Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Zmienne losowe X1, X ,K, X5 są niezależne i mają jednakowy rozkład o gęstości
2
ż#
�e-�x gdy x > 0
p� (x) = ,
�#
0 gdy x d" 0
�#
gdzie � > 0 jest ustaloną liczbą. Niech Y oznacza zmienną losowa równą 1, gdy
5
X1 e" 3 , i równą 0 w pozostałych przypadkach. Niech T = X . Wyznaczyć
" i
i=1
E(Y | T = 5).
(A) 0,05120
(B) 0,00256
(C) 0,02560
(D) 0,10240
(E) 0,01024
1
Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Obserwujemy niezależne zmienne losowe X1, X , X ,Y1,Y2,Y3,Y4 . Zmienne losowe
2 3
X1, X , X mają ten sam rozkład o dystrybuancie Fź , a zmienne losowe Y1,Y2,Y3,Y4
2 3
1
maja ten sam rozkład o dystrybuancie Fź . Dystrybuanta Fź spełnia warunek
2
Fź (x) = F(x - ź)
dla pewnej ustalonej, nieznanej, ciągłej, ściśle rosnącej dystrybuanty F.
Weryfikujemy hipotezę H0 : ź1 = ź2 przy alternatywie H1 : ź1 > ź2 stosując test o
obszarze krytycznym
K = {S : S > 13} ,
gdzie S jest sumą rang zmiennych losowych X1, X , X w próbce złożonej ze
2 3
wszystkich obserwacji ustawionych w ciąg rosnący. Wyznaczyć rozmiar testu.
11
(A)
35
12
(B)
35
10
(C)
35
9
(D)
35
8
(E)
35
2
Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Zmienna losowa N ma rozkład Poissona z nieznanym parametrem  > 0 . O
parametrze  zakładamy, że podlega rozkładowi a priori gamma Gamma(2,8) .
Zmienna losowa � ma rozkład beta Beta(1,2) . Zmienne N i � są niezależne i
zmienne  i � są niezależne. Obserwujemy zmienną losową X, która przy znanych
wartościach N i � ma rozkład dwumianowy bin(N,� ) . Wyznaczyć wartości a i b
najlepszego liniowego predyktora zmiennej losowej N , to znaczy liczby a i b
minimalizujące wielkość
2
E(N - aX - b) .
54 35
A) a = , b =
53 212
24 17
(B) a = , b =
25 100
18 5
(C) a = , b =
11 44
18 5
(D) a = , b =
11 22
54 35
(E) a = , b =
53 106
Uwaga. Gęstość rozkładu gamma Gamma(ą, � ) jest równa
ą
�
pą ,� (x) = xą -1e-�x dla x > 0 .
�(ą)
Gęstość rozkładu beta Beta(ą, � ) jest równa
�(ą + � )
fą ,� (x) = xą -1(1 - x)� -1 dla x " (0,1) .
�(ą)�(� )
3
Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
2
Na podstawie prostej próby losowej X1, X ,K, X testowano hipotezę H0 : � = 1
2 20
2 2
przy alternatywie H1 : � > 1, gdzie � jest parametrem odpowiadającym za
wariancję zmiennej losowej Xi za pomocą testu o obszarze krytycznym
20
ż# �#
K = Xi2 > tŹ# .
�#
"
�# i=1 �#
Jeżeli dodatkowo wiadomo, że zmienne losowe Xi mają rozkład zadany gęstością
2
f� (x) = � | x | e-�x , gdy x " R ,
gdzie � > 0 jest nieznanym parametrem, to przy poziomie istotności ą = 0,05 ,
wartość krytyczna t jest równa
(A) 55,7585
(B) 31,4104
(C) 18,3070
(D) 27,8793
(E) 15,7052
4
Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Na podstawie prostej próby losowej X1, X , X3,K, X z rozkładu gamma o gęstości
2 n
2
ż#
� xe-�x gdy x > 0
f� (x) =
�#
0 gdy x d" 0
�#
estymujemy parametr � wykorzystując estymator największej wiarogodności �Ć .
