Funkcje wielu zmiennych Definicja. Funkcją n zmiennych nazywamy funkcję f : A IR, gdzie A jest podzbiorem przestrzeni IRn. W praktyce, gdy współrzędnych jest mniej (np. 2 czy 3) oznaczamy współrzędne różnymi literami, tak jak w poprzednich przykładach. Na płaszczyznie współrzędne oznaczamy zwykle x i y, w przestrzeni trójwymiarowej x, y i z. W zastosowaniach jedną ze zmiennych jest często czas. Przyjęło się go oznaczać literą t. PRZYKAAD 1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji z = 16 - x2 - y2 R O Z W I Z A N I E. Pierwiastek kwadratowy możemy wyciągać z liczb nieujemnych. Stąd dziedziną funkcji f jest zbiór Df = (x, y) IR2 : 16 - x2 - y2 ł 0 { } . Oznacza to, że 16 ł x2 + y2 Wnioskujemy stąd, że dziedziną funkcji jest koło o promieniu 4 i środku w punkcie (0, 0) (rysunek 1.). Rysunek 1. Dziedzina funkcji z = f (x, y) = 16 - x2 - y2 . Wykresem funkcji f : IRn IR jest następujący zbiór: G = {(x1, x2, . . . , xn, f (x1, x2. . . , xn )) : (x1, x2 . . . , xn ) Df } Wykres funkcji jest podzbiorem przestrzeni IRn+1. Jeśli n = 2, to wykres funkcji jest zawarty w przestrzeni trójwymiarowej IR3. Opisujemy go zwykle w ten sposób, że dziedzinę funkcji umieszczamy na płaszczyznie x, y, a wartości funkcji zaznaczamy na osi z. Możemy to zapisać w postaci zależności z = f(x, y). Przykład 2. Niech f(x, y) = x2 + y2.Dziedziną funkcji jest cała płaszczyzna x, y. Rysunek 2. pokazuje wykres tej funkcji. Wykres ten jest powierzchnią zwaną paraboloidą. Rysunek 3. Wykres funkcji Rysunek 2. Wykres funkcji z = x2 1 + y2. z = 16 - x2 - y2 2 ( ) 1 Zastosowanie matematyki do opisu zjawisk ekonomicznych sprowadza się często do budowy i analizy tzw. jednorównaniowych modeli opisowych. Model ten można zapisać w postaci y = f (x1, x2. . . , xn ) , gdzie y wielkość ekonomiczna objaśniana przez model, x1, x2. . . , xn - zmienne objaśniające badane zjawisko, f- funkcja opisująca badane zjawisko. Najczęściej spotykane funkcje w ekonomii to funkcje: popytu, produkcji, kosztów. Na przykład, jeżeli y=f(x) jest funkcją popytu, gdzie x = (x1, x2. . . , x ) jest wektorem to y oznacza popyt na n określone dobro, x - dochód konsumenta, x , x , & x - ceny towarów. 1 2 3 n CIGAOŚĆ FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH. Niech x " IRn ma współrzędne (x , . . . , x ). Niech (x ) (k = 1, 2, . . .) będzie ciągiem w IRn o współrzędnych 1 n k odpowiednio (x , . . . , x ). Mówimy, że ciąg (x ) dąży do x, jeśli dla każdego i = 1, . . . , n ciąg liczbowy (xki ) k1 kn k zbiega do xi. Można to wyrazić słowami następująco: Ciąg jest zbieżny w przestrzeni IRn, jeśli jest zbieżny na każdej współrzędnej. Niech f : IRn IRm. Mówimy że funkcja f jest ciągła w punkcie x jeśli z tego, że x dąży do x wynika, że f(x ) dąży k k do f(x).Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej prawdziwe są fakty: Suma, różnica, iloczyn i iloraz (pod warunkiem, że mianownik jest różny od zera) funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą; Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Pochodne cząstkowe Niech f : IRn IR. Oznaczmy punkt x przez (x , . . . , x ). Niech 1 d" i d" n i niech x , . . . , x , 1 n 1 i-1 x , . . . , x będą ustalone. Niech g będzie funkcją jednej zmiennej zdefiniowaną następująco: g(t) = f(x , . . . , x , t, i+1 n 1 i-1 x , . . . , x ). Jeśli funkcja g ma pochodną g2 (t), to mówimy, że funkcja f ma pochodną cząstkową względem i+1 n fxó zmiennej x . Tę pochodną cząstkową oznaczamy symbolem i czytamy de f po de xi . Inne stosowane i