Elektrotechnika laboratorium
I.2. Pomiary napięcia i prądu. Sprawdzanie praw
Kirchhoffa
W obliczeniach obwodów elektrycznych, Obok podanego prawa Ohma, podstawowe
znaczenie mają dwa prawa Kirchhoffa sformułowane w 1845 r. i wynikające z prawa
zachowania energii.
Pierwsze prawo Kirchhoffa, dotyczące bilansu prądów w węz
le obwodu elektrycznego
prądu stałego, można sformułować następująco:
dla każdego węzła obwodu elektrycznego suma algebraiczna prądów jest równa
zeru.
Ł Ią = 0 (1)
Wskaz
nik ą przyjmuje wartości 1, 2, 3... w zależności od liczby gałęzi zbiegających
się w węz
le obwodu.
Do równania (1) pod znakiem sumy podstawiamy prądy z różnymi znakami w zale-
żności od zwrotu prądu względem węzła. Przyjmiemy umowę, że prądy zwrócone do
węzła opatrzymy znakiem plus (+), a prądy mające zwrot od węzła opatrzymy
znakiem minus (-). Zgodnie z tą umową dla pewnego węzła obwodu, przedstawionego
na rys. 1, napiszemy
I1 + I2 +I3  I4  I5 =0 (2)
Rys. 1 Węzeł obwodu elektrycznego z zaznaczonymi zwrotami prądów względem
węzła.
Jeżeli prądy ze znakiem minus przeniesiemy na drugą stronę równania, to otrzymamy
I1 + I2 +I3 = I4 + I5 (3)
1
Elektrotechnika laboratorium
Pierwsze prawo Kirchhoffa w postaci wynikającej z równania (3) możemy sfor-
mułować następująco:
dla każdego węzła obwodu elektrycznego suma prądów dopływających do węzła
jest równa sumie prądów odpływających od węzła. W sformułowaniu tym zawarta
jest zasada bilansu prądów.
Drugie prawo Kirchhoffa dotyczące bilansu napięć w oczku obwodu elektrycznego
prądu stałego można sformułować następująco:
w dowolnym oczku obwodu elektrycznego prądu stałego suma algebraiczna
napięć z
ródłowych oraz suma algebraiczna napięć odbiornikowych
występujących na rezystancjach rozpatrywanego oczka jest równa zeru
Ł Eą + Ł R�I� = 0 (4)
Wskaz
nik ą przyjmuje wartości 1, 2, 3... w zależności od liczby z
ródeł należących
do rozpatrywanego oczka, a wskaz
nik � przyjmuje wartości 1, 2, 3... w zależności od
liczby elementów rezystancyjnych występujących w wybranym oczku obwodu
elektrycznego. Jest oczywiste, że liczba napięć z
ródłowych nie musi być równa liczbie
napięć odbiornikowych.
Rys. 2 Wyodrębnione oczko obwodu elektrycznego
Na rys. 2 przedstawiono wyodrębnione oczko pewnego rozgałęzionego obwodu
elektrycznego mające cztery gałęzie. Napięcia z
ródłowe oznaczone są E1, E2, E3,
a napięcia odbiornikowe U1 = R1I1, U2 = R2I2, U3 = R3I3, U4 = R4I4. Przyjmujemy
pewien zwrot obiegowy oczka, oznaczony strzałką umieszczoną wewnątrz oczka. Idąc
kolejno od węzła 1, zgodnie z przyjętym zwrotem obiegowym oczka, podstawiamy
pod znak sumy w równaniu (4) napięcia z
ródłowe z odpowiednim znakiem: jeżeli
strzałka zwrotu napięcia z
ródłowego jest zgodna ze zwrotem obiegowym oczka,
to napięcie z
ródłowe bierzemy ze znakiem plus (+), jeżeli zaś przeciwna to ze
znakiem minus (-). Po zastrzał kowaniu napięć odbiornikowych w podobny sposób
nadajemy im odpowiedni znak i podstawiamy pod znak sumy w równaniu (4).
2
Elektrotechnika laboratorium
W rezultacie
E1  E2  E3  U1 + U2 + U3  U4 = 0 (5)
Jeżeli napięcia odbiornikowe przeniesiemy na drugą stronę równania (5), to
E1  E2  E3 = U1  U2  U3 + U4 (6)
Drugie prawo Kirchhoffa w postaci odpowiadającej równaniu (6) (podane poprzednio
sformułowanie odpowiadało równaniu 5) możemy sformułować następująco:
w dowolnym oczku obwodu elektrycznego prądu stałego suma algebraiczna
napięć z
ródłowych jest równa sumie algebraicznej napięć odbiornikowych.
W sformułowaniu tym zawarta jest zasada bilansu napięć: W oczku nie
zawierającym z
ródeł napięcia suma algebraiczna napięć odbiornikowych jest
równa zeru.
Jednostki.
Jednostką miary wielkości fizycznej nazywamy wartość danej jednostki fizycznej,
której umownie przyporządkujemy wartość liczbową równą jedności.
Przedrostek. Oznaczenie. Mnożnik.
eksa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000
peka P 1015 = 1 000 000 000 000 000
teta T 1012 = 1 000 000 000 000
giga G 109 = 1 000 000 000
maga M 106 = 1 000 000
kilo k 103 = 1 000
hekto h 102 = 100
deka da 101 = 10
--- --- ---
decy d 10-1 = 0,1
centy c 10-2 = 0,01
mili m 10-3 = 0,001
mikro � 10-6 = 0,000 001
nano n 10-9 = 0,000 000 001
piko p 10-12 = 0,000 000 000 001
femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001
atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001
Symbol. Nazwa. Wielkość elektryczna.
V wolt napięcie elektryczne U, siła elektromotoryczna E, potencjał
elektryczny
A amper natężenie prądu I, napięcie magnetyczne Um, siła
magnetomotoryczna Fm
S simens konduktancja G, susceptacja B, admitancja Y
&! om rezystancja R, reaktancja X, impedancja Z
W wat moc P
3
Elektrotechnika laboratorium
Mierniki.
Oznaczenia: a) ustrój magnetoelektryczny, b) ustrój magnetoelektryczny z
prostownikiem.
Mierniki magnetoelektryczne
Mierniki magnetoelektryczne
Miernikami magnetoelektrycznymi nazywamy mierniki, w których odchylenie
organu ruchomego następuje w wyniku współdziałania pola magnetycznego magnesu
trwałego i ruchomej cewki, przez którą płynie prąd (rys. 1).