Wyznaczyć w przybliżeniu rozmiar próby n taki, że
�# ś#
|�Ć - � |
Pś# d" 0,05ź# H" 0,95 .
ś# ź#
�
�# #
Posłużyć się aproksymacją rozkładem normalnym. Wybrać spośród podanych liczb
najbliższe przybliżenie.
(A) 400
(B) 800
(C) 1600
(D) 3200
(E) 2400
5
Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Rzucono niezależnie 16 razy symetryczną monetą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
uzyskano 7 serii, jeśli wiadomo, że uzyskano 10 orłów i 6 reszek.
210
(A)
1001
150
(B)
1001
75
(C)
1001
105
(D)
1001
45
(E)
1001
Uwaga. Serią nazywamy ciąg elementów jednego typu, przed i za którym występuje
element drugiego typu, na przykład w ciągu : aaabbbbaabbbbba jest 5 serii (3 serie
elementów typu a i 2 serie elementów typu b).
6
Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
Zmienne losowe X i Y są niezależne i każda ma rozkład prawdopodobieństwa o
gęstości
4
ż#
gdy x > 0
�#
f (x) = .
(1 + x)5
�#
�#
0 gdy x d" 0
�#
ln(1 + X )
Rozważamy zmienną losową U =
ln[(1 + X )(1 + Y )]. Prawdziwe jest następujące
twierdzenie.
(A) Zmienna losowa U ma rozkład o gęstości p(x) = 140x3(1- x)3 , gdy x " (0,1)
(B) Zmienna losowa U ma rozkład jednostajny na przedziale (0,1)
(C) E(X |U = 0,5) = 2
(D) Cov(X ,U ) < 0
(E) EU = 0,75
7
Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
Zmienne losowe Z1, Z2 ,K, Zn i (X1,Y1), (X ,Y2 ),K,(X ,Yn ) są niezależne. Każda ze
2 n
zmiennych losowych Zi ma jednakowy rozkład prawdopodobieństwa
P(Zi = 1) = p = 1 - P(Zi = 0). Każda ze zmiennych losowych ( Xi ,Yi ) ma jednakowy
2
rozkład prawdopodobieństwa taki, że EXi = EYi = m i VarX = VarYi = � i
i
n n
współczynnik korelacji Corr( Xi ,Yi ) = � . Niech Sn = Xi i Tn = Yi .
"Z "Z
i i
i=1 i=1
Zbadać zbieżność rozkładów prawdopodobieństwa zmiennych
Sn - Tn
przy n +"
n
Sn - Tn
2
(A) N (0, 2 p� (1 - �) + 2m2 p2 )
n
Sn - Tn
2
(B) N(0, 2 p� + 2m2 p(1 - p))
n
Sn - Tn
2
(C) N (0, 2 p(1 - p)� (1 - �))
n
Sn - Tn
2
(D) N (0, 2 p� (1 - �))
n
Sn - Tn
(E) nie jest ciągiem zbieżnym do rozkładu normalnego
n
8
Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
Wiadomo, że A, B, C są zdarzeniami losowymi takimi, że
2 1 1
P(B) = P( A | B) = P(C | A) =
5 4 4
3 1
P( A *" B) = P(C | A )" B) = .
5 2
Obliczyć P(B | A )" C).
(A) Podane informacje nie wystarczają do wyznaczenia P(B | A )" C)
3
(B)
5
1
(C)
2
3
(D)
10
2
(E)
3
9
Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
Niech X1, X ,K, X będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
2 6
rozkładzie jednostajnym na przedziale [- �,�], gdzie � > 0 jest nieznanym
parametrem. Niech �Ć oznacza estymator największej wiarogodności parametru � .
Obliczyć
P�(�Ć < � < 2�Ć).
(A) 0,8232
(B) 0,9998
(C) 0,9858
(D) 0,9844
(E) 0,8220
10
Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi*
Imię i nazwisko : ...................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr Odpowiedz

Punktacjaf&
1 C
2 A
3 A
4 D
5 B
6 B
7 B
8 D
9 E
10 D
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
f&
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11