary
Charakterystyki częstotliwościowe
Przy analizie układów dynamicznych pobudzanych sygnałami sinusoidalnymi
(okresowymi) posługujemy się transmitancją widmową:
G(j�) = G(s) |s=j� (2)
Sygnałem wejściowym obiektu jest u(t) = A1(�) sin(�t), a wyjściowym
A2(�) sin(�t + �(�)).
Poprzez transformację Laplace a uzyskuje się:
A2(�)
G (j�) = ej�(�) = A(�)ej�(�) = P(�) + jQ(�) (3)
A1(�)
Podział charakterystyk
1
A(�) = |G (j�)| charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa,
2
�(�) = arg G (j�) charakterystyka fazowo-częstotliwościowa,
3
G(j�) = P(�) + jQ(�) charakterystyka amplitudowo-fazowa,
4
Lm(�) = 20 log A(�) charakterystyka logarytmiczna
amplitudowo-częstotliwościowa.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych
Typowe elementy liniowe Charakterystyki czasowe
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Charakterystyki częstotliwościowe
Summary
Charakterystyki częstotliwościowe
Przy analizie układów dynamicznych pobudzanych sygnałami sinusoidalnymi
(okresowymi) posługujemy się transmitancją widmową:
G(j�) = G(s) |s=j� (2)
Sygnałem wejściowym obiektu jest u(t) = A1(�) sin(�t), a wyjściowym
A2(�) sin(�t + �(�)).
Poprzez transformację Laplace a uzyskuje się:
A2(�)
G (j�) = ej�(�) = A(�)ej�(�) = P(�) + jQ(�) (3)
A1(�)
Podział charakterystyk
1
A(�) = |G (j�)| charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa,
2
�(�) = arg G (j�) charakterystyka fazowo-częstotliwościowa,
3
G(j�) = P(�) + jQ(�) charakterystyka amplitudowo-fazowa,
4
Lm(�) = 20 log A(�) charakterystyka logarytmiczna
amplitudowo-częstotliwościowa.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych
Typowe elementy liniowe Charakterystyki czasowe
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Charakterystyki częstotliwościowe
Summary
Charakterystyki częstotliwościowe
Przy analizie układów dynamicznych pobudzanych sygnałami sinusoidalnymi
(okresowymi) posługujemy się transmitancją widmową:
G(j�) = G(s) |s=j� (2)
Sygnałem wejściowym obiektu jest u(t) = A1(�) sin(�t), a wyjściowym
A2(�) sin(�t + �(�)).
Poprzez transformację Laplace a uzyskuje się:
A2(�)
G (j�) = ej�(�) = A(�)ej�(�) = P(�) + jQ(�) (3)
A1(�)
Podział charakterystyk
1
A(�) = |G (j�)| charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa,
2
�(�) = arg G (j�) charakterystyka fazowo-częstotliwościowa,
3
G(j�) = P(�) + jQ(�) charakterystyka amplitudowo-fazowa,
4
Lm(�) = 20 log A(�) charakterystyka logarytmiczna
amplitudowo-częstotliwościowa.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych
Typowe elementy liniowe Charakterystyki czasowe
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Charakterystyki częstotliwościowe
Summary
Charakterystyki częstotliwościowe
Przy analizie układów dynamicznych pobudzanych sygnałami sinusoidalnymi
(okresowymi) posługujemy się transmitancją widmową:
G(j�) = G(s) |s=j� (2)
Sygnałem wejściowym obiektu jest u(t) = A1(�) sin(�t), a wyjściowym
A2(�) sin(�t + �(�)).
Poprzez transformację Laplace a uzyskuje się:
A2(�)
G (j�) = ej�(�) = A(�)ej�(�) = P(�) + jQ(�) (3)
A1(�)
Podział charakterystyk
1
A(�) = |G (j�)| charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa,
2
�(�) = arg G (j�) charakterystyka fazowo-częstotliwościowa,
3
G(j�) = P(�) + jQ(�) charakterystyka amplitudowo-fazowa,
4
Lm(�) = 20 log A(�) charakterystyka logarytmiczna
amplitudowo-częstotliwościowa.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych
Typowe elementy liniowe Charakterystyki czasowe
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Charakterystyki częstotliwościowe
Summary
Charakterystyki częstotliwościowe
Przy analizie układów dynamicznych pobudzanych sygnałami sinusoidalnymi
(okresowymi) posługujemy się transmitancją widmową:
G(j�) = G(s) |s=j� (2)
Sygnałem wejściowym obiektu jest u(t) = A1(�) sin(�t), a wyjściowym
A2(�) sin(�t + �(�)).