Rys. 1. Zasada działania miernika magneto-
elektrycznego a) ustrój;
b) kierunek sil działających na cewkę w polu
magnetycznym /  magnes trwały, 2  nabiegunniki,
3  rdzeń, 4  szczelina powietrzna, 5  cewka, 6
 wskazówka, 7  masy równoważące, 8 
sprężyny, 9  bocznik, B  indukcja magnetyczna, F
 siły oddziaływania pola, a  szerokość cewki
Magnes trwały z nabiegunnikami, wykonanymi ze
stali magnetycznie miękkiej, stanowi element
nieruchomy miernika. Organem ruchomym jest cewka
nawinięta cienkim przewodem miedzianym,
izolowanym. Cewka jest ułożyskowana w taki sposób, aby jej oś obrotu pokrywała się
: osią geometryczną szczeliny obwodu magnetycznego. Do cewki jest przymocowana
wskazówka. Jeżeli przez uzwojenie cewki płynie rad stały /, doprowadzony przez
sprężyny spiralne lub taśmy zawieszeniowe, ) na każdy bok cewki znajdujący się
szczelinie, w której pole magnetyczne są stałą indukcję B, działa siła F zgodne ze
wzorem (7.1 ); /  głębokość zanurzenia boku cewki w polu magnetycznym. Jeżeli
przez N oznaczymy liczbę zwojów cewki, to siła F = B I IN. Siła ta działa na obydwa
boki cewki, powstaje wiec moment napędowy ustroju pomiarowego M = Fa (7.78)
przy czym a oznacza szerokość cewki.
4
Elektrotechnika laboratorium
Kąt odchylenia cewki jest proporcjonalny do prądu płynącego przez tę cewkę.
Kąt ten określa się za pomocą wskazówki przesuwającej się wzdłuż podziałki. Miernik
magnetoelektryczny jest typowym miernikiem prądu stałego reagującym na zwrot
przepływającego prądu. Dlatego też w miernikach magnetoelektrycznych zaznacza się
biegunowość jednego z zacisków, np. zacisku plus ( + ). Mierniki tego typu mogą być
używane jako amperomierze lub jako woltomierze. Zaletami mierników
magnetoelektrycznych są: duża czułość, mały pobór mocy oraz duża dokładność.
Mierniki elektrodynamiczne
Mierniki elektrodynamiczne
Miernikami elektrodynamicznymi nazywamy mierniki, w których odchylenie
organu ruchomego następuje w wyniku oddziaływania elektrodynamicznego dwóch
cewek, przez które płyną prądy (rys. 2). Cewka ruchoma osadzona na osi, do której
jest przymocowana wskazówka, znajduje się wewnątrz cewki nieruchomej. W wyniku
oddziaływania elektrodynamicznego cewek powstają siły wytwarzające moment
napędowy. Moment ten jest równoważony przez moment zwracający dwóch
sprężynek spiralnych, doprowadzających jednocześnie prąd do cewki ruchomej.
Rys. 2. Zasada działania miernika elektro-
dynamicznego
/  cewka nieruchoma. 2  cewka ruchoma, /i. /: 
prądy zasilające, F  silą
oddziaływania. H  natężenie pola magnetycznego, R
 korektor zera
Mierniki elektrodynamiczne są używane jako amperomierze, woltomierze
i watomierze do pomiarów przy prądzie stałym oraz przemiennym. Podczas pomiarów
przy prądzie przemiennym mierzą one wartość skuteczną napięcia lub prądu. Mierniki
elektrodynamiczne odznaczają się dużą dokładnością, ale mają delikatną budowę.
Dlatego też są przeważnie używane jako przyrządy laboratoryjne wysokiej klasy (kl.
0,1; 0,2; 0,5). W watomierzu elektrodynamicznym cewka nieruchoma jest cewką
prądową i jest włączona w obwód tak jak amperomierz. Cewka ruchoma jest cewką
napięciową i jest włączona w obwód tak jak woltomierz. Jeżeli cewkę nieruchomą
nawiniemy na rdzeń z materiału ferromagnetycznego, to wzrośnie siła oddziaływania
pola magnetycznego cewki nieruchomej na prąd płynący w cewce ruchomej. Tego
typu mierniki nazywamy miernikami ferrodynamicznymi. Mierniki ferrodynamiczne
mają większy moment napędowy. Dlatego też są stosowane jako mierniki tablicowe,
przenośne i rejestrujące.
Mierniki elektromagnetyczne
Zasada działania miernika elektromagnetycznego polega na oddziaływaniu pola
magnetycznego cewki przewodzącej prąd, na ruchomy rdzeń ferromagnetyczny
umieszczony w tym polu (rys. 3). Wskazówka, połączona z rdzeniem, wskazuje
5
Elektrotechnika laboratorium
wartość prądu przepływającego przez cewkę. Im większy prąd przepływa przez
cewkę, tym silniej jest wciągany rdzeń, tym większy jest moment i większe odchylenie
wskazówki. Miernik elektromagnetyczny służy zarówno do pomiaru prądu stałego, jak
i wartości skutecznej prądu przemiennego. Mierniki elektromagnetyczne są budowane
jako amperomierze i jako woltomierze. Mają nieskomplikowaną budowę
i charakteryzują się pewnością działania
Rys. 3. Zasada działania miernika elektromag-
netycznego
/  rdzeń nieruchomy, 2  rdzeń ruchomy, 3  uzwo-
jenie, 4  tłumik,
5  korektor zera
Mierniki indukcyjne
Mierniki indukcyjne
Zasada działania miernika indukcyjnego polega na oddziaływaniu zmiennych
strumieni magnetycznych na prądy indukowane przez te strumienie w organie
ruchomym miernika (rys. 4). Prądy te mają charakter prądów wirowych. Mierniki
indukcyjne są obecnie używane wyłącznie jako liczniki energii elektrycznej w obwo-
dach prądu przemiennego. W szczelinie rdzenia magnesu trwałego) obraca się tarcza
aluminiowa osadzona na osi pionowej. Dwa strumienie magnetyczne przemienne,
wytworzone przez cewkę, przez którą przepływa prąd elektryczny przemienny,
indukują w tarczy prądy wirowe. Oddziaływanie elektrodynamiczne jednego z tych
strumieni na prąd indukowany przez drugi strumień wywołuje moment napędowy.
