Pochodna funkcji
Przyrost argumentu na osi x powoduje przyrost wartości funkcji f na osi y.
Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu ustalonego punktu x0
oraz niech "x oznacza przyrost argumentu. Niech "y oznacza odpowiadajÄ…cy
mu przyrost wartości funkcji f.
Wtedy
f(x0 + "x) = f(x0) + "y
StÄ…d
"y = f(x0 + "x) - f(x0).
Definicja 1. Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu ustalonego
punktu x0. Iloraz
"y f(x0 + "x) - f(x0)
=
"x "x
nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w x0 dla przyrostu "x.
Definicja 2. Jeżeli istnieje granica skończona
"y
lim ,
"x0 "x
to granicÄ™ tÄ™ nazywamy pochodnÄ… funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy jÄ… przez:
dy
f (x), .
dx
Przykład. Obliczyć z definicji pochodną funkcji f(x) = x2.
Uwaga: Są funkcje (nawet ciągłe), które w pewnych punktach nie mają
pochodnej - np. y = |x| w x0 = 0.
Definicja 3. Funkcja ma pochodną w zbiorze A, gdy ma pochodną w każdym
punkcie tego zbioru.
Wzory
Funkcja Pochodna funkcji Uwagi
c 0 c " R
xą ąxą-1 ą " R, x zależne od ą
ax ax ln a a > 0, x " R
ex ex x " R
1
loga x 0 < a = 1, x > 0

x ln a
1
ln x x > 0
x
sin x cos x x " R
cos x - sin x x " R
1 Ä„
tg x x = + kĄ, k " Z

cos2 x 2
1
ctg x -sin x x = kĄ, k " Z

2
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji f w punkcie.
1
Niech funkcja f będzie ciągła w pewnym otoczeniu ustalonego punktu x0 oraz
niech P (x0, y0), Q(x0 + "x, y0 + "y).
SiecznÄ… P Q nazywamy prostÄ… przechodzÄ…cÄ… przez punkty P i Q. KÄ…t na-
chylenia siecznej do dodatniej półosi osi x wyraża się wzorem
"y
tg Õ = .
"x
Podczas gdy Q przesuwa się wzdłuż wykresu funkcji f w kierunku punktu
P mamy "x 0. Zatem przy przejściu granicznym otrzymujemy styczną do
wykresu funkcji f w punkcie x0, której kąt nachylenia do dodatniej półosi osi x
wyraża się wzorem:
"y
tg Ä… = lim = f (x0).
"x0 "x
Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0, y0):
y = f (x0)(x - x0) + f(x0)
Przykład. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = ex w P = (0, 1).
Twierdzenia o pochodnych
Twierdzenie 1. Jeżeli funkcje f oraz g mają pochodną właściwą w x, to
a) (f(x) Ä… g(x)) = f (x) Ä… g (x),
b)(f(x) · g(x)) = f (x) · g(x) + f(x) · g (x),
(f(x) f (x)·g(x)-f(x)·g (x)
c) ( ) =
g(x)
g(x)2
g(x)
d) [(f(x))g(x)] = (f(x))g(x)(g (x) · ln(f(x)) + f (x) · ).
f(x)
sin x
PrzykÅ‚ady y = , y = x2 · ex, y = xsin x.
x
Twierdzenie 2. Jeżeli funkcja y = f(x) ma pochodną właściwą w x0 oraz
funkcja g(y) ma pochodną właściwą w y0 = f(x0), to
[g(f(x))] = g (f(x)) · f (x)
Przykłady y = log2(x3+x2-9), y = ln(3x-4), y = sin(2x2-5), y = (2x+3)4,
y = esin x.
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna f (x) funkcji f(x) jest także funkcją, a zatem, możemy liczyć z
niej pochodnÄ….
Definicja 4. Niech f (x) będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu
x0 i mającą w nim pochodną. Wówczas
f (x) = [f (x)] .
Definicja 5. Niech f(x) mającą pochodne do n-tego rzędu w pewnym otoczeniu
punktu x0. Wówczas
f(n)(x0) = [f(n-1)(x0)] .
PrzykÅ‚ady (3x4 + 1) , (e3x · cos 2x) , sin5x.
2