Strona 1 z 9
Orion | Ćwiczenia > Niezbędnik
Niezbędnik astronomiczny
1. Wielkość gwiazdowa: idea pochodząca z 120 roku
p.n.e.
Kiedy spoglądamy w niebo w pogodną noc widzimy gwiazdy. Niektóre są jasne, inne tak słabe, \
e ledwie
dostrzegalne z Ziemi. Niektóre słabiutkie gwiazdy są w rzeczywistości bardzo jasne lecz poło\
one bardzo
daleko. Z drugiej strony część najjaśniejszych gwiazd na niebie jest w rzeczywistości bardzo słaba, ale le\
ą
blisko nas, więc wydają się być jasne. Wykonując obserwacje astronomiczne czynimy to z powierzchni Ziemi
lub z jej bezpośredniej bliskości, mo\
emy zatem mierzyć jedynie ilość docierającego do nas światła. Niestety
wielkości obserwowane nie przekładają się w bezpośredni sposób na wielkości opisujące fizyczne parametry
gwiazd. Jeśli chcemy dowiedzieć się czegoś więcej o danej gwiez
dzie np. poznać jej rozmiar czy jasność
fizyczną (rzeczywistą) musimy najpierw zmierzyć jej odległość od Ziemi.
Historycznie rzecz biorąc, gwiazdy widoczne gołym okiem zostały podzielone na sześć przedziałów w jasności
zwanych wielkościami gwiazdowymi (z łaciny: magnitudo, w skrócie: mag). Ten system określania jasności
gwiazd został wprowadzony przez greckiego astronoma Hipparcha około 120 roku p.n.e. i jest u\
ywany
współcześnie z niewielkimi modyfikacjami. Hipparch określił najjaśniejsze gwiazdy jako mające wielkość
gwiazdową równą 1, a najsłabsze jako mające wielkość gwiazdową równą 6.
Rys. 1 Hipparch (ok.190-120 p.n.e.)
Hipparch, grecki astronom, wynalazca pierwszej
skali jasności gwiazd
Astronomia zmieniła się bardzo od czasów Hipparcha! Zamiast u\
ywania jedynie oka nieuzbrojonego do
obserwacji, w dzisiejszych czasach światło obiektów astronomicznych zbierane jest przez olbrzymie lustra
teleskopów naziemnych takich jak Very Large Telescope (VLT) na pustyni Atacama w Chile czy Teleskop
Strona 2 z 9
Kosmiczny Hubble'a (HST) krą\
ący na orbicie wokółziemskiej. Zgromadzone światło jest następnie
analizowane przez instrumenty zdolne detektować obiekty miliardy razy słabsze ni\
te, które mo\
na
zaobserwować gołym okiem.
Jednak\
e nawet dzisiaj astronomowie u\
ywają trochę zmodyfikowanego systemu wielkości gwiazdowych
Hipparcha zwanego jasnościami obserwowanymi czyli widomymi. Współczesna definicja wielkości
gwiazdowych została tak dobrana, aby pomiary jasności ju\
dokonywane nie musiały być zmieniane.
Astronomowie posługują się dwoma rodzajami wielkości gwiazdowych: jasnościami obserwowanymi oraz
jasnościami absolutnymi .
2. Jasność obserwowana
Jasność obserwowana m gwiazdy jest miarą tego, jak jasna jest gwiazda widziana z Ziemi. Zamiast
definiowania jasności obserwowanej poprzez ilość kwantów światła docierających do obserwatora, określamy
ją względem jasności obserwowanej oraz natę\
enia światła pochodzących od gwiazdy odniesienia. Oznacza to,
\
e astronom mo\
e określić jasności obserwowane gwiazd poprzez porównanie wyników pomiarów z
poprzednio uzyskanymi w sposób absolutny (nie względny) dla gwiazd odniesienia.