Rys. 4. Zasada działania miernika indukcyjnego
/  rdzeń, 2  cewka napięciowa, 3  cewki
prądowe, 4  tarcza aluminiowa,
5  oś tarczy, 6  ślimak.
Moment ten wprawia tarczę w ruch obrotowy. Prędkość obrotowa tarczy jest
proporcjonalna do wartości momentu napędowego. Magnes trwały, w którego
szczelinie obraca się tarcza, nie dopuszcza do rozbiegania się tarczy (hamuje ją).
6
Elektrotechnika laboratorium
I.3. Sprawdzanie metody przekształceniowej w obwodach
prądu stałego.
Prawo Ohma
Związek między napięciem, prądem i rezystancją został ustalony
doświadczalnie przez G.S. Ohma w 1926 r. i nosi nazwę prawa Ohma.
Napięcie U mierzone na końcach przewodnika o rezystancji R podczas
przepływu prądu I jest równe iloczynowi rezystancji i prądu.
Prawo Ohma zapisujemy w dwóch równoważnych postaciach:
U = RI
I = GU
Obwody nierozgałęzione
Połączenie szeregowe rezystorów i z
ródeł napięcia.
W obwodzie przedstawionym na rysunku elementy z
ródłowe są reprezentowane przez
z
ródła napięcia E1, E2, E3, a elementy odbiorcze - przez rezystory o rezystancjach R1, R2,
R3. W obwodzie nierozgałęzionym wszystkie elementy są połączone szeregowo.
R1 E2
E1 E3
R3
Rys 1. Obwód nierozgałęziony (jednooczkowy) zawierający trzy z
ródła napięcia i trzy
rezystory.
Cechą wyróżniającą połączenia szeregowego jest to, że przez wszystkie
elementy przepływa ten sam prąd elektryczny I.
Przyjmijmy zwrot obiegowy oczka zgodny z ruchem wskazówek zegara i
napiszmy równanie bilansu napięć zgodne z drugim prawem Kirchhoffa
E1 - E2 + E3 = R1I + R2I + R3I
lub
E1 - E2 + E3 = R1 + R2 + R3 )( I
prąd w obwodzie
E1 - E2 + E3
I =
R1 + R2 + R3
Prąd w obwodzie jest wywołany działaniem wszystkich z
ródeł napięcia. Jeżeli
np. z
ródłami napięcia są akumulatory, to z
ródła E1 i E3 rozładowują się, a z
ródło E2
ładuje się. Wynika to ze zwrotów prądów względem biegunowości napięć z
ródłowych.
7
Elektrotechnika laboratorium
Ponadto prąd w obwodzie nie ulegnie zmianie, jeżeli przestawimy elementy w
obwodzie, a więc połączymy je w innej kolejności.
I
I I
E1 R1 E1
R
U1
E U
E3 R2 E3 U R
U
U2
R
Rys 2. Obwód równoważony.
U1=R1I U2=R2I U3=R3I
Rezystancje R1, R2, R3 są połączone szeregowo. Napięcie U na zaciskach
układu połączonych szeregowo rezystancji jest równe sumie napięć na poszczególnych
rezystancjach, czyli
U = U1 + U + U3 = R1 + R2 + R3 )( I
2
Stąd
U
= R1 + R2 + R3
I
U
Stosunek = R przedstawia rezystancję zastępczą połączonych szeregowo
I
rezystancji R1, R2, R3, czyli
R = R1 R2 ++ R3
Wzór można uogólnić na dowolną liczbę rezystancji szeregowych.
Stwierdzamy więc, że rezystancja zastępcza dowolnej liczby rezystorów
połączonych szeregowo jest równa sumie rezystancji poszczególnych rezystorów.
Obwody rozgałęzione
Cechą wyróżniającą połączenia równoległe jest to, że wszystkie elementy są
włączone pomiędzy tę samą parę węzłów, a zatem na zaciskach elementów występuje to
samo napięcie U.
I
Rw1 Rw2 I1 I2 I3 Rw1 Rw2 I
R1 R2 R3 U R
E1 E2 E1 E2
8
Elektrotechnika laboratorium
Rys 3. Schemat obwodu równoległego.
Prąd I płynący od z
ródeł do odbiorników jest, zgodnie z pierwszym prawem
Kirchhoffa, równy sumie prądów płynących przez rezystancje R1, R2 i R3, czyli
I = I1 I2 ++ I3
Prądy w gałęziach można, zgodnie z prawem Ohma w postaci
przewodnościowej wyrazić następująco:
I1=G1U I2=G2U I3=G3U
1 1 1
przy czym G1 = G2 = G3 =
R1 R2 R3
Po podstawieniu zależności otrzymujemy
I = G1U + G2U + G3U = G1 + G2 + G3 )( U
Stąd
I
= G1 + G2 + G3
U
I
Stosunek = G przedstawia konduktancję zastępczą połączonych równolegle
U
konduktancji G1, G2, G3, czyli
G = G1 G2 ++ G3
Można stwierdzić więc, że konduktancja zastępcza dowolnej liczby rezystorów
połączonych równolegle jest równa sumie konduktancji poszczególnych rezystorów.
1
Powracając od konduktancji do rezystancji i oznaczając G = możemy
R
zależność wyrazić w postaci
1 1 1 1
= + +
R R1 R2 R3
co podajemy następująco:
Odwrotność rezystancji zastępczej dowolnej liczby połączonych równolegle
rezystorów jest równa sumie odwrotności rezystancji poszczególnych rezystorów
W szczególnym przypadku dwóch rezystorów
U R1
R2
Rys 4. Równoległe połączenie dwóch rezystorów.
9
Elektrotechnika laboratorium
1 1 1 R1 + R2 R1R2
= + = stąd R =
R R1 R2 R1R2 R1 + R2
Obliczanie obwodów metodą przekształcenia
Połączenie szeregowe elementów
We wszystkich przypadkach zastępowania danych układów przez układy
równoważne musi być spełniony warunek niezmienności prądów i napięć w tych
częściach układu, które nie zostały objęte przekształceniami.
Zasadę tę można wyjaśnić za pomocą następującego przykładu:
R1 R2 R3
1 1
I
U1 U2 U3
R
I
RW
RW
U U
2 2
Rys 5. Przekształcenie obwodu ze schematu obwodu wyjściowego do schematu
obwodu równoważnego.
