Niezależność liniowa, bazy i wymiar
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak
18 grudnia 2012
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 1 / 13
Zakres zagadnień
1
Niezależność i zależność liniowa
2
Przestrzeń liniowa rozpięta na wektorach
3
Baza i wymiar przestrzeni liniowej
4
Zadanie
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 2 / 13
Niezależność liniowa
Wektory v1, v2, ..., vn są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy:
Wyznacznik macierzy składającej sie z tych wektorów jest różny od
zera
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 3 / 13
Niezależność liniowa
Wektory v1, v2, ..., vn są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy:
Wyznacznik macierzy składającej sie z tych wektorów jest różny od
zera
Dla każdego układu c1, c2, ..., cn zachodzi równość:
c1v1 + c2v2 + .. + cnvn = 0 i wtedy każde ci(i = 1, 2, ..., n)
jest równe 0
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 3 / 13
Niezależność liniowa
Czy wektory [1, 2], [3, 5] są niezależne?

1 3 c1
= 0
2 5 c2
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 4 / 13
Niezależność liniowa
Czy wektory [1, 2], [3, 5] są niezależne?

1 3 c1
= 0
2 5 c2
detA = 0

Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 4 / 13
Niezależność liniowa
Czy wektory [1, 2], [3, 5] są niezależne?

1 3 c1
= 0
2 5 c2
detA = 0

Podstawiamy do wzoru c1v1 + c2v2 + .. + cnvn = 0
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 4 / 13
Niezależność liniowa
Czy wektory [1, 2], [3, 5] są niezależne?

1 3 c1
= 0
2 5 c2
detA = 0

Podstawiamy do wzoru c1v1 + c2v2 + .. + cnvn = 0
c = [0, 0]
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 4 / 13
Niezależność liniowa
Czy wektory [1, 2], [3, 5] są niezależne?

1 3 c1
= 0
2 5 c2
detA = 0

Podstawiamy do wzoru c1v1 + c2v2 + .. + cnvn = 0
c = [0, 0]
Z tego wynika, że wektory są niezależne liniowo.
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 4 / 13
Zależność liniowa
Jeżeli wektory nie są niezależne liniowo to są one wektorami zależnymi
liniowo.
Przykład na przestrzeni R2
v
2
v
1
v
1
v
=0
2
2V1 - V2 = 0 0 " V1 + 6 " V2 = 0
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 5 / 13
Przestrzeń liniowa rozpięta na wektorach (span)
Przestrzeń liniowa rozpięta na wektorach to podprzestrzeń, która składa
się ze zbioru wszystkich kombinacji wektorów danej przestrzeni.
Span oznacza siÄ™ jako: span{v1, v2, ..., vn}
Czy można sprawdzić, czy dana macierz rozpina przestrzeń?
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 6 / 13
Przestrzeń liniowa rozpięta na wektorach (span)
Przestrzeń liniowa rozpięta na wektorach to podprzestrzeń, która składa
się ze zbioru wszystkich kombinacji wektorów danej przestrzeni.
Span oznacza siÄ™ jako: span{v1, v2, ..., vn}
Czy można sprawdzić, czy dana macierz rozpina przestrzeń?
MOŻNA
Przykład: Macierze rozpinające przestrzeń to:

1 3 1 4 5 1
A1 = A2 =
2 5 3 3 3 2
Macierze, które mogą należeć do tej przestrzeni to:

1 2 1 7 7 1
B1 = B2 =
2 1 3 4 1 1
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 6 / 13
Przestrzeń liniowa rozpięta na wektorach (span)
Jak sprawdzić czy B1 lub B2 należą do przestrzeni rozpinanej?
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 7 / 13
Przestrzeń liniowa rozpięta na wektorach (span)
Jak sprawdzić czy B1 lub B2 należą do przestrzeni rozpinanej?
Układamy równianie dla B1 i B2

1 2 1 1 3 1 4 5 1
= a + b
2 1 3 2 5 3 3 3 2
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 7 / 13
Przestrzeń liniowa rozpięta na wektorach (span)
Jak sprawdzić czy B1 lub B2 należą do przestrzeni rozpinanej?
Układamy równianie dla B1 i B2

1 2 1 1 3 1 4 5 1
= a + b
2 1 3 2 5 3 3 3 2
zatem

1 2 1 a + 4b 3a + 5b a + b
=
2 1 3 2a + 3b 5a + 3b 3a + 2b
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 7 / 13
Przestrzeń liniowa rozpięta na wektorach (span)
Jak sprawdzić czy B1 lub B2 należą do przestrzeni rozpinanej?
Układamy równianie dla B1 i B2

