Marek L##### gr ### MTR
Niezawodność i bezpieczeństwo systemów mechatronicznych
PRACA DOMOWA NR 1
Ścieżki:
Cięcia:
S1: xa, xe
C1: xa,xb,xc
S2: xb, xe
C2: xa,xb,xd,xf
S3: xc, xd, xe
C3: xe
S4: xc, xf, xe
Cięcia te są cięciami minimalnymi obiektu.
Ścieżki te są ścieżkami minimalnymi obiektu.
Podstawy teoretyczne:
k
- struktura niezawodnoÅ›ciowa poÅ‚Ä…czenia szeregowego: Õ= (1 - Xi)
"
i = 1
- struktura niezawodnościowa połączenia równoległego:
s (x) = xi
"
- struktura zdatności minimalnych ścieżek:
j
i"Ssj
- struktura niezdatności minimalnych cięć:
c (x) = xi = 1- (1- xi )
C "
j
i"Ssj i"Ssj
- struktura dualna:
Õ (x) = 1- Õ (1- x ,1- x ,...,1- x )
D 1 2 n
Sposób 1 - schemat blokowy
Cały układ staramy się połączyć w jeden blok, łącząc ze sobą
elementy szeregowo jak i równolegle.
xab := 1 - - xa - xb
(1 xa)(1 )
xab := xa + xb - xaÅ"xb
xa
xdf := 1 - - xd - xf
(1 xd)(1 )
xdf := xd + xf - xdÅ"xf
xd
xcdf := xcÅ" + xf - xdÅ"xf
xc d
(x )
xabcdf := 1 - - xa + xb - xaÅ"xb - xcÅ" + xf - xdÅ"xf
îÅ‚1 (x )Å‚Å‚Å"îÅ‚1 (x )Å‚Å‚
a d
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
xabcdf := xa + xb - xaÅ"xb + xcÅ"xd + xcÅ"xf - xaÅ"xcÅ"xd - xbÅ"xcÅ"xd - xaÅ"xcÅ"xf - xbÅ"xcÅ"xf - xcÅ"xdÅ"xf + xaÅ"xbÅ"xcÅ"xd + xaÅ"xbÅ"xcÅ"xf + xaÅ"xcÅ"xdÅ"xf + xbÅ"xcÅ"xdÅ"xf - ...
+ xaÅ"xbÅ"xcÅ"xdÅ"xf
xabcdef := xeÅ" - - + xb - xaÅ"xb - xcÅ" + xf - xdÅ"xf
xe
îÅ‚1 îÅ‚1 (x )Å‚Å‚Å"îÅ‚1 (x )Å‚Å‚Å‚Å‚
a d
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ûÅ‚
xabcdef := xeÅ" + xb - xaÅ"xb + xcÅ"xd + xcÅ"xf - xaÅ"xcÅ"xd - xbÅ"xcÅ"xd - xaÅ"xcÅ"xf - xbÅ"xcÅ"xf - xcÅ"xdÅ"xf + xaÅ"xbÅ"xcÅ"xd + xaÅ"xbÅ"xcÅ"xf + xaÅ"xcÅ"xdÅ"xf + ...
ëÅ‚xa öÅ‚
ìÅ‚+ xbÅ"xcÅ"xdÅ"xf - xaÅ"xbÅ"xcÅ"xdÅ"xf ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Õ := xeÅ" + xb - xaÅ"xb + xcÅ"xd + xcÅ"xf - xaÅ"xcÅ"xd - xbÅ"xcÅ"xd - xaÅ"xcÅ"xf - xbÅ"xcÅ"xf - xcÅ"xdÅ"xf + xaÅ"xbÅ"xcÅ"xd + xaÅ"xbÅ"xcÅ"xf + xaÅ"xcÅ"xdÅ"xf + ...
ëÅ‚xa öÅ‚
ìÅ‚+ xbÅ"xcÅ"xdÅ"xf - xaÅ"xbÅ"xcÅ"xdÅ"xf ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Sposób 2 - minimalne ścieżki
Wyznaczamy minimalne ścieżki, czyli takie ścieżki, w których znajduje się minimalna ilość elementów, których zdatność
powoduje zdatność całego układu.