Jasność obserwowana m gwiazdy jest określona jako
m = mrel - 2.5 log (I/Irel)
gdzie mrel jest jasnością obserwowaną gwiazdy odniesienia, I jest obserwowanym natę\
eniem promieniowania
od rozwa\
anej gwiazdy oraz Irel jest obserwowanym natę\
eniem promieniowania od gwiazdy odniesienia.
Czynnik 2.5 sprawia, \
e współczesna, matematyczna definicja jasności gwiazd koresponduje ze starą definicją
Hipparcha, opartą na subiektywnych wra\
eniach.
Warto zauwa\
yć, \
e skala jaką Hipparch wybrał przy definiowaniu wielkości gwiazdowych, opierając się
jedynie na intuicyjnych przesłankach z obserwacji gołym okiem, jest logarytmiczna, co odzwierciedla sposób
reakcji naszego oka na zmianę natę\
enia światła do niego docierającego.
Jako przykładowe wartości jasności kilku obiektów astronomicznych wez
my Księ\
yc w pełni, który ma jasność
obserwowaną -12.7 mag, jasność Wenus mo\
e dochodzić do -4 mag, a Słońce ma jasność około -26.5 mag.
3. Jasność absolutna
Mamy ju\
precyzyjną definicję jasności obserwowanych. Jest to bardzo u\
yteczne pojęcie dla astronomów,
jednak\
e nie mówi nam ono o fizycznych parametrach gwiazd. Dlatego potrzebujemy wielkości, która pozwoli
nam porównywać ze sobą ró\
ne gwiazdy i przeprowadzać na nich badania statystyczne. Poszukiwana wielkość
to właśnie jasność absolutna .
Jasność absolutna M gwiazdy jest zdefiniowana jako jasność obserwowana jaką miałaby gwiazda umieszczona
w odległości 10 parseków od Słońca (o parsekach przeczytasz w Niezbędniku matematycznym). Poniewa\

bardzo niewiele gwiazd znajduje się w odległości 10 parseków (pc), u\
ywamy równania pozwalającego
obliczyć jasność absolutną gwiazd znajdujących się w dowolnej odległości. Formułę tę nazwiemy równaniem
na odległość. Relacja ta działa tak\
e w drugą stronę, czyli znając jasność absolutną mo\
emy z niej uzyskać
odległość do rozwa\
anego obiektu.
4. Ró\
ne kolory, ró\
ne jasności
W końcu XIX wieku, gdy astronomowie z powodzeniem wykorzystywali klisze fotograficzne do robienia zdjęć
obiektów astronomicznych i pomiarów obserwowanych jasności gwiazd, pojawił się nowy problem. Niektóre
gwiazdy, które wydawały się mieć identyczną jasność podczas obserwacji gołym okiem, okazywały się mieć
ró\
ną jasność, gdy pomiarów jasności dokonywano z wykorzystaniem klicz fotograficznych, i odwrotnie.
Strona 3 z 9
Okazało się, \
e emulsja fotograficzna wówczas u\
ywana była bardziej czuła na światło niebieskie w
porównaniu z czułością ludzkiego oka. Natomiast na światło czerwone była mniej czuła ni\
oko. Bazując na
tym spostrze\
eniu wprowadzono dwie skale jasności obserwowanych: jasności wizualne (mvis) opisujące
jasność gwiazdy, gdy jest obserwowana okiem nieuzbrojonym oraz jasności fotograficzne (mphot), gdy jest
obserwowana za pomocą, czułych na niebieskie światło, czarno-białych klisz fotograficznych. Będziemy
stosować skróty dla oznaczenia zdefiniowanych wy\
ej jasności: mv oraz mp. Kłopot w tym, \
e ró\
ne rodzaje
emulsji fotograficznej są czułe na ró\
ne kolory. Ludzkie oczy tak\
e się pod tym względem ró\
nią! Systemy
jasności wykorzystywane dla ró\
nych długości fal muszą być dobrze wykalibrowane. Współcześnie dokładne
wartości jasności obserwowanych dla gwiazd są określane za pomocą pomiarów standaryzowanymi
fotometrami przy u\
yciu standardowych filtrów kolorowych. Na przestrzeni lat powstało kilka systemów
fotometrycznych, z których najbardziej znany jest system UBV. Nazwa pochodzi od systemu u\
ywanych w nim
filtrów: filtr U przepuszcza do kliszy fotograficznej światło o długości fal odpowiadających bliskiemu
ultrafioletowi, filtr B - światło niebieskie, filtr V - światło odpowiadające z grubsza odbieranemu przez ludzkie
oko. Ostatni filtr przepuszcza najwięcej światła w pasmie \
ółto-zielonym, więc tam gdzie oko jest tak\
e
najczulsze. Jasności gwiazd w poszczególnych filtrach oznaczamy mU, mB, mV.