Poprzez transformację Laplace a uzyskuje się:
A2(�)
G (j�) = ej�(�) = A(�)ej�(�) = P(�) + jQ(�) (3)
A1(�)
Podział charakterystyk
1
A(�) = |G (j�)| charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa,
2
�(�) = arg G (j�) charakterystyka fazowo-częstotliwościowa,
3
G(j�) = P(�) + jQ(�) charakterystyka amplitudowo-fazowa,
4
Lm(�) = 20 log A(�) charakterystyka logarytmiczna
amplitudowo-częstotliwościowa.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych
Typowe elementy liniowe Charakterystyki czasowe
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Charakterystyki częstotliwościowe
Summary
Charakterystyki częstotliwościowe
Przy analizie układów dynamicznych pobudzanych sygnałami sinusoidalnymi
(okresowymi) posługujemy się transmitancją widmową:
G(j�) = G(s) |s=j� (2)
Sygnałem wejściowym obiektu jest u(t) = A1(�) sin(�t), a wyjściowym
A2(�) sin(�t + �(�)).
Poprzez transformację Laplace a uzyskuje się:
A2(�)
G (j�) = ej�(�) = A(�)ej�(�) = P(�) + jQ(�) (3)
A1(�)
Podział charakterystyk
1
A(�) = |G (j�)| charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa,
2
�(�) = arg G (j�) charakterystyka fazowo-częstotliwościowa,
3
G(j�) = P(�) + jQ(�) charakterystyka amplitudowo-fazowa,
4
Lm(�) = 20 log A(�) charakterystyka logarytmiczna
amplitudowo-częstotliwościowa.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych
Typowe elementy liniowe Charakterystyki czasowe
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Charakterystyki częstotliwościowe
Summary
Charakterystyki częstotliwościowe
Przy analizie układów dynamicznych pobudzanych sygnałami sinusoidalnymi
(okresowymi) posługujemy się transmitancją widmową:
G(j�) = G(s) |s=j� (2)
Sygnałem wejściowym obiektu jest u(t) = A1(�) sin(�t), a wyjściowym
A2(�) sin(�t + �(�)).
Poprzez transformację Laplace a uzyskuje się:
A2(�)
G (j�) = ej�(�) = A(�)ej�(�) = P(�) + jQ(�) (3)
A1(�)
Podział charakterystyk
1
A(�) = |G (j�)| charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa,
2
�(�) = arg G (j�) charakterystyka fazowo-częstotliwościowa,
3
G(j�) = P(�) + jQ(�) charakterystyka amplitudowo-fazowa,
4
Lm(�) = 20 log A(�) charakterystyka logarytmiczna
amplitudowo-częstotliwościowa.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych
Typowe elementy liniowe Charakterystyki czasowe
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Charakterystyki częstotliwościowe
Summary
Charakterystyki częstotliwościowe
Przy analizie układów dynamicznych pobudzanych sygnałami sinusoidalnymi
(okresowymi) posługujemy się transmitancją widmową:
G(j�) = G(s) |s=j� (2)
Sygnałem wejściowym obiektu jest u(t) = A1(�) sin(�t), a wyjściowym
A2(�) sin(�t + �(�)).
Poprzez transformację Laplace a uzyskuje się:
A2(�)
G (j�) = ej�(�) = A(�)ej�(�) = P(�) + jQ(�) (3)
A1(�)
Podział charakterystyk
1
A(�) = |G (j�)| charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa,
2
�(�) = arg G (j�) charakterystyka fazowo-częstotliwościowa,
3
G(j�) = P(�) + jQ(�) charakterystyka amplitudowo-fazowa,
4
Lm(�) = 20 log A(�) charakterystyka logarytmiczna
amplitudowo-częstotliwościowa.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Zakres materiału
1
Podział charakterystyk dynamicznych
Charakterystyki czasowe
Charakterystyki częstotliwościowe
2
Typowe elementy liniowe
Element proporcjonalny
Element oscylacyjny
Odpowiedzi skokowe
Charakterystyki częstotliwościowe
Stability (Asymptotic Stability)
Discretization of Continuous Time System
3
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Element proporcjonalny
y(t) = Ku(t)
G (s) = K (4)
y(t) = Ku0 (t) odpowiez skokowa