S1 := xaÅ"ae
xa
układ wejściowy (założony)
|
<-- graficzne przedstawienie ścieżek
\/
S2 := xbÅ".xe
xb
S3 := xcÅ"xdÅ"xe
xc
S4 := xcÅ"xf Å"xe
xc
Wzór ogólny:
Õs(S) := 1 - - S1 - S2 - S3 - S4
(1 S1)(1 )Å"(1 )Å"(1 )
Õs(S) := 1 - - xaÅ"xe - xbÅ"xe - xcÅ"xdÅ"xe - xcÅ"xf Å"xe <-- przy wykonywaniu obliczeÅ„ uwzglÄ™dniona jest algebra Boole'a
(1 xa )(1 )(1 )(1 )
Õs(S) := xaÅ"xe + xbÅ"xe + xcÅ"xdÅ"xe + xcÅ"xeÅ"xf - xaÅ"xbÅ"xe - xaÅ"xcÅ"xdÅ"xe - xbÅ"xcÅ"xdÅ"xe - xaÅ"xcÅ"xeÅ"xf - xbÅ"xcÅ"xeÅ"xf - xcÅ"xdÅ"xeÅ"xf + xaÅ"xcÅ"xdÅ"xeÅ"xf + ...
+ xbÅ"xcÅ"xdÅ"xeÅ"xf + xaÅ"xbÅ"xcÅ"xdÅ"xe + xaÅ"xbÅ"xcÅ"xeÅ"xf - xaÅ"xbÅ"xcÅ"xdÅ"xeÅ"xf
czyli:
Õs(S) := xeÅ" + xb - xaÅ"xb + xcÅ"xd + xcÅ"xf - xaÅ"xcÅ"xd - xbÅ"xcÅ"xd - xaÅ"xcÅ"xf - xbÅ"xcÅ"xf - xcÅ"xdÅ"xf + xaÅ"xbÅ"xcÅ"xd + xaÅ"xbÅ"xcÅ"xf + xaÅ"xcÅ"xdÅ"xf + ...
ëÅ‚xa öÅ‚
ìÅ‚+ xbÅ"xcÅ"xdÅ"xf - xaÅ"xbÅ"xcÅ"xdÅ"xf ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Sposób 3 - minimalne cięcia
Wyznaczamy minimalne cięcia, czyli takie cięcia, w których znajdzie się minimalna ilość elementów, których niezdatność
powoduje niezdatność układu.
C1: xa,xb,xc
C2: xa,xb,xd,xf
C3: xe cięcie C1 -->
C1 := 1 - - xa - xb - xc
îÅ‚(1 xa)Å"(1 )Å"(1 )Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
C1 := xa + xb + xc - xaÅ"xb - xaÅ"xc - xbÅ"xc + xaÅ"xbÅ"xc
xa
cięcie C2 -->
C2 := 1 - - xa - xb - xd - xf
îÅ‚(1 xa)Å"(1 )Å"(1 )Å"(1 )Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
C2 := xa + xb + xd + xf - xaÅ"xb - xaÅ"xd - xbÅ"xd - xaÅ"xf - xbÅ"xf - xdÅ"xf + xaÅ"xbÅ"xd + xaÅ"xbÅ"xf + xaÅ"xdÅ"xf + xbÅ"xdÅ"xf - xaÅ"xbÅ"xdÅ"xf
xa
C3 := 1 - - xe
(1 xe)
cięcie C3 -->
C3 := xe
xe
Õs(C) := C1Å"C2Å"C3
C1
Õs(C) := - - xa - xb - xc - - xa - xb - xd - xf
îÅ‚1 îÅ‚(1 xa)Å"(1 )Å"(1 )Å‚Å‚Å‚Å‚Å"îÅ‚1 îÅ‚(1 )Å"(1 )Å"(1 )Å"(1 )Å‚Å‚Å‚Å‚Å"xe <-- przy wykonywaniu obliczeÅ„ uwzglÄ™dniona jest algebra Boole'a
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ûÅ‚ ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ûÅ‚
Õs(C) := xeÅ" + xb - xaÅ"xb + xcÅ"xd + xcÅ"xf - xaÅ"xcÅ"xd - xbÅ"xcÅ"xd - xaÅ"xcÅ"xf - xbÅ"xcÅ"xf - xcÅ"xdÅ"xf + xaÅ"xbÅ"xcÅ"xd + xaÅ"xbÅ"xcÅ"xf + xaÅ"xcÅ"xdÅ"xf + ...
ëÅ‚xa öÅ‚
ìÅ‚+ xbÅ"xcÅ"xdÅ"xf - xaÅ"xbÅ"xcÅ"xdÅ"xf ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
W łatwy sposób można sprawdzić poprawność cięć, poprzez macierz zasięgu dla zbioru ścieżek.
Otrzymane minimalne ścieżki z układu:
S1: xa, xe
S2: xb, xe
S3: xc, xd, xe
S4: xc, xf, xe
Mając wyznaczone ścieżki, tworzymy macierz zasięgu, w kolumnach znajdują się ścieżki, natomiast w wierszach są wyszczególnione wszystkie elementy układu.