Rys. 2 Temperatura a kolor gwiazd
Schematyczne diagramy pokazują zale\
ność pomiędzy kolorem a temperaturą
powierzchniową gwiazdy. Natę\
enie promieniowania w funkcji długości fali
promieniowania pokazane jest dla dwóch, hipotetycznych gwiazd. Zaznaczona jest
widzialna część widma promieniowania. Kolor gwiazdy wyznaczony jest przez
poło\
enie maksymalnej wartości natę\
enia promieniowania w przedziale długości
fal dla światła widzialnego.
5. Od wskaz
nika barwy B-V do temperatury
Pojęcie wskaz
nika barwy B-V, nazywanego przez astronomów po prostu B-V, jest zdefiniowane jako ró\
nica w
jasnościach obserwowanych danej gwiazdy w filtrze B i V czyli mB - mV (w systemie fotometrycznym UBV).
Czystobiała gwiazda ma wskaz
nik barwy B-V około 0.2 mag, Słońce - równy 0.63 mag, pomarańczowo-
czerwona gwiazda Betelgeuze w gwiazdozbiorze Oriona ma B-V równe 1.85 mag, a najbardziej niebieskie
gwiazdy mogą mieć B-V wynoszące około -0.4 mag. Jednym z mo\
liwych sposobów myślenia o wskaz
niku
barwy jest taki, \
e im bardziej niebieska jest gwiazda, tym mniesza jest jej jasność obserwowana mB wyra\
ona
w wielkościach gwiazdowych, zatem ró\
nica mB - mV jest tak\
e coraz mniejsza. Wiemy tak\
e, \
e istnieje
dobrze określona relacja pomiędzy temperaturą powierzchniową T gwiazdy oraz jej wskaz
nikiem barwy B-V
(zaglądnij do artykułu: Reed C., 1998, Journal of the Royal Society of Canada, 92, str. 36-37), więc mierząc
wskaz
nik barwy mo\
emy określić temperaturę gwiazdy, wykorzystując zale\
ność temperatury T od B-V,
przedstawioną na rysunku 3, i daną wzorem
log10(T) = (14.551 - (mB - mV)) / 3.684
Strona 4 z 9
Rys 3. Temperatura powierzchniowa gwiazdy w funkcji
wskaz
nika barwy B-V
Wykres przedstawia zale\
ność temperatury powierzchniowej
gwiazdy od wskaz
nika barwy B-V. Znając temperaturę albo
wskaz
nik barwy mo\
emy znalez
ć wartość drugiej, nieznanej
wielkości.
6. Równanie na odległość
Równanie na odległość zapisujemy w następującej formie
m - M = 5 log (D / 10 pc) = 5 log (D) - 5
Przedstawia ono związek zachodzący pomiędzy jasnością obserwowaną m, jasnością absolutną M oraz
odległością D do rozwa\
anego obiektu (odległość D mierzona jest w parsekach). Wielkość m-M znana jest pod
nazwą modułu odległości i mo\
e zostać wykorzystana do wyznaczenia odległości do obiektu.