1 2 1 1 3 1 4 5 1
= a + b
2 1 3 2 5 3 3 3 2
zatem

1 2 1 a + 4b 3a + 5b a + b
=
2 1 3 2a + 3b 5a + 3b 3a + 2b
stÄ…d
Å„Å‚
1 = a + 4b
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 2 = 3a + 5b
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
1 = a + b
ôÅ‚
2 = 2a + 3b
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1 = 5a + 3b
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
3 = 3a + 2b
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 7 / 13
Przestrzeń liniowa rozpięta na wektorach (span)
Jak widać, dla macierzy B1 układ równań jest sprzeczny, więc nie może
ona należeć do przestrzeni.
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 8 / 13
Przestrzeń liniowa rozpięta na wektorach (span)
Jak widać, dla macierzy B1 układ równań jest sprzeczny, więc nie może
ona należeć do przestrzeni.
Sprawdz
my to samo dla macierzy B2
Dla niej otrzymamy układ równań:
Å„Å‚
7 = a + 4b
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 7 = 3a + 5b
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
1 = a + b
ôÅ‚
4 = 2a + 3b
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1 = 5a + 3b
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
1 = 3a + 2b
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 8 / 13
Przestrzeń liniowa rozpięta na wektorach (span)
Jak widać, dla macierzy B1 układ równań jest sprzeczny, więc nie może
ona należeć do przestrzeni.
Sprawdz
my to samo dla macierzy B2
Dla niej otrzymamy układ równań:
Å„Å‚
7 = a + 4b
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 7 = 3a + 5b
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
1 = a + b
ôÅ‚
4 = 2a + 3b
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1 = 5a + 3b
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
1 = 3a + 2b
Jego rozwiązaniem są: a = -1 i b = 2, dlatego B2 należy do rozpinanej
przestrzeni.
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 8 / 13
Baza
Zbiór wektorów, które spełniają warunki:
Są liniowo niezależne
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 9 / 13
Baza
Zbiór wektorów, które spełniają warunki:
Są liniowo niezależne
Zbiór wektorów rozpina całą przestrzeń liniową
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 9 / 13
Baza
Zbiór wektorów, które spełniają warunki:
Są liniowo niezależne
Zbiór wektorów rozpina całą przestrzeń liniową
Każda przestrzeń liniowa posiada swoją bazę
Przykłady baz:
Dla R3 podstawową bazą dla każdej macierzy są wektory:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 , 1 , 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 1
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 9 / 13
Inne przykłady baz
1
Dla R2:

1 7
2 3
2
Dla R3:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 -1 7
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 3
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ -2
ûÅ‚
3 2 0
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 10 / 13
Wymiar
Jest to ilość wektorów składających się na bazę przestrzeni liniowej.
Jeśli baza przestrzeni A to zbiór wektorów {v1, v2, ..., vn}, to wymiar
zapisujemy jako dimA = n
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 11 / 13
Wymiar
Jest to ilość wektorów składających się na bazę przestrzeni liniowej.
Jeśli baza przestrzeni A to zbiór wektorów {v1, v2, ..., vn}, to wymiar
zapisujemy jako dimA = n
Przykład:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 1
ïÅ‚ śł
A = 1 1 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
1 2 3 1
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 11 / 13
Wymiar
Jest to ilość wektorów składających się na bazę przestrzeni liniowej.
Jeśli baza przestrzeni A to zbiór wektorów {v1, v2, ..., vn}, to wymiar
zapisujemy jako dimA = n
Przykład:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 1
ïÅ‚ śł
A = 1 1 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
1 2 3 1
Po odpowiednich przekształceniach widać, że macierz posiada 2 elementy
osiowe, co daje nam 2 wektory składające się na bazę macierzy A.
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 11 / 13
Wymiar
Jest to ilość wektorów składających się na bazę przestrzeni liniowej.
Jeśli baza przestrzeni A to zbiór wektorów {v1, v2, ..., vn}, to wymiar
zapisujemy jako dimA = n
Przykład:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 1
ïÅ‚ śł
A = 1 1 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
1 2 3 1
Po odpowiednich przekształceniach widać, że macierz posiada 2 elementy
osiowe, co daje nam 2 wektory składające się na bazę macierzy A.
Wniosek: Wymiar tej macierzy wynosi 2 (R2).
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 11 / 13
Zadanie
Sprawdz
czy wektory v1, v2, v3 są zależne czy niezależne liniowo
v1 = [1, 0, 3], v2 = [2, -1, 5], v3 = [3, 3, 3]
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 12 / 13
Zadanie - rozwiÄ…zanie
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3
ïÅ‚ śł
A = 0 -1 3
ðÅ‚ ûÅ‚
3 5 3
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 13 / 13
Zadanie - rozwiÄ…zanie
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3
ïÅ‚ śł
A = 0 -1 3
ðÅ‚ ûÅ‚
3 5 3
detA = 0
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 13 / 13
Zadanie - rozwiÄ…zanie
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3
ïÅ‚ śł
A = 0 -1 3
ðÅ‚ ûÅ‚
3 5 3
detA = 0
Według wzoru c1v1 + c2v2 + .. + cnvn = 0 otrzymamy układ równań:
Å„Å‚
ôÅ‚
c1 + 2c2 + 3c3 = 0
òÅ‚
-c2 + 3c3 = 0
ôÅ‚
ół
3c1 + 5c2 + 3c3 = 0
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 13 / 13
Zadanie - rozwiÄ…zanie
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3
ïÅ‚ śł
A = 0 -1 3
ðÅ‚ ûÅ‚
3 5 3
detA = 0
Według wzoru c1v1 + c2v2 + .. + cnvn = 0 otrzymamy układ równań:
Å„Å‚
ôÅ‚
c1 + 2c2 + 3c3 = 0
òÅ‚
-c2 + 3c3 = 0
ôÅ‚
ół
3c1 + 5c2 + 3c3 = 0
I otrzymujemy wynik
Å„Å‚
ôÅ‚
c3 = 0
òÅ‚
c2 = 0
ôÅ‚
ół
c1 = 0
Więc wektory są niezależne
Krystian Grzymski, Weronika Witkowiak Niezależność liniowa, bazy i wymiar 18 grudnia 2012 13 / 13