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Zakres materiału
1
Podział charakterystyk dynamicznych
Charakterystyki czasowe
Charakterystyki częstotliwościowe
2
Typowe elementy liniowe
Element proporcjonalny
Element oscylacyjny
Odpowiedzi skokowe
Charakterystyki częstotliwościowe
Stability (Asymptotic Stability)
Discretization of Continuous Time System
3
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Element oscylacyjny
T0 -okres drgań naturalnych nietłumionych (własnych), drgań które pojawiłyby
się przy braku tłumienia (�=0)
� - względny współczynnik tłumienia
" " "
2
y
T0 y (t) + 2T0� (t) + y (t) = Ku (t) (5a)
" " "
1
2 2
y y
�0 = �! (t) + 2�0� (t) + �0y (t) = K�0u (t) (5b)
T0
y (s) L (s) K
G (s) = = = (5c)
2
U (s) M (s) T0 s2 + 2�T0s + 1
2
y (s) L (s) K �0
G (s) = = = (5d)
2
U (s) M (s) s2 + 2��0s + �0
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Element oscylacyjny
T0 -okres drgań naturalnych nietłumionych (własnych), drgań które pojawiłyby
się przy braku tłumienia (�=0)
� - względny współczynnik tłumienia
" " "
2
y
T0 y (t) + 2T0� (t) + y (t) = Ku (t) (5a)
" " "
1
2 2
y y
�0 = �! (t) + 2�0� (t) + �0y (t) = K�0u (t) (5b)
T0
y (s) L (s) K
G (s) = = = (5c)
2
U (s) M (s) T0 s2 + 2�T0s + 1
2
y (s) L (s) K �0
G (s) = = = (5d)
2
U (s) M (s) s2 + 2��0s + �0
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Element oscylacyjny
T0 -okres drgań naturalnych nietłumionych (własnych), drgań które pojawiłyby
się przy braku tłumienia (�=0)
� - względny współczynnik tłumienia
" " "
2
y
T0 y (t) + 2T0� (t) + y (t) = Ku (t) (5a)
" " "
1
2 2
y y
�0 = �! (t) + 2�0� (t) + �0y (t) = K�0u (t) (5b)
T0
y (s) L (s) K
G (s) = = = (5c)
2
U (s) M (s) T0 s2 + 2�T0s + 1
2
y (s) L (s) K �0
G (s) = = = (5d)
2
U (s) M (s) s2 + 2��0s + �0
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Element oscylacyjny
T0 -okres drgań naturalnych nietłumionych (własnych), drgań które pojawiłyby
się przy braku tłumienia (�=0)
� - względny współczynnik tłumienia
" " "
2
y
T0 y (t) + 2T0� (t) + y (t) = Ku (t) (5a)
" " "
1
2 2
y y
�0 = �! (t) + 2�0� (t) + �0y (t) = K�0u (t) (5b)
T0
y (s) L (s) K
G (s) = = = (5c)
2
U (s) M (s) T0 s2 + 2�T0s + 1
2
y (s) L (s) K �0
G (s) = = = (5d)
2
U (s) M (s) s2 + 2��0s + �0
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Element oscylacyjny
T0 -okres drgań naturalnych nietłumionych (własnych), drgań które pojawiłyby
się przy braku tłumienia (�=0)
� - względny współczynnik tłumienia
" " "
2
y
T0 y (t) + 2T0� (t) + y (t) = Ku (t) (5a)
" " "
1
2 2
y y
�0 = �! (t) + 2�0� (t) + �0y (t) = K�0u (t) (5b)
T0
y (s) L (s) K
G (s) = = = (5c)
2
U (s) M (s) T0 s2 + 2�T0s + 1
2
y (s) L (s) K �0
G (s) = = = (5d)
2
U (s) M (s) s2 + 2��0s + �0
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Element oscylacyjny
T0 -okres drgań naturalnych nietłumionych (własnych), drgań które pojawiłyby
się przy braku tłumienia (�=0)
� - względny współczynnik tłumienia
" " "
2
y
T0 y (t) + 2T0� (t) + y (t) = Ku (t) (5a)
" " "
1
2 2
y y
�0 = �! (t) + 2�0� (t) + �0y (t) = K�0u (t) (5b)
T0
y (s) L (s) K
G (s) = = = (5c)
2
U (s) M (s) T0 s2 + 2�T0s + 1
2
y (s) L (s) K �0
G (s) = = = (5d)
2
U (s) M (s) s2 + 2��0s + �0
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Odpowiedzi skokowe 0 < � < 1
Ku0�0 Ku0�0
u0
y (s)u= = =
2
2
s
s (s2 + 2��0s + �0)
s (s + ��0)2 + �0 1 - �2
�ł łł
A B�0 1 - �2 C (s + ��0)
śł
= Ku0 �ł + +
�ł �ł
s
(s + ��0)2 + (�0 1 - �2)2 (s + ��0)2 + �0 1 - �2 2
�p = �0 1 - �2- pulsacja drgań własnych
"
1-�2
� = atg - przesunięcie fazowe
�
a = ��0
�
"
y (t)u=u0 (t) = Ku0 1 - e-��0t cos (�pt) + e-��0t sin (�pt) (t) �!