Obwód ten jest złożony z jednego rzeczywistego z
ródła napięcia o napięciu
z
ródłowym E i rezystancji wewnętrznej Rw oraz trzech rezystorów, których
rezystancje wynoszą R1, R2, R3. Rezystory te traktujemy jako elementy odbiorcze. W
obwodzie płynie prąd:
E
I =
RW + R1 + R2 + R3
Na zaciskach 1-2 z
ródła występuje napięcie U, które możemy wyznaczyć w
dwojaki sposób:
1) jako sumę napięć występujących na rezystancjach R1, R2 i R3, tzn.
U = U1 + U + U3 = R1I + R2I + R3I = (R1 + R2 + R3)I
2
2) jako różnicę napięcia z
ródłowego E oraz spadku napięcia na rezystancji
wewnętrznej z
ródła przy przepływie prądu I, czyli
U=E-RWI
Możemy rezystancje R1, R2 i R3 połączone szeregowo zastąpić rezystancją
zastępczą przez:
R=R1+R2+R3 i obwód wyjściowy zastąpić obwodem równoważnym. W obu obwodach -
obwodzie wyjściowym oraz w obwodzie równoważnym - płynie ten sam prąd I, a na
zaciskach 1-2 występuje to samo napięcie U. Widzimy więc, że dokonana operacja
przekształcania nie wpłynęła na zmianę wartości prądu i napięcia w tej części obwodu, która
10
Elektrotechnika laboratorium
nie została objęta przekształceniem.
Połączenie równolegle elementów
I I
IW I1 I2 IW
Iy
RW U R12
Iy
RW U R1 R2 Iy
RZ U
Rys 6. Przekształcanie obwodu: a) schemat obwodu wyjściowego; b) schemat obwodu
równoważnego po zastąpieniu dwóch gałęzi równoległych jedną gałęzią zastępczą; c)
schemat obwodu równoważnego po zastąpieniu rezystancji wewnętrznej z
ródła i
rezystancji odbiornika jedną rezystancją zastępczą.
Obwód ten jest złożony z rzeczywistego z
ródła prądu o prądzie z
ródłowym Iz
i
rezystancji wewnętrznej Rw, oraz dwóch rezystorów R1, R2 połączonych równolegle.
Na zaciskach 1-2 występuje napięcie U. Przez elementy odbiorcze płyną prądy I1 oraz
I2, a zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa prąd dopływający do odbiorników
I = I1 + I2 = G1U + G2U = G1 + G2 )( U
1 1
przy czym G1 = , G2 =
R1 R2
Ponadto
Iy
= IW + I
1
przy czym IW = GWU , a GW = .
RW
Wyznaczamy rezystancję zastępczą dwóch rezystancji połączonych równolegle:
R1R2
R12 =
R1 + R2
Prąd I pozostał bez zmiany, jak również napięcie U na zaciskach 1-2 nie uległo
zmianie. Napięcie U na rezystancji zastępczej R12 jest takie same jak na rezystancjach
wyjściowych R1 i R2. Ponieważ rezystancje Rw oraz R12, na schemacie są również
połączone równolegle, zatem można wyznaczyć schemat równoważny, w którym:
RW R12
RZ =
RW + R12
Z prawa Ohma wynika, że
U = RZ Iy

Mając obliczone napięcie U możemy obliczyć wszystkie prądy w obwodzie:
U
IW = = GWU
RW
U
I = = G12U
R12
11
Elektrotechnika laboratorium
U
I1 = = G1U
R1
U
I2 = = G2U
R2
Połączenie mieszane elementów
I1 R1 I3 R3 I1 R1 I3 R3
U1 I2 U3 I2 I3
E R2 U2 R4 U4 E R2 R34
I1 R1 I1
E R234 E RZ
Rys 7. Przekształcenie obwodu o mieszanym połączeniu elementów
Obwód ten składa się z trzech gałęzi. W gałęzi pierwszej mamy połączone
szeregowo idealne z
ródło napięcia o napięciu z
ródłowym E oraz rezystancję R1. W
gałęzi drugiej występuje jeden element o rezystancji R2. W gałęzi trzeciej mamy dwa
elementy R3 oraz R4 połączone szeregowo, a zatem zgodnie z określeniem połączenia
szeregowego, przez obie rezystancje płynie ten sam prąd I3.
Korzystając ze wzoru na rezystancję zastępczą przy połączeniu szeregowym
rezystorów możemy obliczyć
R34 R3 += R4
W wyniku zastąpienia na schemacie dwóch rezystancji przez jedną rezystancję
zastępczą otrzymamy nowy schemat równoważny. W schemacie tym rezystancje R2
oraz R34 są połączone równolegle, a więc korzystając ze wzoru na rezystancję
zastępczą przy połączeniu równoległym rezystorów wyznaczymy
R2R34
R234 =
R2 + R34
12
Elektrotechnika laboratorium
W rezultacie otrzymamy następny schemat równoważny, na którym rezystancje
R1 oraz R234 są połączone szeregowo. Przez obie rezystancje płynie ten sam prąd I1.
Zastąpimy więc połączone szeregowo rezystancje R1 oraz R234 jedną zastępczą:
RZ = R1 + R234
Ponieważ w kolejnych schematach elementy były łączone zarówno szeregowo
jak i równolegle, mówimy więc, że połączenie ma charakter mieszany. Została przy
tym zachowana zasada niezmienności prądu I1 w gałęzi pierwszej, która nie podlegała
przekształceniu.
Obliczanie obwodu polega na wyznaczaniu wszystkich prądów w gałęziach i
napięć na elementach. Musimy więc obliczyć prąd I1,I2 oraz I3 oraz napięcia U1, U2, U3
oraz U4.
Prąd I1 wyznaczymy na podstawie schematu, zgodnie z prawem Ohma:
E
I1 =
RZ
Zwróćmy uwagę na fakt, że w obwodzie płynie również prąd I1, a zatem
możemy obliczyć spadek napięcia na rezystancji R1 oraz na rezystancji R234, tzn.