Mając tak określoną macierz, dokonujemy jej wypełnienia, sprawdzając czy w poszczególnych ścieżkach występują dane elementy.
S1 S2 S3 S4
xa ëÅ‚1
0 0 0
öÅ‚
÷Å‚
xb ìÅ‚0
1 0 0
÷Å‚
xc ìÅ‚
<-- macierz zasięgu
ìÅ‚0 0 1 1 ÷Å‚
xd ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 1 0
÷Å‚
xe ìÅ‚1
1 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
xf íÅ‚0
0 0 1
Å‚Å‚
Aby określić minimalne cięcia, musimy znalez
ć dopełnienia wierszami, w wyniku czego otrzymujemy:
C1: xa,xb,xc
C2: xa,xb,xd,xf
C3: xe
W ten łatwy sposób sprawdziliśmy, czy dobrze zostały dokonane cięcia.
Wynika z tego, iż wcześniej określone przeze mnie minimalne cięcia zostały dokonane poprawnie.
Sposób 4 - struktura dualna
Wykorzystując wcześniej obliczoną niezawodność systemu (obojętnie jakiej struktury, ponieważ wszystkie są sobie równe) wyznaczam zawodność
układu :
Õ := xeÅ" + xb - xaÅ"xb + xcÅ"xd + xcÅ"xf - xaÅ"xcÅ"xd - xbÅ"xcÅ"xd - xaÅ"xcÅ"xf - xbÅ"xcÅ"xf - xcÅ"xdÅ"xf + xaÅ"xbÅ"xcÅ"xd + xaÅ"xbÅ"xcÅ"xf + xaÅ"xcÅ"xdÅ"xf + ...
ëÅ‚xa öÅ‚
ìÅ‚+ xbÅ"xcÅ"xdÅ"xf - xaÅ"xbÅ"xcÅ"xdÅ"xf ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Wzór teoretyczny struktury dualnej:
ÕD := 1 - Õ - xa, 1 - xb, 1 - xc, 1 - xd, 1 - xe, 1 - xe, 1 - xf
Õ
(1 )
PodstawiajÄ…c do powyższego wzoru Õ otrzymujemy:
ÕD := 1 - - xe - xa + - xb - - xa - xb + - xc - xd + - xc - xf - - xa - xc - xd - ...
îÅ‚(1 )Å"îÅ‚(1 ) (1 ) îÅ‚(1 )Å"(1 )Å‚Å‚ îÅ‚(1 )Å"(1 )Å‚Å‚ îÅ‚(1 )Å"(1 )Å‚Å‚ îÅ‚(1 )Å"(1 )Å"(1 )Å‚Å‚ Å‚Å‚Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ <-- przy wykonywaniu
ïÅ‚ ïÅ‚ śłśł
)Å"(1 )Å"(1 )Å‚Å‚ )Å"(1 )Å"(1 )Å‚Å‚ )Å"(1 )Å"(1 )Å‚Å‚ )Å"(1 )Å"(1 )Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚+ îÅ‚(1 - xb - xc - xd - îÅ‚(1 - xa - xc - xf - îÅ‚(1 - xb - xc - xf - îÅ‚(1 - xc - xd - xf + ... obliczeÅ„ uwzglÄ™dniona jest
śłśł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
algebra Boole'a
ïÅ‚ ïÅ‚+ ðÅ‚ - xa - xb - xc - xd ûÅ‚ + ðÅ‚ - xa - xb - xc - xf ûÅ‚ + ðÅ‚ - xa - xc - xd - xf ûÅ‚ + ... śłśł
îÅ‚(1 )Å"(1 )Å"(1 )Å"(1 )Å‚Å‚ îÅ‚(1 )Å"(1 )Å"(1 )Å"(1 )Å‚Å‚ îÅ‚(1 )Å"(1 )Å"(1 )Å"(1 )Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚+ îÅ‚(1 - xb - xc - xd - xf ûÅ‚ - îÅ‚(1 - xa - xb - xc - xd - xf ûÅ‚ śłśł
)Å"(1 )Å"(1 )Å"(1 )Å‚Å‚ )Å"(1 )Å"(1 )Å"(1 )Å"(1 )Å‚Å‚
ðÅ‚ ðÅ‚ ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ûÅ‚
ÕD := xe + xaÅ"xbÅ"xc - xaÅ"xbÅ"xcÅ"xe + xaÅ"xbÅ"xdÅ"xf - xaÅ"xbÅ"xcÅ"xdÅ"xf - xaÅ"xbÅ"xdÅ"xeÅ"xf + xaÅ"xbÅ"xcÅ"xdÅ"xeÅ"xf
xe
Dokonuję sprawdzenia poprawności otrzymanego wyniku, w sposób bardzo prosty:
- strukturę równoległą niezawodnościową traktujemy jako szeregową zawodnościową;
- strukturę szeregową niezawodnościową traktujemy jako równoległą zawodnościową.