1-�2
1
�! Ku0 (1 - "
e-��0t sin (�pt + �) (t)
1-�2
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Odpowiedzi skokowe 0 < � < 1
Ku0�0 Ku0�0
u0
y (s)u= = =
2
2
s
s (s2 + 2��0s + �0)
s (s + ��0)2 + �0 1 - �2
�ł łł
A B�0 1 - �2 C (s + ��0)
śł
= Ku0 �ł + +
�ł �ł
s
(s + ��0)2 + (�0 1 - �2)2 (s + ��0)2 + �0 1 - �2 2
�p = �0 1 - �2- pulsacja drgań własnych
"
1-�2
� = atg - przesunięcie fazowe
�
a = ��0
�
"
y (t)u=u0 (t) = Ku0 1 - e-��0t cos (�pt) + e-��0t sin (�pt) (t) �!
1-�2
1
�! Ku0 (1 - "
e-��0t sin (�pt + �) (t)
1-�2
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Odpowiedzi skokowe 0 < � < 1
Ku0�0 Ku0�0
u0
y (s)u= = =
2
2
s
s (s2 + 2��0s + �0)
s (s + ��0)2 + �0 1 - �2
�ł łł
A B�0 1 - �2 C (s + ��0)
śł
= Ku0 �ł + +
�ł �ł
s
(s + ��0)2 + (�0 1 - �2)2 (s + ��0)2 + �0 1 - �2 2
�p = �0 1 - �2- pulsacja drgań własnych
"
1-�2
� = atg - przesunięcie fazowe
�
a = ��0
�
"
y (t)u=u0 (t) = Ku0 1 - e-��0t cos (�pt) + e-��0t sin (�pt) (t) �!
1-�2
1
�! Ku0 (1 - "
e-��0t sin (�pt + �) (t)
1-�2
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Odpowiedzi skokowe 0 < � < 1
Obwiednie odpowiedzi
skokowej:
1
"
h1 (t) = Ku0 1 + e-��0t
1-�2
1
h2 (t) = Ku0 1 - "
e-��0t
1-�2
� = 0.1
� = 0.2
� = 0.5
� = 0.707
� = 0.9
� = 0.99
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Odpowiedzi skokowe 0 < � < 1
Obwiednie odpowiedzi
skokowej:
1
"
h1 (t) = Ku0 1 + e-��0t
1-�2
1
h2 (t) = Ku0 1 - "
e-��0t
1-�2
� = 0.1
� = 0.2
� = 0.5
� = 0.707
� = 0.9
� = 0.99
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Odpowiedzi skokowe 0 < � < 1
2
K�0
Odpowiedz skokowa obiektu G(s) =
2
s2+2��0s+�0
6
Obwiednie odpowiedzi
skokowej:
K= 3,xi=0.1,omega0=2
5
1
"
h1 (t) = Ku0 1 + e-��04t
1-�2
1
h2 (t) = Ku0 1 - "
e-��03t
1-�2
� = 0.1
Bieguny G(s)
2
� = 0.2
2
1
� = 0.5
0
� = 0.707
-2
0
� = 0.9
-2 0 2
Re
� = 0.99 -1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
t [s]
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
y
Im
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Odpowiedzi skokowe 0 < � < 1
Obwiednie odpowiedzi
skokowej:
1
"
h1 (t) = Ku0 1 + e-��0t
1-�2
1
h2 (t) = Ku0 1 - "
e-��0t
1-�2
� = 0.1
� = 0.2
� = 0.5
� = 0.707
� = 0.9
� = 0.99
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Odpowiedzi skokowe 0 < � < 1
2
K�0
Odpowiedz skokowa obiektu G(s) =
2
s2+2��0s+�0
6
Obwiednie odpowiedzi
skokowej:
K= 3,xi=0.2,omega0=2
5
1
"
h1 (t) = Ku0 1 + e-��04t
1-�2
1
h2 (t) = Ku0 1 - "
e-��03t
1-�2
� = 0.1
Bieguny G(s)
2
� = 0.2
2
1
� = 0.5
0
� = 0.707
-2
0
� = 0.9
-2 0 2
Re
� = 0.99 -1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
t [s]
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
y
Im
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Odpowiedzi skokowe 0 < � < 1
Obwiednie odpowiedzi
skokowej:
1
"
h1 (t) = Ku0 1 + e-��0t
1-�2
1
h2 (t) = Ku0 1 - "
e-��0t
1-�2
� = 0.1
� = 0.2
� = 0.5
� = 0.707
� = 0.9
� = 0.99
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Odpowiedzi skokowe 0 < � < 1
2
K�0
Odpowiedz skokowa obiektu G(s) =
2
s2+2��0s+�0
6
Obwiednie odpowiedzi
skokowej:
K= 3,xi=0.5,omega0=2
5
1
"
h1 (t) = Ku0 1 + e-��04t
1-�2
1
h2 (t) = Ku0 1 - "
e-��03t
1-�2
� = 0.1
Bieguny G(s)
2
� = 0.2
2
1
� = 0.5
0
� = 0.707
-2
0
� = 0.9
-2 0 2
Re
� = 0.99 -1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
t [s]
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
y
Im
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Odpowiedzi skokowe 0 < � < 1
Obwiednie odpowiedzi
skokowej:
1
"
h1 (t) = Ku0 1 + e-��0t
1-�2
1
h2 (t) = Ku0 1 - "
e-��0t
1-�2
� = 0.1
� = 0.2
� = 0.5
� = 0.707
� = 0.9