U1 = R1I1
U234 = R234I1
Ponieważ rezystancja R234 jest rezystancją zastępczą połączonych równolegle
rezystancji R2 oraz R34, więc napięcie U234 jest napięciem występującym zarówno na
rezystancji R234 jak i na R2 oraz R34, czyli
U = U234
2
Obliczymy z kolei prądy płynące w gałęziach równoległych:
U2
I2 =
R2
U
2
I3 =
R34
Ponieważ prąd I3 płynie zarówno przez R3 jak i R4, zatem
U3 = R3I3
U4 = R4I3
Mamy więc wyznaczone wszystkie poszukiwane napięcia oraz prądy. Przy
obliczaniu prądów oraz napięć korzystamy ze schematów w kolejności odwrotnej w
stosunku do kolejności przekształcania.
Połączenie elementów w trójkąt oraz w gwiazdę
W obwodach elektrycznych rezystory są połączone nie tylko szeregowo i
równolegle. W wielu przypadkach trzy rezystory tworzą połączenie w trójkąt
nazywane trójkątowym oraz połączenie w gwiazdę zwane gwiazdowym.
13
Elektrotechnika laboratorium
1
1
R1
R31 R12
R2 R3
3 2
3 R23 2
Rys 8. Połączenie elementów w trójkąt i gwiazdę.
Przy połączeniu w trójkąt kolejne pary rezystorów są połączone w węzłach 1, 2,
3 tworzących wierzchołki trójkąta, podczas gdy gałęzie tworzą boki trójkąta. Przy
połączeniu w gwiazdę jedne końce rezystorów są połączone we wspólnym punkcie
węzłowym, a pozostałe końce są dołączone do węzłów 1, 2, 3. Przy obliczaniu
obwodów elektrycznych zachodzi często potrzeba zastąpienia układu trójkątowego w
równoważny układ gwiazdowy lub odwrotnie.
Przy wyznaczaniu układu równoważnego musi być spełniona zasada
niezmienności napięć i prądów w tej części obwodu, która nie podlegała
przekształceniu. Warunek ten będzie spełniony, jeżeli w obu układach równoważnych
rezystancje między kolejnymi parami węzłów, przy odłączonym węz
le trzecim, są
jednakowe.
Przekształcenie połączenia trójkątgwiazda
1
R1
R31 R12
R3
3 R23
2
Rozpatrzymy obwód połączenia rezystorów w trójkąt. Rezystancje R12, R23, R31
włączone pomiędzy pary węzłów 1-2, 2-3, 3-1 tworzą trójkąt. Wyznaczymy
rezystancje równoważnego połączenia gwiazdowego, które tworzą rezystancje R1, R2,
14
Elektrotechnika laboratorium
R3 narysowane linią cienką. Z zasady równości rezystancji między kolejnymi parami
węzłów, przy odłączonym węz
le trzecim, otrzymamy zależności:
R12R31 R12R23 R23R31
R1 = R2 = R3 =
R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31
Ze wzorów wynika, że rezystancja gałęzi gwiazdy jest równa iloczynowi
rezystancji gałęzi trójkąta schodzących się w tym samym węz
le, podzielonemu
przez sumę rezystancji wszystkich gałęzi trójkąta. W szczególnym przypadku, gdy
wszystkie trzy gałęzie trójkąta są utworzone z jednakowych rezystancji, tzn. R12 = R23
= R31, zależności upraszczają się. Oznaczymy każdą z rezystancji gałęzi trójkąta przez
R", a każdą z rezystancji gałęzi gwiazdy przez R. W wyniku podstawienia mamy:
2
R" R"
R = R1 = R2 = R3 = =
3R" 3
W przypadku gdy gałęzie trójkąta mają równe rezystancje, gałęzie
równoważnej gwiazdy również są utworzone z jednakowych rezystancji R, czyli
R"
R =
3
Przekształcenie połączenia gwiazdatrójkąt
R1R2 R2R3 R3R1
R12 = R1 R2 ++ R23 = R2 R3 ++ R31 = R3 R1 ++
R3 R1 R2
Również w tym przypadku łatwo zapamiętać zasadę wyznaczania rezystancji
gałęzi trójkąta przy danych rezystancjach gałęzi gwiazdy, a mianowicie: rezystancja
gałęzi trójkąta jest równa sumie rezystancji gałęzi gwiazdy (zbiegających się w tej
samej parze węzłów) plus iloczyn tych rezystancji gwiazdy podzielony przez
rezystancję trzeciej gałęzi gwiazdy.
Jeśli rezystancje gałęzi gwiazdy są sobie równe, czyli R1 = R2 = R3, to
zależności upraszczają się. Oznaczmy rezystancje tworzące gwiazdę przez R, a
rezystancje gałęzi równoważnego trójkąta przez R". Przy równych rezystancjach
gałęzi gwiazdy, równe są też rezystancje gałęzi równoważnego trójkąta, przy czym:
2
R
R" = R + = 32 R
R
15
Elektrotechnika laboratorium
Przebieg ćwiczenia
Zestawić układ według schematu.
R2
E
0-20
Dla podanych przez prowadzącego wartości rezystancji dokonaj trzech
pomiarów prądu i napięcia.
a) b) c) d)
R12=610&! R12=110&! R12=11 R12=210&!
&!
R13=110&! R13=100&! R13=91 R13=500&!
&!
R23=300&! R23=60 R23=51 R23=40
&! &! &!
R24=200&! R24=90 ` R24=100&! R24=305&!
&!
R34=405&! R34=85 R34=111&! R34=400&!
&!
3. Uzupełnij tabelę wyników
Wyniki pomiaru Obliczenia teoretyczne
Lp U I Rp R1 R2 R3 Rt Bw
- V A
&! &! &! &! &! &!
1
2
3
4. Wnioski.
Literatura: "Elektrotechnika i elektronika" Eugeniusz Kołodziej.
16
Elektrotechnika laboratorium
I.3. Pomiar rezystancji, indukcyjności i pojemności
W obwodach prądu sinusoidalnego mamy do czynienia z elementami pasywnymi,
czyli z rezystorami R, kondensatorami o pojemności C, z cewkami o indukcyjności L. Każdy
element rzeczywisty jest tak zbudowany, że dominujące znaczenie ma jeden z parametrów.