i oznaczenie pochodnej cząstkowej względem x to "f/"x .Pochodną cząstkową obliczamy traktując wszystkie i i zmienne poza zmienną x , jako stałe. i PRZYKAAD. Niech f (x, y) = 3x + 2y fxó = 3, fyó = 2, g(x, y) = xy2 fxó = y2, fyó = 2xy. Pochodna cząstkowa funkcji f względem zmiennej x opisuje przybliżoną zmianę wartości funkcji f przy wzroście i zmiennej xi o jedną jednostkę i niezmienionych pozostałych zmiennych. Podobnie jak w wypadku funkcji jednej zmiennej wprowadza się pojęcie elastyczności cząstkowej względem zmiennej x . Oznaczamy ją Exif. Wartość elastyczności cząstkowej otrzymujemy z wzoru i .Elastyczność cząstkowa względem zmiennej x i opisuje procentową zmianę funkcji f przy przyroście zmiennej xi o jeden procent i niezmienionych pozostałych zmiennych. ZASTOSOWANIE POCHODNYCH CZSTKOWYCH. Pochodne cząstkowe służą podobnie jak pochodne funkcji jednej zmiennej do wyznaczania największej i najmniejszej wartości funkcji. Prawdziwe jest bowiem poniższe twierdzenie. 2 TWIERDZENIE. Jeśli funkcja f: IRn IR posiada pochodne cząstkowe i w pewnym punkcie przyjmuje maksimum lub minimum, to wszystkie pochodne cząstkowe w tym punkcie są równe zeru. Ograniczymy się do przykładów w przestrzeni dwu i trójwymiarowej. Mamy wtedy następującą sytuację: 1. Funkcja ciągła określona na pewnej ograniczonej figurze lub bryle geometrycznej z brzegiem przyjmuje swoją największą i najmniejszą wartość. W sformułowaniu tym pojawia się pojęcie brzegu intuicyjnie dosyć oczywiste. Nie będziemy wprowadzać precyzyjnej matematycznej definicji brzegu. Podamy tylko czym jest brzeg w najważniejszych sytuacjach wystarczających do naszych celów: brzegiem wielokąta są jego boki, wielościanu jego ściany, brzegiem koła okrąg, ogólnie brzegiem figury płaskiej jest jej obwód , a brzegami brył ich powierzchnie. 2. Jeśli funkcja ta ma pochodne cząstkowe, to przyjmuje najmniejszą (największą) wartość albo na brzegu figury (bryły), albo w punkcie, w którym pochodne cząstkowe są równe zeru. Te dwa stwierdzenia pozwalają nam wyznaczać najmniejszą (największą) wartość funkcji określonej na pewnej figurze (bryle) według następującego schematu: Krok 1. Obliczamy pochodne cząstkowe i przyrównujemy je do zera. W ten sposób wyznaczamy punkty stacjonarne (podejrzane o ekstremum). Krok 2. Liczymy wartości funkcji w tych punktach. Krok 3. Wyznaczamy funkcję na brzegu figury i liczymy najmniejszą (największą) wartość funkcji na brzegu. Krok 4. Spośród wszystkich wartości z punktów 2 i 3 wybieramy najmniejszą (największą). Model dochodu narodowego Opiszemy tu model uwzględniający trzy podstawowe wielkości: dochód narodowy, konsumpcję i podatki. Wielkości rozważane w tym modelu to:" y - dochód narodowy;" x - konsumpcja;" z - podatki;" I - inwestycje; " G - wydatki rządowe;" a - konsumpcja autonomiczna (niezależna od dochodów), a > 0;" b - krańcowa skłonność do konsumpcji (zakładamy, że b jest stałe);" c - stopa podatku dochodowego, c " (0; 1); d - stała część podatków, niezależna od dochodów, d > 0. 1 y = x + I + G, ( )
Model opisują trzy równania: 2 x = a + b y - z ,ż . ( ) ( )
3 z = d + cy. ( )
