WYKAAD 3
OGÓLNE UJCIE ZASAD ZACHOWANIA W
MECHANICE PAYNÓW.
ZASADA ZACHOWANIA MASY.
1/14
Fundamentalne Zasady Zachowania/Zmienności w Mechanice mówią
nam co dziejÄ™ siÄ™ z:
·ð masÄ…
·ð pÄ™dem
·ð krÄ™tem (momentem pÄ™du)
·ð energiÄ…
ośrodka ciągłego podczas jego ruchu.
Wszystkie równia rządzące ruchem płynu wynikają (są wyprowadzane) z
tych zadad.
Dodatkowo, odwołanie do 2-giej Zasady Termodynamiki może być
konieczne w celu rozpoznania fizycznie dopuszczalnych rozwiązań równań
opisujących zjawiska termo-mechaniczne w płynie.
2/14
PRAWA ZACHOWANIA PODEJŚCIE OGÓLNE
Rozważmy fizyczną wielkość ekstensywną H charakteryzującą stan termodynamiczny i/lub
ruch płynu. Założymy, że rozkład przestrzenny tej wielkości w obszarze zajętym przez płyn
może być opisany przez pole gęstości wielkości H, oznaczane dalej literą h. Oznacza to, że
jednostkÄ… fizycznÄ… gÄ™stoÅ›ci h (czyli [h]) jest [h] =ð [H] / kg.
Całkowita ilość wielkości fizycznej H w wybranym obszarze (wszystko jednio czy
pÅ‚ynnym, czy nie) © zadana jest caÅ‚kÄ… objÄ™toÅ›ciowÄ…
H =ð rðhdWð , rð - gÄ™stość pÅ‚ynu
òð
Wð
Na tym etapie nie ma znaczenia czy wielkość H jest skalarna, wektorowa czy tensorowa.
Załóżmy teraz, że obszar © jest w wybranym ukÅ‚adzie odniesienia nieruchomy i niezmienny
w czasie. Taki obszar nazywamy obszarem kontrolnym, w odróżnieniu od obszaru
poruszającego się z płynem, zwanym obszarem płynnym lub materialnym.
Kluczowe pytanie: od czego zależy tempo zmian wielkości H w obszarze
kontrolnym?
3/14
Tempo zmian wielkoÅ›ci H w obszarze kontrolnym Wð jest sumÄ… dwóch
składników:
·ð tempa zmian wywoÅ‚anych produkcjÄ…/destrukcjÄ… wielkoÅ›ci H w obszarze Wð
·ð tempa zmian wywoÅ‚anych strumieniem wielkoÅ›ci H przez brzeg obszaru Å›ðWð
związanym z przepływem przez ten brzeg
dH d dH dH
W zapisie matematycznym: ºð rðhdV =ð +ð
òð
dt dt dt dt
produkcja strumien przez Å›ðWð
Wð
Zauważmy, że drugi ze składników może być zapisany jako następująca całka
powierzchniowa (vide obrazek)
dH
=ð-ð rðhuðn dS
òð
dt
strumien przez Å›ðWð
Å›ðWð
gdzie uðn Å›ðWð =ð Å×ðn skÅ‚adowÄ… prÄ™dkoÅ›ci pÅ‚ynu
Å›ðWð
normalnÄ… do brzegu. Znak minus w formule
pojawia się w związku z zewnętrzną orientacją
brzegu (wersor n skierowany jest na zewnÄ…trz ,
zatem uðn< 0 gdy wpÅ‚ywa, uðn>0 gdy wypÅ‚ywa)
4/14
Ogólna forma zasady zachowania (czy raczej zmienności) wielkości H może być zapisana w
sposób następujący
dH
=ð
zródla
dt
produkcja
Gdzie symbol oznaczyliśmy tzw. człon zródłowy, czyli wyrażenie opisujące fizyczne
zródla
przyczyny produkcji/destrukcji wielkoÅ›ci H in the volume Wð .
Szczegółowy charakter członu zródłowego zależy od konkretnej wielkości dla której
sformułowana jest zasada mechaniki:
1. Masa płynu (skalar)
Wówczas h ºð 1 i
H ºð M (t) =ð rð dV
òð
Wð
W tym przypadku ºð 0 jako, że w masa nie może być produkowana!
zródla
5/14
2. Pęd płynu (wektor)
H ºð P(t) =ð rðÅdV
Teraz h ºð Å i
òð
Wð
W tym przypadku zródÅ‚em zmiennoÅ›ci pÄ™du pÅ‚ynu w obszarze Wð sÄ… siÅ‚y zewnÄ™trzne
(powierzchniowa i objętościowa) działające na płyn
ºð FS +ð FV =ð à dS +ð rð f dS
zródla
òðòð
Å›ðWðWð
powierzchniowa objętosciowa
gdzie symbolem à oznaczyliśmy wektor naprężeń (jednostkowej siły powierzchniowej) na
powierzchni brzegowej Å›ðWð .