Nie można jednak pominąć występowania pozostałych parametrów, chociaż w wielu
przypadkach mają one znaczenie drugorzędne. Na przykład rezystor o uzwojeniu spiralnym
jednowarstwowym charakteryzuje się przede wszystkim rezystancją R, jednakże nie może
być całkowicie pominięta indukcyjność L, a niekiedy i pojemność C. Rezystor o uzwojeniu
bifilarnym ma pomijalnie małą indukcyjność, ale dość znaczną pojemność między
warstwami. Każda cewka nawinięta z drutu charakteryzuje się durzą indukcyjnością, ale
rezystancja cewki nie może być całkowicie pominięta. Większość kondensatorów ma
dielektryk częściowo przewodzący, w związku z czym nie może być pominięta tzw.
rezystancja upływowa, odpowiadająca stronom w dielektryku. Ujawnienie się
poszczególnych własności, a więc i parametrów schematu zastępczego realnego urządzenia
zależy w znacznym stopniu od częstotliwości, napięcia i prądu związanego z danym
elementem.
W schemacie obwodu występują więc przeważnie wszystkie trzy parametry R, L, C. Jednakże
wpływ każdego z tych parametrów na prąd w obwodzie jest różny. W celu zanalizowania
zjawisk i ustalenia związków pomiędzy napięciem i prądem dla każdego z elementów,
zajmujemy się wstępnie analizą elementarnych obwodów zawierających tylko jeden z
wymienionych parametrów. Takie obwody nazywają się obwodami z elementami idealnymi,
odpowiednio R, L, C.
Dwójnik o rezystancji R.
Załóżmy, że do zacisków rezystora idealnego o rezystancji R przyłożono napięcia
sinusoidalne
Wartość chwilową prądu płynącego przez rezystancję wyznaczamy w zależności
W której amplituda prądu
Korzystając z relacji pomiędzy amplitudą a wartością skuteczną w odniesieniu do prądu i
napięcia otrzymamy
Zatem przy otrzymamy
Ze wzorów tych wynika, że dla rezystora idealnego o rezystancji R spełnione jest prawo
Ohma zarówno w odniesieniu do amplitudy jak i wartości skutecznych napięcia i prądu.
Dwójnik o indukcyjności L.
Załóżmy, że przez cewkę idealną o indukcyjności L płynie prąd sinusoidalny
Na skutek zmienności w czasie prądu, w cewce indukuje się siła elektromotoryczna indukcji
własnej, która zgodnie ze wzorem
17
Elektrotechnika laboratorium
Napięcie na zaciskach cewki jest równe sile elektromotorycznej ze znakiem przeciwnym,
czyli
stąd
Zależność ta określa związek pomiędzy prądem przepływającym przez cewkę a napięciem na
jej zaciskach, zgodnie z którym napięcie jest proporcjonalne do prędkości zmiany prądu w
czasie.
Uwzględniamy w równaniu wyżej podane równanie na prąd
Po wykonaniu równania różniczkującego otrzymujemy
Z równania tego wynika, że
a po podzieleniu obu stron równania przez 2
można wprowadzić oznaczenia
Wielkość X nazywamy reaktancją indukcyjną lub oporem biernym indukcyjnym, której
jednostką jest 1om. Po uwzględnieniu powyższego równania możemy równanie to
przedstawić w postaci
Równanie to nazywamy prawem Ohma dla wartości skutecznych cewki idealnej.
Odwrotność reaktancji indukcyjnej nazywamy susceptancją indukcyjną lub przewodnością
bierną indukcyjną, czyli
Jednostką susceptacji jest 1 simens.
Przy uwzględnieniu powyższego równania prawo Ohma możemy ująć w postaci
Z powyższych zależności wynika, że w obwodzie z cewką idealną napięcie wyprzedza kąt
fazowy . Nawiązując jeszcze do wyrażenia na Xą można stwierdzić, że reaktancja
indukcyjna jest wprost proporcjonalna do częstotliwości f, a więc w przypadku granicznym
f = 0 reaktancja indukcyjna cewki jest równa zeru, a przy f " reaktancja indukcyjna dąży
również do nieskończoności.
Dwójnik o pojemności C.
Załóżmy, że kondensator o pojemności C został włączony na napięci sinusoidalne
Każdej zmianie napięcia o "u, towarzyszy zmiana ładunku na okładzinach kondensatora o
wartość "Q. Pomiędzy zmianą ładunku a zmianą napięcia istnieje relacja
18
Elektrotechnika laboratorium
Z kolei zmiana ładunku na okładzinach kondensatora wiąże się z przypływem prądu w
przewodach łączących kondensator ze zródłem napięcia, przy czym
Prąd określony tą zależnością nazywamy prądem ładowania kondensatora.
Jeżeli rozważymy zjawiska zachodzące w dielektryku kondensatora w czasie jego ładowania,
to stwierdzimy, że w dielektryku występuje prąd przesunięcia równy co do wartości prądowi
ładowania. A
ącząc te dwie zależności otrzymamy
Stąd wniosek, że prąd w obwodzie z kondensatorem jest proporcjonalny do prędkości zmian
w czasie napięcia na jego okładzinach. W przypadku elementarnych zmian ładunku, wzór ten
uzyska postać różniczkową
Podstawiając do powyższego równania wzór na napięcie sinusoidalne otrzymujemy
Następnie, po wykonaniu działania różniczkowania mamy
Z tego równania wynika, że
Następnie po podzieleniu obu stron tego równania przez "2 otrzymamy
lub
teraz możemy wprowadzić oznaczenie
Wielkość Xc nazywamy reaktancją pojemnościową lub oporem biernym pojemnościowym.
Jednostką reaktancji pojemnościowej jest 1 om.
Możemy teraz napisać równanie Ohma dla wartości skutecznych kondensatora idealnego,
któro ma postać
Natomiast odwrotność reaktancji pojemnościowej nazywamy susceptacją pojemnościową lub
przewodnością bierną pojemnościową, czyli
Jednostką susceptacji pojemnościowej jest 1 simens.
W obwodzie z kondensatorem idealnym napięcie opóznia się względem prądu o kąt fazow .
Znak minus wynika stąd, że D liczymy jako kąt od wektora prądu do wektora napięcia, a więc
w rozpatrywanym przypadku w kierunku przeciwnym do przyjętego dodatniego kierunku
wzrostu kątów.
Można stwierdzić, że reaktancja pojemnościowa jest odwrotnie proporcjonalna do
częstotliwości f, a więc przy f " reaktancja pojemnościowa dąży do zera, a przy f 0,
reaktancja ta dąży do nieskończoności. Dla prądu stałego kondensator stanowi więc przerwę
w obwodzie, a przy nieskończenie wielkiej częstotliwości prądu  stanowi zwarcie.
