Kolokwium I rok 2008/2009
Zadanie 3 :
a) Obliczyć: +"L (x-y)dx +(y+x)dy , jeżeli L jest krzywą L: {x2+y2+2y=0 } zorientowaną ujemnie względem swojego
wnętrza.
b) Podać twierdzenie Greena oraz sprawdzić tezę tego twierdzenia dla całki liczonej w punkcie (a).
Rozwiązanie: a)
1) L: x2+y2+2y=0 x2+y2+2y+1 -1=0 x2+(y+1)2=1, L jest okręgiem o promieniu 1 i środku w punkcie (0,-1)
2) Parametryzacja okręgu L (dla orientacji dodatniej):
x(t)=cost, y(t)=-1+sint t[0,2 Ą]
3) Pochodne x' i y':
x'(t)=-sint y'(t)=cost
4) Obliczenie całki ze wzoru +"L Pdx + Qdy=a +"b [P(x(t) , y(t) ) * x'(t)+ Q(x(t), y(t) ) * y2 (t) ]dt
+"L (x-y)dx +(y+x)dy = +"2Ą (cost+1-sint)(-sint) + (-1+sint+cost)(cost) dt =
0
= 0+"2Ą(  sintcost  sint+sin2t  cost +sintcost +cos2t )dt = 0+"2Ą (1-sint-cost)dt =
= 0+"2Ą 1dt + 0+"2Ą(-sint)dt -0+"2Ą cost dt = t|02Ą +cost|02Ą -sint|02Ą = 2Ą+(1-1)-(0-0) =
= 2Ą
5) Obliczenie całki dla orientacji ujemnej według wzoru:
-+"L Pdx + Qdy = +"-L Pdx + Qdy
+"-L (x-y)dx +(y+x)dy = -2Ą
Rozwiązanie: b)
Założenia twierdzenia Greena:
1. D jest obszarem domkniętym, zawartym w R2 , normalnym względem obu osi układu, o brzegu L będącym
łukiem zorientowanym dodatnio.

2. Pole wektorowe F[P,Q] jest różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze D.
Teza twierdzenia Greena:
Sprawdzenie tezy dla punktu a)
P= x-y, Q=x+y, = 1 =-1
Konstruujemy łuk K=-L, wówczas K jest zorientowany dodatnio i:
+"-L Pdx + Qdy = -+"+"D(1-(-1))dxdy = -2+"+"D dxdy = -2 Ą(1)2 = -2Ą
(+"+"D dxdy to pole obszaru D, czyli koła o promieniu 1)
Odpowiedz
: a) +"-L (x-y)dx +(y+x)dy = -2Ą
Autor: Magdalena Cymkowska, grupa 2
21.10.2013