3. Kręt (moment pędu)
Teraz h ºð x ´ðÅ i K(t) =ð x ´ð rðÅdV
òð
Wð
Człon zródłowy zawiera całkowity moment sił zewnętrznych działających na płyn w obszarze
Wð
ºð MS +ð MV =ð x ´ðà dS +ð x ´ð rð f dV
zródla
òðòð
Å›ðWðWð
powierzchniowy objętosciowy
6/14
4. Energia
Zasadę zachowania w ośrodku ciągłym należy napisać dla sumy wszystkich form energii, tj.
energii wewnętrznej i energii kinetycznej. Mamy zatem
11
h ºð e =ð u +ð Å×ðÅ =ð u +ð uð2
22
i
1
H ºð E(t) =ð rð(u +ð uð2)dV
2
òð
Wð
gdzie symbol u oznacza energię wewnętrzną właściwą (tj. odniesioną do jednostkowej masy
pÅ‚ynu) , natomiast uð to wartość (dÅ‚ugość) wektora prÄ™dkoÅ›ci pÅ‚ynu.
W porównaniu z poprzednimi zasadami, człon zródłowy jest bardziej złożony i obejmuje
·ð pracÄ™ wykonywanÄ… w jednostkowym czasie (czyli moc) przez siÅ‚y zewnÄ™trzne
(powierzchniowe i objętościowe)
·ð strumieÅ„ ciepÅ‚a przepÅ‚ywajÄ…cy przez brzeg Å›ðWð w wyniku niezerowego gradientu
temperatury na tym brzegu (przewodnictwo)
·ð produkcjÄ™ ciepÅ‚a przez wewnÄ™trzne zródÅ‚a ciepÅ‚a i/lub objÄ™toÅ›ciowÄ… absorbcjÄ™
promieniowania.
7/14
Możemy zapisać formułę
(t) =ð PS +ð PV +ð QÅ›ðWð +ð QWð
zródla
moc strumienia moc wewnętrznych
moc sil
ciepla przez brzeg zródel ciepla
zewnętrznych
gdzie składniki mechaniczne mają postać
PS =ð à ×ðÅdS , PV =ð rð f ×ðÅdV
òð òð
Å›ðWð Wð
a składniki cieplne to
QÅ›ðWð =ð -ð qh ×ð ndS , QWð =ð rðgðh dV
òð òð
Å›ðWð Wð
Powyżej, qh oznacza wektor strumienia ciepła związany z przewodnictwem ciepła przez
brzeg obszaru Å›ðWð (pokażemy pózniej, że jest on Å›ciÅ›le zwiÄ…zany z gradientem temperatury) a
symbol gð oznacza gÄ™stość wÅ‚aÅ›ciwÄ… (odniesionÄ… do jednostki masy) wewnÄ™trznych zródeÅ‚
h
ciepła.
8/14
ZASADA ZACHOWANIA MASY W FORMIE RÓŻNICZKOWEJ
Wiemy już, że w równaniu wyrażającym zasadę zachowania masy człon zródłowy nie
występuje. Mamy
dM dM dM
=ð -ð =ð 0
dt dt dt
produkcja strumien na Å›ðWð
W zapisie całkowym
d
rð dV -ð (-ð rðÅ×ð ndS) =ð 0
dt
òðòð
Wð Å›ðWð
Ponieważ obszar Wð jest niezmienny w czasie, możemy wejść z różniczkowaniem pod caÅ‚kÄ™
objętościową. Ponadto, możemy zastosować twierdzenie GGO po to, aby zamienić całkę
powierzchniową w równoważną całkę objętościową.
W wyniku tych manipulacji otrzymujemy
Å›ð
Å›ðt
òð[ rð +ð Ńð×ð(rðÅ)]dV =ð 0
Wð
Ponieważ obszar Wð zostaÅ‚ wybrany dowolnie, to przy zaÅ‚ożeniu ciÄ…gÅ‚oÅ›ci caÅ‚kowanego
wyrażenia powyższa równość implikuje, że wyrażenie to jest równe zeru w każdym punkcie
obszaru zajętego przez płyn.