19
Elektrotechnika laboratorium
W odróżnieniu od odbiorników prądu stałego, w którym energia pobierana przez odbiornik ze
zródła jest stała, w obwodach prądu zmiennego energia dostarczana do odbiornika jest w
kolejnych przedziałach czasu różna. Ponieważ zarówno napięcie jak i prąd sinusoidalny
zmieniają w funkcji czasu swoją wartość bezwzględną i znak, zatem moc chwilowa również
zmienia się w funkcji czasu zarówno co do wartości jak i co do znaku.
Mocą chwilową nazywamy iloczyn wartości chwilowych napięcia i prądu, czyli
Przy przebiegach sinusoidalnych interesuje nas zazwyczaj energia pobrana przez odbiornik w
czasie jednego okresu lub wielokrotności okresu. Energia dostarczona do odbiornika w
czasie t odpowiada polu powierzchni ograniczonemu przebiegiem krzywej p i osią odciętych
w czasie t (z uwzględnieniem znaku).
Jeżeli energię obliczoną dla czasu t = T, tzn. dla jednego okresu podzielimy przez czas T, to
otrzymamy wartość średnią mocy chwilowej za okres. Przyjmując czas t = nT, tzn. czas
równy wielokrotności okresu, możemy w analogiczny sposób obliczyć wartość średnią mocy
chwilowej w czasie równym wielokrotności okresu. Wartość średnia mocy chwilowej równa
się składowej stałej mocy chwilowej, tzn.
Mocą czynną nazywamy wartość średnią mocy chwilowej i określamy ją
Jednostką mocy czynnej jest 1 wat.
Moc czynna jest zatem równa iloczynowi wartości skutecznej napięcia i prądu oraz kosinusa
kąta przesunięcia fazowego między napięciem i prądem, zwanego współczynnikiem mocy
(cos Ć).
Jeżeli moc czynną pomnożymy przez czas T to otrzymamy energię pobraną przez odbiornik
ze zródła w czasie jednego okresu. Urządzenia elektryczne, a więc np. maszyny elektryczne,
transformatory, aparaty elektryczne mają określone wartości znamionowe, napięcia i prądu,
wynikające z wytrzymałości izolacji i dopuszczalnych wartości prądu ze względu na
nagrzewanie lub działanie dynamiczne. Dlatego też dla urządzeń tych istotne znaczenie ma
moc pozorna oznaczana przez S i definiowana jako iloczyn wartości skutecznych napięcia i
prądu, czyli
Jednostką mocy pozornej jest 1 woltoamper. Ponieważ jest to jednostka powstała jako iloczyn
dwóch jednostek: wolta i ampera, wobec tego przy jej zapisie stawiamy kropkę między
oznaczeniami jednostek napięcia i prądu.
Z tego wzoru wynika, że moc pozorna jest równa największej wartości mocy czynnej, którą
można otrzymać przy danym napięciu U oraz prądzie I. Tę największą moc osiągniemy przy
cos tzn. ..
W obwodach elektrycznych prądu sinusoidalnego znajduje zastosowanie jeszcze trzecia
wielkość zwana mocą bierną, oznaczana przez Q i definiowana jako iloczyn wartości
skutecznych napięcia, prądu i sinusa kąta przesunięcia fazowego między nimi, czyli
Jednostką mocy biernej jest 1 war. Z porównania tych wzorów wynika, że moc czynna, bierna
i pozorna są związane zależnością
czyli
Wspomnieć należy jeszcze, że moc bierna, zależna od sinusa kąta fazowego, może mieć
wartość dodatnią, gdy kąt fazowy Ć jest dodatni (odbiornik rezystancjo-indukcyjny) oraz
20
Elektrotechnika laboratorium
może mieć wartość ujemną, gdy kąt fazowy Ć jest ujemny (odbiornik rezystancjo-
pojemnościowy).
W cewce rzeczywistej można przyporządkować dwa schematy zastępcze: schemat szeregowy
i schemat równoległy. Przy obliczaniu mocy dla schematu szeregowego, czyli dla dwójnika
szeregowego R, L przyjmiemy, że prąd płynący w dwójniku ma gazę początkową równą zeru,
czyli , a wobec tego napięcie na zaciskach dwójnika
Napięcie wyprzedza prąd o kąt fazowy
W wyniku podstawienia wartości chwilowych napięcia i prądu do wzoru na moc chwilową
(p = ui) otrzymamy moc chwilową
Z zależności tej wynika, że w ciągu jednego okresu prądu moc chwilowa czterokrotnie
zmienia znak. Moc chwilowa jest sinusoidalnie zmienną funkcją czasu o częstotliwości prądu
i napięcia. Oś oscylacji mocy chwilowej jest przesunięta względem osi czasu o wartość stałą
równą UIcosĆ, a amplituda mocy chwilowej wynosi UI.
Moc czynna jest pobierana jedynie przez elementy rezystancyjne
W celu obliczenia mocy biernej podstawiamy do wzoru
zależność ,
z czego otrzymujemy
Wynika stąd, że moc bierna związana jest jedynie z elementem indukcyjnym.
Moc pozorna
a po podstawieniu
otrzymamy przy czym
Kondensator rzeczywisty może być przedstawiony za pomocą dwóch schematów
zastępczych: schematu równoległego i schematu szeregowego.
Dla schematu równoległego, czyli dla dwójnika równoległego przyjmujemy, że napięcie
przyłożone do zacisków dwójnika ma fazę początkową równą zeru, czyli
A wobec tego prąd dopływający do gałęzi równoległych wyprzedza
napięcie o kąt fazowy Ć. Zgodnie z przyjętą umową kąt liczymy od wektora prądu do wektora
napięcia, czyli w obwodzie rezystancyjno-pojemnościowym kąt ten jest ujemny. W wyniku
podstawienia wartości chwilowych napięcia i prądu do wzoru na moc chwilową otrzymujemy
Moc czynna jest równa a
czyli po podstawieniu będziemy mieli .
Wzór ten pozwala na obliczenie mocy strat w kondensatorze.