� = 0.99
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Odpowiedzi skokowe 0 < � < 1
2
K�0
Odpowiedz skokowa obiektu G(s) =
2
s2+2��0s+�0
6
Obwiednie odpowiedzi
skokowej:
K= 3,xi=0.7,omega0=2
5
1
"
h1 (t) = Ku0 1 + e-��04t
1-�2
1
h2 (t) = Ku0 1 - "
e-��03t
1-�2
� = 0.1
Bieguny G(s)
2
� = 0.2
2
1
� = 0.5
0
� = 0.707
-2
0
� = 0.9
-2 0 2
Re
� = 0.99 -1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
t [s]
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
y
Im
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Odpowiedzi skokowe 0 < � < 1
Obwiednie odpowiedzi
skokowej:
1
"
h1 (t) = Ku0 1 + e-��0t
1-�2
1
h2 (t) = Ku0 1 - "
e-��0t
1-�2
� = 0.1
� = 0.2
� = 0.5
� = 0.707
� = 0.9
� = 0.99
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Odpowiedzi skokowe 0 < � < 1
2
K�0
Odpowiedz skokowa obiektu G(s) =
2
s2+2��0s+�0
6
Obwiednie odpowiedzi
skokowej:
K= 3,xi=0.9,omega0=2
5
1
"
h1 (t) = Ku0 1 + e-��04t
1-�2
1
h2 (t) = Ku0 1 - "
e-��03t
1-�2
� = 0.1
Bieguny G(s)
2
� = 0.2
2
1
� = 0.5
0
� = 0.707
-2
0
� = 0.9
-2 0 2
Re
� = 0.99 -1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
t [s]
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
y
Im
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Odpowiedzi skokowe 0 < � < 1
Obwiednie odpowiedzi
skokowej:
1
"
h1 (t) = Ku0 1 + e-��0t
1-�2
1
h2 (t) = Ku0 1 - "
e-��0t
1-�2
� = 0.1
� = 0.2
� = 0.5
� = 0.707
� = 0.9
� = 0.99
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Odpowiedzi skokowe 0 < � < 1
2
K�0
Odpowiedz skokowa obiektu G(s) =
2
s2+2��0s+�0
6
Obwiednie odpowiedzi
skokowej:
K= 3,xi=1.0,omega0=2
5
1
"
h1 (t) = Ku0 1 + e-��04t
1-�2
1
h2 (t) = Ku0 1 - "
e-��03t
1-�2
� = 0.1
Bieguny G(s)
2
� = 0.2
2
1
� = 0.5
0
� = 0.707
-2
0
� = 0.9
-2 0 2
Re
� = 0.99 -1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
t [s]
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
y
Im
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Odpowiedzi skokowe zmienne �
2
K�0
Odpowiedz skokowa obiektu G(s) =
2
s2+2��0s+�0
6
5
4
3
Bieguny G(s)
2
2
1
0
-2
0
-2 0 2
Re
-1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
t [s]
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
y
Im
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Odpowiedzi skokowe zmienne �0
2
K�0
Odpowiedz skokowa obiektu G(s) =
2
s2+2��0s+�0
6
�0 = 0.6
5
�0 = 0.8
�0 = 1.2
�0 = 1.8
4
�0 = 2.5
3
2
Bieguny G(s)
2
1
0
-2
0
-2 0 2
Re
-1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
t [s]
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
y
Im
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Charakterystyki częstotliwościowe 0 < � < 1
K s=j� K
G(s) = - G (j�) =
2
2
T0 s2 + 2�T0s + 1
T0 (j�)2 + 2�T0j� + 1
2
K 1 - �2T0
-2KT0��
= +j
2 2 2 2
(1 - �2T0 )2 + 4�2T0 �2 (1 - �2T0 )2 + 4�2T0 �2
P(�) Q(�)
K
A (�) = P2 (�) + Q2 (�) =
2
1-�2T0 +4�2T0 �2
( )2 2
2 2
Lm (�) = 20 log A (�) = 20 log K - 20 log (1 - �2T0 )2 + 4�2T0 �2
Q(�) 2T0�� 2T0��
� (�) = atg = atg - = -atg
2 2
P(�) 1-�2T0 1-�2T0
"
"K dla � = �r = 1-2�2
max [A (�)] =
To
2� 1-�2
"
2
�r- pulsacja rezonansowa pojawia się gdy 0 < � <
2
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Charakterystyki częstotliwościowe 0 < � < 1
K s=j� K
G(s) = - G (j�) =
2
2
T0 s2 + 2�T0s + 1
T0 (j�)2 + 2�T0j� + 1
2
K 1 - �2T0
-2KT0��
= +j
2 2 2 2
(1 - �2T0 )2 + 4�2T0 �2 (1 - �2T0 )2 + 4�2T0 �2
P(�) Q(�)
K
A (�) = P2 (�) + Q2 (�) =
2
1-�2T0 +4�2T0 �2
( )2 2
2 2
Lm (�) = 20 log A (�) = 20 log K - 20 log (1 - �2T0 )2 + 4�2T0 �2
Q(�) 2T0�� 2T0��
� (�) = atg = atg - = -atg
2 2
P(�) 1-�2T0 1-�2T0
"
"K dla � = �r = 1-2�2
