Algebra z elementami równań różniczkowych
Dr Marian Gewert
Wykład 04
Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe rzędu II liniowe
Równania różniczkowe rzędu II liniowe niejednorodne
Definicja:
y' '�ą pśąt źą y' �ąq śątźą y=h śątźą h śątźą`"0
Równanie postaci (LN) , gdzie nazywamy równaniem
liniowym niejednorodnym.
Fakt:
�ąśąt źą , �ąśątźą �ąśąt źą ,-�ą śątźą
Niech będą rozwiązaniami równania (LN). Wtedy jest rozwiązaniem
równania (LJ) odpowiadającemu równaniu (LN).
Twierdzenie (o strukturze):
y1śątźą , y2śąt źą
�ąśąt źą
Niech będzie jednym z rozwiązań równania (LN), niech będzie układem
y śątźą
fundamentalnym równania (LJ) odpowiadającego (LN). Wtedy dla każdego rozwiązania

ą
ą
C1 ,C2
równania (LN) istnieją (jednoznacznie wyznaczone) stałe takie, że:

ą
ą
yśątźą=C1 y1śątźą�ąC2 y2śątźą
Metoda uzmienniania stałych
y' '�ą pśąt źą y' �ąq śątźą y=h śątźą
(LN)
y1śątźą , y2śąt źą
Niech będzie układem fundamentalnym równania (LJ) odpowiadającego (LN).
yśątźą=C1 y1śątźą�ąC y2śąt źą
�ąśąt źą
Szukamy rozwiązania równania (LN) w postaci , gdzie
2
C1śątźą ,C2 śątźą
to odpowiednio dobrane funkcje.
�ą' ' śątźą�ą pśątźą �ą' śątźą�ąqśąt źą�ąśątźą=hśątźą
�ą'=C1 ' y1�ąC1 y1'�ąC ' y2�ąC2 y2' =C1' y1�ąC2 ' y2 1 y1 '�ąC2 y2'
2
�ą�ąC
=0
C1' y1�ąC2 ' y2=0
Zakładamy, że . Zatem:
�ą' ' =C1' y1'�ąC y1' '�ąC2 ' y21'�ąC2 y2' '
Stąd:
1
�ą' ' �ą p�ą'�ąq�ą=C1' y1'�ąC1 y1' '�ąC2 ' y2 '�ąC2 y2 ' '�ą p śąC1 y1'�ąC y2 ' źą�ąq śąC y1�ąC2 y2źą=
2 1
=C1 śą y1' '�ą py1 '�ąqy1 2 śą y2' '�ą py2' �ąqy2 1' y1' �ąC2' y2 '=h
�ąźą�ąC �ąźą�ąC
=0 =0
y śątźą=C1śąt źą y1śątźą�ąC śątźą y2 śątźą
Aby funkcja była rozwiązaniem równania (LN) to funkcje
2
C!śątźą , C2śąt źą
muszą spełniać układ:
C1' śątźą y1śątźą�ąC ' śąt źą y2śąt źą=0 y1śąt źą y2śą tźą
C1' śąt źą
0
2
=
[ ]
C1' śątźą y1' śątźą�ąC2 ' śątźą y2' śąt źą=h śątźą [ ]
y1' śą t źą y2 ' śąt źą [ ] h
C2 ' śąt źą
C!śątźą , C2śąt źą
Układ ten ma jednoznaczne rozwiązanie względem ponieważ:
y1śąt źą y2śąt źą
=W śą y1 , y2źą`"0
#" #"
y1' śąt źą y2' śątźą
0
1
t2 y' '�ą y '- y=1 h=
1
t2
[ ]
śą źą
t2
Przykład: Rozwiąż równanie y ' '�ą y '-2y=t2 yśąt źą=C1 y1śąt źą�ąC2 y2śątźą�ą�ąśątźą
1. �ą2�ą�ą-2=0
�ą=1�ą8=9 �ą=3 �ą1=-1-3 =-2 �ą2=-1�ą3 =1
2. ćą
2 2
y1śątźą=e-2t y2śąt źą=et
3.