Pierwsze równanie orzeka, że dochód jest spożytkowany na konsumpcję, inwestycje i wydatki rządowe. Drugie równanie stwierdza, że konsumpcja składa się z konsumpcji stałej i z części dochodu przeznaczanego na konsumpcję. Trzecie równanie mówi, że podatki składają się z podatków niezależnych od dochodu i podatków proporcjonalnych do dochodu. Rozwiążemy ten układ względem y. Jest to układ trzech równań liniowych o trzech niewiadomych x, y, z. Rozwiązując układ otrzymujemy rozwiązanie; x = y0 - I - G; y = y0, z = d + cy0, gdzie a - bd + I + G y0 = . 1- b + bc Wielkość y jest dochodem równowagi. Możemy y potraktować, jako funkcję sześciu zmiennych: a, b, c, d, I oraz G. 0 0 Możemy więc obliczyć sześć pochodnych cząstkowych. Trzy z nich grają ważną rolę w podejmowaniu decyzji gospodarczych. Są to: 3 Pierwsza pochodna cząstkowa to tzw. mnożnik wydatków rządowych. Z faktów, że b " (0; 1), a, b, c > 0 wynika, że mnożnik ten jest dodatni. Wyciągamy stąd wniosek, że wraz ze wzrostem wydatków rządowych przy niezmienionych innych parametrach rośnie dochód równowagi rynkowej. Druga pochodna cząstkowa, tzw. mnożnik podatków stałych, jest ujemna, bowiem: -b, < 0. Zatem przy wzroście podatków innych niż podatek dochodowy dochód równowagi rynkowej maleje. Trzecia pochodna cząstkowa to tzw. mnożnik stopy podatku dochodowego. Pochodną tę możemy zapisać w postaci Wynika stąd, że ta pochodna jest też ujemna. Oznacza to, że zwiększenie stopy podatku dochodowego powoduje zmniejszenie dochodu równowagi rynkowej. EKSTREMA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Niech f: X !, gdzie X !; będzie funkcją n -zmiennych. Gdzie symbol oznacza iloczyn kartezjański. 4 5 1 PRZYKAAD. Niech f(x,y)=x2 - y2 6 PRZYKAADY EKONOMICZNE Całkowity wydatek na dane dobro, czyli utarg określany jest następująco: U = x y, gdzie x cena dobra, y - sprzedana (zakupiona) ilość tego dobra. Jeżeli sprzedaną ilość dobra (popyt) można przedstawić, jako funkcję ceny, wówczas utarg będzie również funkcją ceny dobra postaci U = x f (x) . Z powyższego można wyznaczyć cenę, przy której utarg osiągnie wartość maksymalną. Obliczamy, więc pochodną funkcji utargu, czyli utarg krańcowy U '(x) = f (x) + xf '(x) . Cena maksymalizująca utarg określona jest przez warunki U '(x0) = 0 i U ''(x0) < 0. Zatem U '(x) = f (x) + xf '(x) = 0, f '(x) xf '(x) = - f (x) x = -1. f (x) Ostatecznie, więc E(x) = -1. Ze związku tego wynika, że utarg osiągnie wartość maksymalną dla ceny, przy której elastyczność cenowa popytu jest równa -1. Przykład. Funkcja popytu na mango ma postać: y = 120 - 0, 4x2 , gdzie y popyt miesięczny w kg na osobę, x cena mango w zł za kg. Obliczyć cenę, dla której utarg przedsiębiorstwa warzywnego zaopatrującego rynek będzie największy. Należy wyznaczyć funkcję utargu, a następnie znalezć jej maksimum. Zgodnie z definicją utargu mamy U = x y =120x - 0,4x3 , U '(x) = 120 -1,2x2, U ''(x) = -2, 4x . Miejsca zerowe pochodnej to x1 = -10 i x2 =10 . Możliwym rozwiązaniem jest tylko x2 =10 . Sprawdzając drugi warunek mamy U ''(x2) = U ''(10) = -24 < 0 . Stąd ceną maksymalizującą utarg jest cena równa 10 zł. Można oczywiście wyznaczyć maksymalna cenę z elastyczności f '(x) -0,8x E(x) = x = x = -11, 2x2 =120, f (x) 120 - 0, 4x2 x2 =100 x1 = -10 x2 =10. 7 TABELA ELASTYCZNOŚCI PODSTAWOWYCH FUNKCJI POPYTU v(t)- elastyczność funkcji u(t) funkcja popytu (demand Notices popytu u(t) function) 1 a Cta 2 at + b Cebta g 3 g t C(a + bt)b a + bt 1 4 1 C(a + b ln t)b a + b ln t g Trnquist demand 5 g a ć t a + bt function of first kind C bt +a Ł ł g=a, b=1, C>0 -a 6 a t Ce t g g Trnquist demand 7 g t b -a a -b C t +a t + b ( ) ( ) (t +a )(t + b ) function of second kind g=b-a, a,C>0 gb ga 8 g t2 a -b C t +a t + b ( )b -a ( ) (t +a)(t + b ) n 9 b Ą
bt
Cta exp a ż, a = ea e(a+ t ) ( ) nn! n=1
Trnquist demand function of 10 t b t - a + Ct third kind a,C>0 t - a t + b t + b 11 a + bta Cta exp(bta /a) 8