max [A (�)] =
To
2� 1-�2
"
2
�r- pulsacja rezonansowa pojawia się gdy 0 < � <
2
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Charakterystyki częstotliwościowe 0 < � < 1
K s=j� K
G(s) = - G (j�) =
2
2
T0 s2 + 2�T0s + 1
T0 (j�)2 + 2�T0j� + 1
2
K 1 - �2T0
-2KT0��
= +j
2 2 2 2
(1 - �2T0 )2 + 4�2T0 �2 (1 - �2T0 )2 + 4�2T0 �2
P(�) Q(�)
K
A (�) = P2 (�) + Q2 (�) =
2
1-�2T0 +4�2T0 �2
( )2 2
2 2
Lm (�) = 20 log A (�) = 20 log K - 20 log (1 - �2T0 )2 + 4�2T0 �2
Q(�) 2T0�� 2T0��
� (�) = atg = atg - = -atg
2 2
P(�) 1-�2T0 1-�2T0
"
"K dla � = �r = 1-2�2
max [A (�)] =
To
2� 1-�2
"
2
�r- pulsacja rezonansowa pojawia się gdy 0 < � <
2
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Charakterystyki częstotliwościowe 0 < � < 1
K s=j� K
G(s) = - G (j�) =
2
2
T0 s2 + 2�T0s + 1
T0 (j�)2 + 2�T0j� + 1
2
K 1 - �2T0
-2KT0��
= +j
2 2 2 2
(1 - �2T0 )2 + 4�2T0 �2 (1 - �2T0 )2 + 4�2T0 �2
P(�) Q(�)
K
A (�) = P2 (�) + Q2 (�) =
2
1-�2T0 +4�2T0 �2
( )2 2
2 2
Lm (�) = 20 log A (�) = 20 log K - 20 log (1 - �2T0 )2 + 4�2T0 �2
Q(�) 2T0�� 2T0��
� (�) = atg = atg - = -atg
2 2
P(�) 1-�2T0 1-�2T0
"
"K dla � = �r = 1-2�2
max [A (�)] =
To
2� 1-�2
"
2
�r- pulsacja rezonansowa pojawia się gdy 0 < � <
2
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Charakterystyki częstotliwościowe 0 < � < 1
K s=j� K
G(s) = - G (j�) =
2
2
T0 s2 + 2�T0s + 1
T0 (j�)2 + 2�T0j� + 1
2
K 1 - �2T0
-2KT0��
= +j
2 2 2 2
(1 - �2T0 )2 + 4�2T0 �2 (1 - �2T0 )2 + 4�2T0 �2
P(�) Q(�)
K
A (�) = P2 (�) + Q2 (�) =
2
1-�2T0 +4�2T0 �2
( )2 2
2 2
Lm (�) = 20 log A (�) = 20 log K - 20 log (1 - �2T0 )2 + 4�2T0 �2
Q(�) 2T0�� 2T0��
� (�) = atg = atg - = -atg
2 2
P(�) 1-�2T0 1-�2T0
"
"K dla � = �r = 1-2�2
max [A (�)] =
To
2� 1-�2
"
2
�r- pulsacja rezonansowa pojawia się gdy 0 < � <
2
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Charakterystyki częstotliwościowe 0 < � < 1
K s=j� K
G(s) = - G (j�) =
2
2
T0 s2 + 2�T0s + 1
T0 (j�)2 + 2�T0j� + 1
2
K 1 - �2T0
-2KT0��
= +j
2 2 2 2
(1 - �2T0 )2 + 4�2T0 �2 (1 - �2T0 )2 + 4�2T0 �2
P(�) Q(�)
K
A (�) = P2 (�) + Q2 (�) =
2
1-�2T0 +4�2T0 �2
( )2 2
2 2
Lm (�) = 20 log A (�) = 20 log K - 20 log (1 - �2T0 )2 + 4�2T0 �2
Q(�) 2T0�� 2T0��
� (�) = atg = atg - = -atg
2 2
P(�) 1-�2T0 1-�2T0
"
"K dla � = �r = 1-2�2
max [A (�)] =
To
2� 1-�2
"
2
�r- pulsacja rezonansowa pojawia się gdy 0 < � <
2
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Charakterystyki Bodego 0 < � < 1
Wykorzystanie
zależności LM(�) i �(�)
� = 0.02
� = 0.1
� = 0.3
� = 0.5
� = 0.707
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Charakterystyki Bodego 0 < � < 1
Wykorzystanie
zależności LM(�) i �(�)
� = 0.02
� = 0.1
� = 0.3
� = 0.5
� = 0.707
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Charakterystyki Bodego 0 < � < 1
Bode Diagram
40
30
20
10
Wykorzystanie
zależności LM(�) i �(�)
0
� = 0.02 -10
-20
� = 0.1
0
� = 0.3
-45
� = 0.5
� = 0.707
-90
-135
-180
-1 0 1
10 10 10
Frequency (rad/s)
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Magnitude (dB)
Phase (deg)
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Charakterystyki Bodego 0 < � < 1
Wykorzystanie
zależności LM(�) i �(�)
� = 0.02
� = 0.1
� = 0.3
� = 0.5
� = 0.707
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Charakterystyki Bodego 0 < � < 1
Bode Diagram
40
20
0
Wykorzystanie
-20
zależności LM(�) i �(�)
-40
� = 0.02
-60
� = 0.1
0
� = 0.3
-30
� = 0.5
-60
� = 0.707
-90
-120
-150
-180
-1 0 1 2
10 10 10 10
Frequency (rad/s)
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Magnitude (dB)
Phase (deg)
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Charakterystyki Bodego 0 < � < 1