ÕD.spr := xe +
xe aÅ"xb c + xdÅ"xf - xcÅ"xdÅ"xf - xeÅ"
(x )Å"(x ) (x )Å"(x + xdÅ"xf - xcÅ"xdÅ"xf)
aÅ"xb c
ÕD.spr := xe + xaÅ"xbÅ"xc - xaÅ"xbÅ"xcÅ"xe + xaÅ"xbÅ"xdÅ"xf - xaÅ"xbÅ"xcÅ"xdÅ"xf - xaÅ"xbÅ"xdÅ"xeÅ"xf + xaÅ"xbÅ"xcÅ"xdÅ"xeÅ"xf
xe
ÕD = ÕDspr
Tak jak widzimy, wartość ÕD i ÕDspr sÄ… sobie równe, potwierdza to dobrzee wykonanÄ… strukturÄ™ dualnÄ….
Sposób 5 - macierz połączeń
Macierz połączeń układu:
1 2 3 4
ëÅ‚1 xc xa + xb 0 öÅ‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚
<-- Cyfry nad macierzÄ…
ìÅ‚ ÷Å‚
0 1 xd + xf 0
2
oraz z jej lewej strony
ìÅ‚ ÷Å‚
3 oznaczają węzły.
ìÅ‚0 0 1 xe ÷Å‚
ìÅ‚0 0 0 1 ÷Å‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚
Powyższą macierz połączeń mnożę przez siebie tak, aby elementy wewnątrz macierzy się 'ustabilizowały', tzn.aby wartości w poszczególnych
komórkach przy kolejnej iteracji mnożenia (n+1) powtarzały się co w iteracji poprzedniej (n).
W moim przypadku wystarczyło przemnożyć 3 razy, aby elementy w poszczególnych komórkach powtarzały się wraz z kolejną iteracją.
1 2 3 4
3
ëÅ‚1 xc xa + xb 0 öÅ‚ îÅ‚1 xc xa + xb + xcÅ"xd + xcÅ"xf xeÅ"(x + xb + xcÅ"xd + xcÅ"xf)Å‚Å‚
a
1
ìÅ‚ ÷Å‚ ïÅ‚ śł
ìÅ‚ ÷Å‚ ïÅ‚ śł
0 1 xd + xf 0 0 1 xd + xf xeÅ" + xf
(x )
2
d
= <-- W macierzy uwzględniono algebrę Boole'a.
ìÅ‚ ÷Å‚ ïÅ‚ śł
1 xe
3
ìÅ‚0 0 1 xe ÷Å‚ ïÅ‚0 0 śł
ìÅ‚0 0 0 1 ÷Å‚ ïÅ‚0 0 śł
4
0 1
íÅ‚ Å‚Å‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Tak jak widzimy (4 kolumna i 1 wiersz) są wyszczególnione wszystkie ścieżki, po ich wymnożeniu, uzyskujemy:
xaÅ"xe + xbÅ"xe + xcÅ"xdÅ"xe + xcÅ"xeÅ"xf
Powyższe ścieżki są zgodne z wcześniej założonymi ścieżkami, które zostały określone na drodze empirycznej.
Sposób 6 - redukcja macierzy
Do redukcji wykorzystamy macierz ze sposobu 5, macierz połączeń.
1 2 3 4
ëÅ‚1 xc xa + xb 0 öÅ‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0 1 xd + xf 0
2
ìÅ‚ ÷Å‚
3
ìÅ‚0 0 1 xe ÷Å‚
ìÅ‚0 0 0 1 ÷Å‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚
Po redukcji k=2 (redukcja 2-go wiersza i 2-iej kolumny), otrzymujemy macierz 3x3:
1 3 4
0
ëÅ‚1 xa + xb + xc(x + xf) öÅ‚
d
1
ìÅ‚ ÷Å‚
1 xe
ìÅ‚0 ÷Å‚
3
ìÅ‚0 ÷Å‚
0 1
íÅ‚ Å‚Å‚
4
Po redukcji węzła k=3, otrzymujemy macierz 2x2:
1 4
îÅ‚1 xeÅ"(x + ab + xcÅ"xd + xcÅ"xf)Å‚Å‚
1
a
ïÅ‚ śł
1
4
ðÅ‚0 ûÅ‚
Ostatnia macierz przedstawia zależności między wejściem a wyjściem, między węzłem nr 1 a nr 4.
Także jak w sposobie 5, mamy potwierdzenie co do poprawności wcześniej określonych ścieżek.