9/14
Otrzymujemy w ten sposób różniczkowe równanie zachowania masy
Å›ð
rð +ðŃð×ð(rðÅ) =ð0
Å›ðt
Postać otrzymanego równania nazywamy postacią zachowawczą. Rozwijając składnik
zawierający operator dywergencji zastosowany do iloczynu gęstości i prędkości możemy
otrzymać inne równoważne formy tego równania, a mianowicie
D
Å›ðÅ›ð
0 =ð rð +ð Ńð×ð(rðÅ) =ð rð +ð Å×ðŃðrð +ð rðŃð×ðÅ =ð rð +ð rðŃð×ðÅ
Å›ðt Å›ðt
Dt
D
rð
Dt
W notacji indeksowej
D
Å›ð Å›ð Å›ð Å›ð Å›ð Å›ð
0 =ð rð +ð (rðuð ) =ð rð +ðuð rð +ð rð uð =ð rð +ð rð uð
j j j j
Å›ðt Å›ðxj Å›ðt Å›ðxj Å›ðxj Å›ðxj
Dt
D
rð
Dt
10/14
Zauważmy, że:
1. Jeżeli przepływ jest ustalony, tj. żadne z pól fizycznych nie zależy jawnie od czasu, to
równanie zachowania masy upraszcza się do formy
Ńð×ð(rðÅ) =ð Å×ðŃðrð +ð rðŃð×ðÅ =ð 0
2. Jeżeli rð ºð const to równanie zachowania masy redukuje siÄ™ do szczególnie prostej formy
Ńð×ðÅ =ð0
Równanie to nazywane bywa równaniem ciągłości. Jest to de facto warunek zachowania
objętości sformułowany dla płynu nieściśliwego. Mówi on, że tylko pola prędkości o
zerowej dywergencji mogą opisywać ruch takiego płynu.
Warto zauważyć, że równanie ciągłości nie jest równaniem dynamicznym lecz wyraża
więz geometryczny nałożony na klasę dopuszczalnych pól prędkości.
11/14
DWUWYMIAROWY PRZEPAYW NIEÅšCIÅšLIWY. FUNKCJA PRDU.
Funkcja prądu jest wygodnym narzędziem opisu dwuwymiarowego ruchu płynu
nieściśliwego. Płyn nieściśliwy to płyn który podczas ruchu ściśle zachowuje swoja objętość
(a zatem jego gęstość jest stała). Pokażemy dalej, że kinematycznym warunkiem
nieściśliwości płynu jest znikanie dywergencji pola prędkości w każdym punkcie obszaru
przepływu. W przypadku 2D warunek ten można łatwo spełnić postulując istnienie funkcji
prÄ…du yð =ðyð (t, x1, x2) takiej, że
uð1 =ðÅ›ðxyð , uð2 =ð -ðÅ›ðxyð
2 1
Aatwo pokazać, że warunek nieściśliwości
Å›ðxuð1 +ð Å›ðx uð2 =ð 0
12
Jest automatycznie spełniony. Istotnie, mamy
Å›ðx uð1 +ð Å›ðx uð2 =ð Å›ðx ,x2yð -ðÅ›ðx ,x1yð =ð 0
1 2 1 2
Funkcja prądu ma ważną własność: jest stała wzdłuż każdej linii prądu.
12/14
Aby się o tym przekonać wystarczy pokazać, że gradient funkcji prądu jest w każdym punkcie
przepływu prostopadły do lokalnego wektora prędkości. Mamy zatem
Ńðyð ×ðÅ =ðuð1 Å›ðxyð +ðuð2 Å›ðxyð =ð -ðuð1uð2 +ðuð2uð1 =ð 0
12
Rozważmy teraz dwie linie prądu i dowolna linię łączącą dwa punkty położone na tych
liniach (obrazek). Obliczmy strumień objętości płynu (zwany ogólnie - wydatkiem
objętościowym, chociaż w 2D mierzonym de facto w m2 s) przez linię AB.
Obliczamy &
yð=ðyðB=ðyðA+ðQAB
BBB
B
QAB =ð
1
òðÅ×ð nds =ð òðÅ×ð nds =ð òð(uð n1 +ðuð2 n2)ds =ð
AAA
tð
n
BB
=ð
streamlines
v
1 1
òð(uð tð2 -ðuð2tð1)ds =ð òð(tð Å›ðxyð +ðtð2 Å›ðx yð )ds =ð
12
AA
B
A
=ð
BA
òðŃðyð ×ð ds =ðyð -ðyð
yð=ðyðAð
A
Strumień objętości (w 2D) płynący pomiędzy dwiema liniami prądu jest równy różnicy
wartości funkcji prądu na tych liniach.
13/14
UWAGA:
Skalarna funkcja prądu może być również zdefiniowana dla przepływu nieściśliwego, którego
pole prędkości jest osiowo symetryczne. W takim polu istnieją jedynie dwie niezerowe
składowe wektora prędkości: osiowa i radialna (promieniowa), natomiast składowa
obwodowa (azymutalna) znika tożsamościowo. W ogólnym przypadku 3D skalarna funkcja
prÄ…du musi być zastÄ…piona przez wektorowÄ… funkcjÄ™ prÄ…du ¨ zwiÄ…zanÄ… z polem prÄ™dkoÅ›ci
wzorem Å =ð Ńð´ð¨ . Relacja ta implikuje automatycznie, że Ńð×ðÅ =ð 0, tj. warunek
nieściśliwości jest spełniony automatycznie.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
14/14
Wyszukiwarka