Wykorzystanie
zależności LM(�) i �(�)
� = 0.02
� = 0.1
� = 0.3
� = 0.5
� = 0.707
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Charakterystyki Bodego 0 < � < 1
Bode Diagram
20
10
0
-10
-20
Wykorzystanie
-30
zależności LM(�) i �(�)
-40
� = 0.02
-50
-60
� = 0.1
0
� = 0.3
-30
� = 0.5
-60
� = 0.707
-90
-120
-150
-180
-1 0 1 2
10 10 10 10
Frequency (rad/s)
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Magnitude (dB)
Phase (deg)
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Charakterystyki Bodego 0 < � < 1
Wykorzystanie
zależności LM(�) i �(�)
� = 0.02
� = 0.1
� = 0.3
� = 0.5
� = 0.707
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Charakterystyki Bodego 0 < � < 1
Bode Diagram
20
10
0
-10
-20
Wykorzystanie
-30
zależności LM(�) i �(�)
-40
� = 0.02
-50
-60
� = 0.1
0
� = 0.3
-30
� = 0.5
-60
� = 0.707
-90
-120
-150
-180
-1 0 1 2
10 10 10 10
Frequency (rad/s)
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Magnitude (dB)
Phase (deg)
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Charakterystyki Bodego 0 < � < 1
Wykorzystanie
zależności LM(�) i �(�)
� = 0.02
� = 0.1
� = 0.3
� = 0.5
� = 0.707
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Charakterystyki Bodego 0 < � < 1
Bode Diagram
10
0
-10
-20
Wykorzystanie
-30
zależności LM(�) i �(�)
-40
� = 0.02
-50
-60
� = 0.1
0
� = 0.3
-30
� = 0.5
-60
� = 0.707
-90
-120
-150
-180
-1 0 1 2
10 10 10 10
Frequency (rad/s)
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Magnitude (dB)
Phase (deg)
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Charakterystyki Bodego zmienne �
Bode Diagram
10
0
0
-45
-90
-135
-180
0
10
Frequency (rad/s)Właściwości dynamiczne elementów
G. SIEKLUCKI
Magnitude (dB)
Phase (deg)
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Zakres materiału
1
Podział charakterystyk dynamicznych
Charakterystyki czasowe
Charakterystyki częstotliwościowe
2
Typowe elementy liniowe
Element proporcjonalny
Element oscylacyjny
Odpowiedzi skokowe
Charakterystyki częstotliwościowe
Stability (Asymptotic Stability)
Discretization of Continuous Time System
3
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Stability (Asymptotic Stability)
Stability is considered for the autonomous system
x(k + 1) = Ax(k)
(6)
x(0) = x0
Definition
System (??) is asymptotic stable iff solution x(k) converges to zero
lim |x(k)| = 0. (7)
k"
Theorem
System (6) is asymptotic stable if |�(A)| < 1
�(A) is a spectrum of matrix A, it is the set of all eigenvalues (1 . . . n) of
matrix A.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Stability (Asymptotic Stability)
Stability is considered for the autonomous system
x(k + 1) = Ax(k)
(6)
x(0) = x0
Definition
System (??) is asymptotic stable iff solution x(k) converges to zero
lim |x(k)| = 0. (7)
k"
Theorem
System (6) is asymptotic stable if |�(A)| < 1
�(A) is a spectrum of matrix A, it is the set of all eigenvalues (1 . . . n) of
matrix A.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Stability (Asymptotic Stability)
Stability is considered for the autonomous system
x(k + 1) = Ax(k)
(6)
x(0) = x0
Definition
System (??) is asymptotic stable iff solution x(k) converges to zero
lim |x(k)| = 0. (7)
k"
Theorem
System (6) is asymptotic stable if |�(A)| < 1
�(A) is a spectrum of matrix A, it is the set of all eigenvalues (1 . . . n) of
matrix A.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Zakres materiału
1
Podział charakterystyk dynamicznych
Charakterystyki czasowe
Charakterystyki częstotliwościowe
2
Typowe elementy liniowe
Element proporcjonalny