Prosta algebra pozwala przekształcić to równanie do innej postaci, która często jest wygodniejsza w u\
yciu
(warto przeprowadzić samemu odpowiednie przekształcenia):
D = 10(m-M+5)/5
W celu wyznaczenia odległości we Wszechświecie musimy najpierw wyznaczyć jasność obserwowaną m
obiektu, którego odległości poszukujemy. Potem, jeśli znamy rzeczywistą jasność obiektu (jego jasność
absolutną M), mo\
emy obliczyć odległość D. Większość trudności w wyznaczaniu odległości w astronomii
tkwi w określeniu jasności absolutnych pewnych typów obiektów astronomicznych. Przykładowo, jasności
absolutne zostały zmierzone przez satelitę Hipparcos, wysłanego na orbitę wokółziemską przez Europejską
Agencję Przestrzeni Kosmicznej (ESA). Satelita ten dokonał, prócz wielu innych obserwacji, precyzyjnych
Strona 5 z 9
pomiarów odległości oraz jasności obserwowanych bardzo du\
ej grupy gwiazd w pobli\
u Słońca.
Rys 4. Satelita HIPPARCOS (własność ESA)
Satelita HIPPARCOS został wyniesiony na orbitę 8 sierpnia 1989
roku przez rakietę Ariane 4. Głównym zadaniem HIPPARCOS-a
było sporządzenie katalogu pozycji gwiazd z nieosiągniętą dotąd
dokładnością. Zostały zmierzone z wysoką precyzją poło\
enia i
odległości około 120000 wcześniej wybranych gwiazd, jaśniejszych
ni\
13 mag w filtrze B. Misja HIPPARCOS-a zakończyła się w 1993
roku, a ostateczny katalog gwiazd został opublikowany w 1997 roku.
7. Moc i natę\
enie
Do tej pory mówiliśmy o jasnościach gwiazd, obserwowanej i absolutnej, lecz nie wspominaliśmy ani słowem
o tym jak du\
o energii promienistej jest w rzeczywistości emitowane przez gwiazdy. Całkowita ilość energii
wypromieniowywana przez gwiazdę w ciągu jednej sekundy jest nazywana mocą promieniowania gwiazdy,
oznaczana jest L i mierzona w watach (W). Wielkość ta jest odpowiednikiem mocy emitowanej.
Moc promieniowania i jasność są ze sobą powiązane. Odległa gwiazda, mająca du\
ą moc promieniowania
mo\
e mieć identyczną jasność obserwowaną jak bliska gwiazda o małej mocy promieniowania. Znając jasność
obserwowaną i odległość do gwiazdy jesteśmy w stanie wyznaczyć moc promieniowania gwiazdy.
Gwiazda wypromieniowuje światło we wszystkich kierunkach, więc rozkłada się ono równo na całej sferze
otaczającej koncentrycznie gwiazdę. W celu znalezienia natę\
enia promieniowania I na Ziemi, pochodzącego
od gwiazdy, dzielimy moc promieniowania gwiazdy przez powierzchnię sfery otaczającą gwiazdę, o promieniu
równym odległości D gwiazdy od Ziemi. Mamy zatem (porównaj z rysunkiem 5)
I = L / (4 π D2)
Moc promieniowania gwiazdy mo\
e być tak\
e wyra\
ana jako wielokrotność mocy promieniowania Słońca,
gdzie Lsun = 3.85 * 1026 W. Ze względu na to, \
e Słońce jest naszą gwiazdą i najbardziej z tego powodu znaną,
prawie zawsze traktowane jest jako gwiazda odniesienia.
Strona 6 z 9
Korzystając z prostych przekształceń znajdujemy wyra\
enie na moc promieniowania L gwiazdy, wyra\
onej w
jednostkach mocy promieniowania Słońca
L/Lsun = (D/Dsun)2 I/Isun
Stosunek I/Isun mo\
e być wyznaczony przy u\
yciu równania z paragrafu pt. Jasność obserwowana, biorąc pod
uwagę, \
e msun = -26.5 mag.