�ąśąt źą=C1śątźą e-2t�ąC2śąt źąet
4.
e-2t et
C1' śąt źą 0
=
5.
[ ]
[ ]
-2e-2t et [ ]
C2' śątźą t2
W =e-t�ą2 e-t=3 e-t
2
W
C1 et 2
0 et
W = =-t2 et C1' = =-t =-t e2t
W
C1 3e-t 3
#" #"
t2 et
W
C2
t2e-2t t2
C '= = = e-t
e-2t 0
W
W = =t2 e-2t 2 3e-t 3
C2
#" #"
-2e-2t t2
e2t
2
u=t2 v=
C1śątźą= C1 ' śątźądt= -t e2t dt=-1 t2e2t dt= =-1 [t2 e2t - t e2t dt ]=
2
+" +" +" +"
3 3 3 2
[ ]
u '=2t v '=e2t
e2t
u=t v=
1 1 1 1 1 1 1
= = t2 e2t�ą t e2t- e2t dt = t2 e2t�ą t e2t- e2t
2
+"
[ ]
6 3 2 2 6 6 12
[ ]
u'=1 v' =e2t
t2 t2
C2śąt źą= C ' śąt źą dt= e-t dt=śąat2�ąbt�ącźąe-t=[śąat2�ąbt�ąc źąe-t]'= e-t
+" +"
2
3 3
t2
[2a�ąb]e-t-śą at2�ąbt�ącźąe-t= e-t
3
t2
-at2�ąśą 2a-bźąt�ąb-c=
3
1 2 2
C2śąt źą= - t2- t- e-t
-a=1 a=-1
śą źą
3 3 3
3 3
2 2
2a-b=0 - =-b b=-
3 3
b-c=0 b=c c=-2
3
1 1
yśątźą=C1 y1śątźą�ąC2 y2śątźą�ą�ąśątźą=C1 e-2t�ąC et- śą2t2-2t�ą1źą e2t e-2t- śąt2�ą2t�ą2źąe-t et=
2
12 3
1 1 1 3
=C1 e-2t�ąC2 et- śą2t2-2t�ą1źą-1 śąt2�ą2t�ą2źą=C e-2t�ąC et- t2- t-
1 2
12 3 2 2 4
Metoda przewidywania (współczynników nieoznaczonych)
y' '�ą py'�ąqy=hśątźą
Metoda przewidywania ma zastosowanie tylko do równań postaci , gdzie
p , q"! .
h śątźą=[śąak tk�ą... a1 t�ąa0źącos �ąt�ąśąbk tk�ą... b1 t�ąb0źąsin �ąt ]e�ą t
�ą1 , �ą2
�ąśą�ąźą
Niech oznacza wielomian charakterystyczny równania y' '�ą py ' �ąqy=0 i niech
oznaczają jego pierwiastki.
I. h śątźą=ak tk�ą...�ąa1 t�ąa0
�ą1`"0, �ą2`"0
1.
A0 , A1,... , Ak
�ąśątźą= Ak tk�ą...�ą A1t�ą A0 , gdzie są odpowiednio dobranymi stałymi.
Przykład: Rozwiąż równanie y ' '�ą y '-2y=t2 �ą2�ą�ą-2=0 �ą1=-2`"0,�ą2=1`"0
�ąśąt źą=At2�ąBt�ąC �ą' śąt źą=2At�ą B �ą' ' śąt źą=2A
�ą' ' śątźą�ą�ą' śąt źą-2 �ąśąt źą=t2 2A�ą2At�ąB-2At2-2Bt-2C=t2
-2At2�ąśą2A-2Bźąt�ą2A�ąB-2C=t2
-2A=1 A=-1
2
2A-2B=0 -2B=-2A B=A B=-1
2
1 3
2A�ąB-2C=0 2C=2A�ąB 2C=-1- C=-
2 4
1 3 1 3
�ąśątźą=-1 t2- t- yśątźą=C1 e-2t�ąC2 et-1 t2- t-
2 2 4 2 2 4
�ą1=0, �ą2`"0
2.
A0 , A1,... , Ak są odpowiednio dobranymi
�ąśątźą=śą Ak tk�ą...�ąA1 t�ąA0źąt , gdzie
stałymi.