Element oscylacyjny
Odpowiedzi skokowe
Charakterystyki częstotliwościowe
Stability (Asymptotic Stability)
Discretization of Continuous Time System
3
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Discretization of Continuous Time System
ńł �ł ńł �ł
�
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
�ł �(t) = �x(t) + Bu(t) �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł żł �ł żł
y(t) = Cx(t) y(k) = Cx(k)
n m n m
�ł x(t) " , u(t) " , �ł -
�ł x(k) " , u(k) " , �ł
�ł �ł �ł �ł
ół �ł ół �ł
r r
y(t) " y(k) " .
(8) (9)
Continuous Time Discrete Time
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Discretization of Continuous Time System
ńł �ł ńł �ł
�
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
�ł �(t) = �x(t) + Bu(t) �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł żł �ł żł
y(t) = Cx(t) y(k) = Cx(k)
n m n m
�ł x(t) " , u(t) " , �ł -
�ł x(k) " , u(k) " , �ł
�ł �ł �ł �ł
ół �ł ół �ł
r r
y(t) " y(k) " .
(8) (9)
Continuous Time Discrete Time
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych Element proporcjonalny
Typowe elementy liniowe Element oscylacyjny
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn. Stability (Asymptotic Stability)
Summary Discretization of Continuous Time System
Discretization of Continuous Time System
ńł �ł ńł �ł
�
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
�ł �(t) = �x(t) + Bu(t) �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł żł �ł żł
y(t) = Cx(t) y(k) = Cx(k)
n m n m
�ł x(t) " , u(t) " , �ł -
�ł x(k) " , u(k) " , �ł
�ł �ł �ł �ł
ół �ł ół �ł
r r
y(t) " y(k) " .
(8) (9)
Continuous Time Discrete Time
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych
Typowe elementy liniowe
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn.
Summary
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn.
Considering transfer function (??) in the form
Y (z) b0zn + b1zn-1 + � � � + bn
G (z) = = , (10)
U(z) zn + a1zn-1 + � � � + an
which respond to differential equation
y(k) + a1y(k - 1) + a2y(k - 2) + � � � + any(k - n) = b0u(k) + b1u(k - 1)
(11)
+ � � � + bnu(k - n)
Thus, Canonical Control Form of (10)
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
x1(k + 1) 0 1 0 � � � 0 x1(k) 0
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
x2(k + 1) 0 0 1 � � � 0 x2(k) 0
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł . śł �ł . . . . śł �ł . śł �ł śł
.
.
= . . . . . + . u(k)
�ł . śł �ł śł �ł . śł �ł śł
.
. . . . . . .
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
xn-1(k + 1) 0 0 0 � � � 1 xn-1(k) 0
xn(k + 1) -an -an-1 -an-2 � � � -a1 1
�łxn(k) łł
x1(k)
�ł śł
x2(k)
�ł śł
y(k) = bn - anb0 bn-1 - an-1b0 � � � b1 - a1b0 �ł . śł + b0u(k)
�ł . śł
.
�ł śł
�ł �ł
xn-1(k)
xn(k)
(12)
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Podział charakterystyk dynamicznych
Typowe elementy liniowe
Model Conversion between Transfer Fun. and State-Space Eqn.
Summary
Summary
The first main message of your talk in one or two lines.
The second main message of your talk in one or two lines.
Perhaps a third message, but not more than that.
Outlook
Something you haven t solved.
Something else you haven t solved.
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów
Dodatek For Further Reading
For Further Reading I
Kwakernaak, H. and Sivan, R.
Linear Optimal Control Systems.
New York: Wiley, 1972.
�str�m K. and Wittenmark B.
Computer-Controlled Systems.
NJ: Prentice Hall, 1997.
Sieklucki G.
Automatic control of drives.
Kraków, Wyd. AGH, 2009 (in Polish).
G. SIEKLUCKI Właściwości dynamiczne elementów

Wyszukiwarka