Rys 5. Natę\
enie promieniowania
Rysunek pokazuje jak dana ilość promieniowania oświetla wzrastającą
powierzchnię przy wzroście odległości od z
ródła światła. Pole oświetlonej
powierzchni wzrasta z kwadratem odległości, co powoduje, \
e natę\
enie
promieniowania maleje z kwadratem odległości.
Ćwiczenia sprawdzające
Podane tutaj krótkie ćwiczenia pozwolą Ci zapoznać się z dotychczas wprowadzonymi wielkościami.
Ćwiczenie NA1
Gwiazda α Orionis (Betelgeuze) ma
jasność obserwowaną m=0.45 mag i jasność
absolutną M=-5.14.
Znajdz
odległość do Betelgeuze.
Betelgeuze jest czerwoną gwiazdą tworzącą
lewe ramię Oriona (gdy obserwowana z Ziemi) i
jest czerwonym nadolbrzymem. Kiedy patrzymy
na nią nieuzbrojonym okiem widzimy wyraz
nie,
\
e ma ona pomarańczowo-czerwone
Strona 7 z 9
zabarwienie.
Fot 1. Betelgeuze
Fot 2. Wega (konstelacja:
(konstelacja: Orion,
Ćwiczenie NA2 Lutnia, łac. Lyra)
łac.Orion)
Gwiazda α Lyrae (Wega), mająca jasność
absolutną 0.58 mag znajduje się w odległości
7.76 pc. Oblicz jasność obserwowaną Wegi.
Wega jest najjaśniejszą gwiazdą konstelacji
Lutni (łac: Lyra) i prawą, górną gwiazdą tzw.
trójkąta letniego.
Ćwiczenie NA3
α Cygni (Deneb) jest lewą, górną gwiazdą
w trójkącie letnim oraz najjaśniejszą gwiazdą w
gwiazdozbiorze A
abędzia (łac: Cygnus). Jej
Fot 3. Trójkąt letni. W
jasność obserwowana wynosi 1.25 mag, a
lewym górnym rogu Deneb Fot 4. Syriusz
odległość do Deneba a\
993 pc. Znajd\
jej
(konstelacja: A
abędz
, łac. (konstelacja: Wielki Pies,
jasność absolutną. Co mówi Ci uzyskany wynik
Cygnus), przy prawej łac. Canis Maior)
o naturze tej gwiazdy?
krawędzi Wega, w lewym
dolnym rogu Altair
Ćwiczenie NA4
(konstelacja: Orzeł, łac.
Aquila)
Gwiazda α Canis Maioris czyli Syriusz
jest najjaśniejszą gwiazdą nocnego nieba.
Znajduje się w odległości 2.64 pc, a jej jasność obserwowana wynosi -1.44 mag. Oblicz jasność absolutną
Syriusza. Jeśli porównasz ją z jasnością ju\
rozwa\
anych gwiazd, co mo\
esz powiedzieć o rzeczywistej,
fizycznej jasności Syriusza?
Ćwiczenie NA5
Gdyby Wega, Syriusz, Betelgeuza i Deneb znajdowały się wszystkie w tej samej odległości od Ziemi równej 10
pc i w tym samym rejonie nieba, co widzielibyśmy?
Ćwiczenie NA6
Jasność absolutna M jest zdefiniowana jako jasność obserwowana gwiazdy, gdyby ją umieścić w odległości 10
pc od Słońca. Nie byłoby poprawniejszym rozwiązaniem mierzyć odległość gwiazdy od Ziemi? Dlaczego nie
ma to znaczenia czy mierzymy tę odległość od Słońca, czy od Ziemi?