W celu obliczenia mocy biernej, do wzoru
podstawimy zależność
Po podstawieniu otrzymujemy wzór na moc bierną
Natomiast moc pozorną obliczamy ze wzoru
21
Elektrotechnika laboratorium
Lub po uwzględnieniu prawa Ohma w postaci admitacyjnej
przy czym
Zagadnienia teoretyczne
Równania rezystancji cewki idealnej i kondensatora przy zasilaniu prądem sinusoidalnym
zmiennym
-Moc w obwodzie prądu sinusoidalnego
-Definicje: impedancja, rezystancja, reaktancja, admitancja, konduktancja, substetancja w
obwodach prądu sinusoidalnego  ich łączność z pulsacją
Do ćwiczenia należy zestawić układ według następującego schematu
A W
W1 W2 W3
V
Hz At
C
R L
Pomiary dla poszczególnych wielkości odczytujemy przy odpowiednim ustawieniu
wyłączników:
-Pomiar rezystancji: zamykamy wyłącznik W1 a W2 i W3 otwieramy i odczytujemy
wskazania mierników
-Pomiar indukcyjności: zamykamy wyłącznik W2 a W1 i W3 otwieramy i odczytujemy
wskazania mierników
-Pomiar pojemności: zamykamy wyłącznik W3 a W1 i W2 otwieramy i odczytujemy
wskazania mierników
Pomiary zmierzonych wielkości (napięcia, natężenia, mocy i częstotliwości) i obliczenia
teoretyczne wpisujemy do tabeli wyników
Wyniki pomiarów Obliczenia teoretyczne
U I P ł
� Z X R L C cosĆ
Lp Element
Badany
V A W Hz Rad/s &! &! &! H F -
1. L
2. R
3. C
22
Elektrotechnika laboratorium
I.4. Pomiar mocy czynnej w układzie jednofazowym.
Mocą chwilową nazywamy iloczyn wartości chwilowych napięcia i prądu, czyli
p=u*i
Moc chwilowa jest dodatnia w przedziałach czasu , w których wartość chwilowa
napięcia u oraz wartość chwilowa prądu i mają znaki jednakowe  ujemna zaś w
przedziałach czasu, w których znaki wartości chwilowej napięcia u i wartości
chwilowej prądu i są różne.
Jeśli p>0, tzn. moc chwilowa jest dodatnia, to energia elektryczna jest dostarczana ze
z
ródła do odbiornika ; jeśli natomiast p<0 tzn. moc chwilowa jest ujemna, energia
elektryczna jest zwracana przez odbiornik do z
ródła.
Mocą czynną nazywamy wartość średnią mocy chwilowej określamy ją wzorem
P=U*I*cosą
ą
ąą
Moc czynna jest zatem równa iloczynowi wartości skutecznej napięcia i prądu oraz
kosinusa kąta przesunięcia fazowego między napięciem i prądem, zwanego
współczynnikiem mocy
(cosą
ą). Jednostką mocy czynnej jest 1 wat (1W).
ąą
Jeżeli moc czynną pomnożymy przez czas T to otrzymamy energię pobraną przez
odbiornik ze z
ródła w czasie jednego okresu. Urządzenia elektryczne mają określone
wartości znamionowe, napięcia i prądu, wynikające z wytrzymałości izolacji i
dopuszczalnych wartości prądu ze względu na nagrzewanie lub działanie dynamiczne.
Dlatego też dla urządzeń tych istotne znaczenie ma moc pozorna.
Moc pozorna definiowana jest jako iloczyn wartości skutecznych napięcia i prądu,
czyli
S=U*I
Jednostką mocy pozornej jest 1 woltoamper (1 V�"A). Moc pozorna jest równa
największej wartości mocy czynnej, którą można otrzymać przy danym napięciu U
oraz prądzie I. Tę największą moc osiągniemy przy cosą = 1 tzn. ą = 0.
23
Elektrotechnika laboratorium
Moc bierna definiowana jest jako iloczyn wartości skutecznych napięcia, prądu i
sinusa kąta przesunięcia fazowego między nimi, czyli
Q =U*I*siną
ą
ąą
Jednostką mocy biernej jest 1 war (1 var).
Moc czynna bierna i pozorna są związane zależnością
2 2
S = P2 + Q
czyli
2
S = P2 + Q
a ponadto
Q P
tgą = cosą =
P S
Na podstawie zależności wiążących poszczególne moce można podać ilustrację
graficzną, w postaci trójkąta mocy. W trójkącie tym moc czynna i bierna są
przyprostokątnymi, moc pozorna  przeciwprostokątną.
S
ą Q
P
Rezystor idealny jest elementem, w którym energia elektryczna jest przekształcana na
energię cieplną. Dla rezystora idealnego moc czynna jest równa mocy pozornej tzn. P
= S, a moc bierna jest równa zero Q = 0. Jeżeli do wzoru P = UI podstawimy U = RI,
to otrzymamy równoważny wzór na moc czynną
2
P = RI
24
Elektrotechnika laboratorium
a po podstawieniu do wzoru P = UI zależność I =GU, otrzymamy wzór na moc czynną
2
U
2
P = GU =
R
Watomierz elektrodynamiczny ma dwie cewki : nieruchomą cewkę prądową (o
małej rezystancji), którą za pomocą odpowiednich zacisków umieszczonych na
zewnątrz przyrządu włączamy w obwód szeregowo oraz ruchomą napięciową (o
dużej rezystancji), połączoną sztywno ze wskazówką, którą przyłączamy do obwodu
równolegle z elementem badanym.
Odchylenie wskazówki miernika jest proporcjonalne do iloczynu prądu w cewce
prądowej i napięcia na cewce napięciowej. Mierzy on zatem moc, a na jego tarczy
podziałowej znajduje się symbol jednostki mocy  litera W. Zaciski odpowiadające
początkowi cewki prądowej i napięciowej oznaczone są gwiazdką; przy normalnej
pracy miernika powinny być one zwarte. W watomierzu niezależnie od siebie można
nastawić zakres napięciowy i prądowy. Zakres watomierza równy jest iloczynowi
wyżej wspomnianych zakresów.
Stałą Cw watomierza oblicza się więc następująco
zakres. napięciowy(V )�" zakres. prądowy(A)
Cw =
liczba.dzialek(dz)
Watomierzem elektrodynamicznym można mierzyć również moc czynną prądu
przemiennego.
Przebieg ćwiczenia.
Zestawić układ według schematu:
"
"
A W
V
AT
220 V R
25
Elektrotechnika laboratorium
Tabela
Rodzaj U I P S Q
cosą
ą
ąą
odbiornika
dz V dz A dz W var -
V�"
�"A
�"�"
Literatura :
St.Bolkowski  Podstawy elektrotechniki
M.Pilawski  Pracownia elektryczna
26