�ą1=0, �ą2=0
3.
A0 , A1,... , Ak są odpowiednio dobranymi
�ąśątźą=śą Ak tk�ą...�ąA1 t�ąA0źąt2 , gdzie
y ' '=hśąt źą
stałymi. (zawracanie głowy bo )
II. h śątźą=śąak tk�ą...�ąa1 t�ąa0źą e�ą t
�ą1`"�ą ,�ą2`"�ą
1.
�ąśątźą=śą Ak tk�ą...�ąA1 t�ąA0źąe�ą t
�ą1=�ą ,�ą2`"�ą
2.
�ąśątźą=śą Ak tk�ą...�ąA1 t�ąA0źąte�ą t
Przykład: Rozwiąż równanie
y' '�ą y '-2y=t2 �ą=1 �ą2�ą�ą-2=0 �ą-1�ą8=9
�ą1=-2`"�ą , �ą�ą2=1=�ą
�ąśątźą= Atet
�ą' śąt źą= Aet�ą Atet
�ą' ' śątźą= Aet�ąAet�ąAtet
�ą' ' śątźą�ą�ą' śąt źą-2�ąśątźą=[śą2A�ąAtźą�ąśą A�ąAtźą-2At]et=3Aet=et �! A=1
3
�ąśątźą=1 t et
3
yśątźą=C1 e-2t�ąC et�ą1 t et
2
3
�ą1=�ą ,�ą2=�ą
3.
�ąśątźą=śą Ak tk�ą...�ąA1 t�ąA0źąt2 e�ą t
h śątźą=a cos �ąt�ąbsin �ąt
III.
�ą1`"�ąi ,�ą2`"�ą i
1.
�ąśątźą= Acos �ą�ąB sin �ą t
gdzie A i B są odpowiednio dobranymi stałymi
Przykład: Rozwiąż równanie y' '�ą2y'�ą y=4cos 2t �ą=2
�ą2�ą2�ą�ą1=śą�ą�ą1źą2=0 �ą1=�ą2=-1`"2i
�ąśątźą= Acos2t�ą B sin2t
�ą' śąt źą=-2A sin2t�ą2B cos2t
�ą' ' śątźą=-4A cos2t -4B sin2t
�ą' ' śątźą�ą2 �ą' śąt źą�ą�ąśąt źą=-4A cos2t-4B sin2t-4A sin2t�ą4B cos2t�ą A cos2t�ąB cos 2t=
=śą-3A�ą4Bźącos2t�ąśą-4A-3Bźą sin2t=4 cos2t
12
-3A�ą4B=4 A=-
25
-4A-3B=0 B=16
25
yśątźą=C1 e-t�ąC te-t-12 cos2t�ą16 sin2t
2
25 25
�ą1=�ąi , �ą2=�ą1=-�ąi
2.
�ąśątźą=śą A cos�ą�ą Bsin �ąt źąt
Zastosowania
Zgodnie z prawem Newtona prędkość stygnięcia ciała jest wprost proporcjonalna do różnicy
temperatury ciała i temperatury otoczenia.
T śąt źą - temperatura ciała w chwili t
o
T - temperatura toczenia
o
T ' śątźą=-kśąT śątźą-T źą, ką0
dT dT
o o
=-k śąT -T źą =-k dt / ln#"T -T #"=-kt�ąln#"C#"
+"
o
dt
T -T
o o
T śąt źą-T =Ce-kt T śątźą=T �ąCe-kt
o o
T śą0źą=T T śą0źą=T �ąC=T C =T -T
0 0 0
o o
T śąt źą=T �ąśąT -T źą e-kt
0
W pomieszczeniu w którym termometr wskazywał 20oC znaleziono zwłoki denata. Ustalić czas jaki
upłyną od jego śmierci gdy miał 30oC. Temperatura normalna ciała to 36,6oC a współczynnik
k=0,1947.
30=20�ąśą20-36,6źąe-0,1947t=20-16,6 e-0,1947t
10
- =e-0,1947 t
16,6
10
ln
10 16,6
ln - =-0,1947 t t= =2,6 [h]
śą źą
16,6 -0,1947