Niezbędnik matematyczny
Małe kąty i du\
e odległości
Przyglądnijmy sie rysunkowi 6. Jeśli b jest małe w porównaniu z c, to mo\
emy zało\
yć, \
e dwa dlugie boki
trójkąta mają długość bardzo zbli\
oną do c, co zaznaczono na rysunku jako ~c. Stosując zale\
ność wa\
ną dla
trójkątów prostokątnych mamy
sin(β/2) = (b/2)/c
Teraz mo\
emy u\
yć przybli\
enia małych kątów i napisać sin(x) = x, jeśli x jest bardzo małym kątem
Strona 8 z 9
mierzonym w radianach. Przybli\
enie to mo\
e wydawać się nieuprawnione, jednak\
e mo\
na matematycznie
udowodnić, \
e działa ono bardzo dobrze w zastosowaniu do bardzo małych kątów.
Rys 6. Małe kąty
Jeśli b jest małe w porównaiu z c, to wtedy β jest małym kątem.
Mo\
emy wtedy uzyskać zale\
ność pomiędzy b,c oraz β bez stosowania
funkcji trygonometrycznych:
Ćwiczenie NM1
Wypróbuj działanie powy\
szego przybli\
enia przez oblicznie sin(1o), sin(1'), sin(1''). Zauwa\
, \
e najpierw
musisz zamienić stopnie na radiany.
Przy u\
yciu przybli\
enia małych kątów otrzymujemy prostą zale\
ność pomiędzy b,c oraz β bez
stosowania funkcji trygonometrycznych
β/2 = (b/2)/c
c = b/β
Jednostki i podstawowe wielkości
1 sekunda łuku = 1/3600 stopnia = 4.848 * 10-6
radiana
1 milisekunda łuku (mas) = 1/1000 sekundy łuku
prędkość światła (c) = 2.997 * 108 m/s
1 parsek (pc) = 3.086 * 1013 km = 3.26 lat świetlnych
1 kiloparsek (kpc) = 1000 parseków
1 megaparsek (Mpc) = 106 parseków
1 nanometr (nm) = 10-9 metra
Dla nauczyciela
Ten rozdział zawiera odpowiedzi do ćwiczeń przedstawionych w obu Niezbędnikach
Ćwiczenie NA1
D = 131 pc
Ćwiczenie NA2
m = 0.03 mag
Ćwiczenie NA3
M = -8.73 mag
Gwiazda jest wyjątkowo jasna w rzeczywistości.
Strona 9 z 9
Ćwiczenie NA4
M = 1.45 mag
W porównaniu z Denebem (M = -8.73 mag), Betelgeuze (M = -5.14 mag) czy Wegą (M = -0.58 mag) Syriusz
jest w rzeczywistości raczej słabą gwiazdą. Pokazuje to, \
e nasze zmysły nie zawsze są zdolne poznać 'na
odległość' fizyczną rzeczywistość z jaką mamy do czynienia.
Ćwiczenie NA5
Jeśli przenieślibyśmy gwiazdy na odległość 10 pc, to Wega i Syriusz byłyby troszkę słabsze, ale nadal pośród
najjaśniejszych gwiazd na niebie. Natomiast Deneb i Betelgeuze byłyby du\
o bardziej jasne ni\
jakiekolwiek
inne gwiazdy widoczne nocą z Ziemi.
Ćwiczenie NA6
Nie ma powodu, aby rozró\
niać pomiędzy pomiarami jasności gwiazdy z Ziemi i Słońca, poniewa\
wzajemna
odległość Ziemi i Słońca jest du\
o mniejsza ni\
10 pc. Mo\
na wyznaczyć ró\
nicę w jasnościach
obserwowanych gwiazdy gdyby przyjąć odległość raz od Ziemi, a raz od Słońca, i wyniesie ona nie więcej ni\

10-6 mag.
Ćwiczenie NM1
sin(1o) = sin(0.017453293 rad) = 0.017452406
sin(1') = sin(0.000290888 rad) = 0.000290888
sin(1'') = sin(4.84814*10-6 rad) = 4.84814*10-6