ZADANIA ( 2013/2014) LM
Tylko dla studentów WIP 2103.2014
A. Zadania do podrozdziałów 1.1 i 1.2
Zadanie 1.1.1
Na rysunku pokazano wykres obrazujący zmianę prędkości suwaka v pewnej maszyny
funkcji czasu t. Masa suwaka wynosi 120kg. Jaka siła działa na ten suwak w chwili t = 5s?
Rozwiązanie
Prędkość napędu jest zmienna w czasie. Obliczamy przyspieszenie i w tym celu prowadzimy
styczną do wykresu w punkcie t = 5 s.
D�v 1,6
a =� =� =� 0,37m / s2
D�t 4,3
Siła działająca na suwak i wywołująca to przyspieszenie wynosi
F =� m�� a =� 120 ��0,37 =� 80,4N
Zadanie 1.1.2
Moc silnika spalinowego Pm=100KM. Wiadomo, że alternator zasilający instalacje ma moc
równą 1,5% mocy silnika, a silnik obraca się z prędkością maksymalną n=5500 obr/min.
Przełożenie pomiędzy silnikiem a alternatorem wynosi 2:1. Obliczyć moc alternatora i
prędkość kątową alternatora.
Rozwiązanie
0,015��100
Moc alternatora Pa =�=�1,1kW
1,36
Pa= 1100W
Prędkość maksymalna alternatora 2��5500obr/min = 11000 obr/min
Prędkość kątowa
p� n p� ��11000
w� =� =� =�1151,9 rad / s
30 30
Zadanie 1.1.3
Jaką energię w czasie godzinnej jazdy samochodem jest w stanie oddać alternator do instalacji
samochodu jeśli moc alternatora Pa =1100 W , a jego sprawność wynosi h� = 0.97?
Rozwiązanie
Moc oddawana do instalacji P =� Pa ��h� =�1100��0,97 =�1067 W
t = 1h = 3600 s, zatem E= 1067"3600=3841200 Ws =3841,2 kJ
Zadanie 1.1.4
Wentylator ma moment bezwładności 1 kgm2 i pozostaje w spoczynku. Jaką prędkość ( w
obrotach/min) uzyska wentylator po 1 sekundzie jeśli skokowo przyłożymy moment
napędowy o wartości 100 Nm ? Zakładamy brak momentu oporowego.
Rozwiązanie
D�w� D�t
Równanie ruchu można zapisać jako: J =� M �� D�w� =� M ��
D�tJ
Dla D�t =1 sekundy przyrost prędkości wentylatora wyniesie
D�t 1
D�w� =� M �� =�100�� =�100 rad / s
J 1
Prędkość obrotowa wentylatora po 1 sekundzie od uruchomienia
30 30
n =� w� �� =�100�� =� 954,9 obr / min
p�p�
Zadanie 1.1.5
Równanie ruchu ma postać
2
d a�
J �� =� M ,
dt2
gdzie J = 10 kgm2 zaś M = 15Nm. W chwili t = 0 jest ą = 0, � = 0. Narysować wykresy
funkcji ą(t) oraz �(t).
Jak zmienią się wykresy jeżeli w chwili t = 0 będzie ą = 1200 oraz n = 100 obr/min?
Rozwiązanie / podpowiedz
/
2
d ą
Równanie 10 = 15 opisuje ruch jednostajnie przyspieszony. Wykres ą(t) powinien być
2
dt
parabolą, wykres �(t)  linia prostą. Należy pamiętać żeby podstawiać � w rad/s, a nie
obroty na minutę.
Zadanie 1.1.6
2
d a�
Równanie ruchu ma postać J �� =� M , gdzie moment bezwładności 10 kgm2. Moment M
dt2
jest zapisany jako:
��2��t
dla 0 Ł� t Ł� 7,5s
��
M =�
��
15Nm dla t >� 7,5s
��
��
i jest wyrażony jest w Nm, gdy czas t jest podstawiony jest w sekundach ( rysunek). W
chwili t = 0 jest ą = 0, � = 0
Rozwiązać równanie ruchu dla obydwu warunków początkowych podanych w zadaniu.
Oblicz prędkość p czasie t=10 sekund
Rozwiązanie
2
d a�
Równanie ruchu J �� =� M dla przedziału 0 Ł� t Ł� 7,5s zapiszemy jako:
2
dt
dw�
10�� =� 2t stąd 1 0 =� ��dt �� 10��w� =� t2 +� C , gdzie C  stała całkowania.
��dw� ��2t
dt
Stała czasową C =0, co uzyskujemy wstawiając warunki początkowe � = 0 dla t=0 do
powyższego równania.
Zatem prędkość w zadanym przedziale zmienia się zgodnie z zależnością paraboliczną
w� =� 0,1t2 +� C .
da� 1 1 1 t3
Kąt obrotu wyznaczamy z zależności =� ��t2 ��a� =� ��t2dt =� �� +� C1t .
��10
dt 10 10 3
Stała czasową podobnie jak poprzednio wyznaczymy z warunku początkowego ą = 0 dla t=0,
co daje C1 =0 czyli
1 t3
a� =� ��
10 3
1 1
Prędkość dla t=7,5 s w� =� ��t2 =� ��7,52 =� 5,625 rad / s
10 10
1 t3 1 7,53
Kąt obrót przy t=7,5 s a� =� �� =� �� =�14,063 rad
10 3 10 3
Są to warunki początkowe dla równania
dw�
10�� =�15 , którego rozwiązaniem w� =�1,5��t1 +� C
dt
Stałą czasową C wyliczamy z zależności 5,625 =�1,5��0 +� C �� C =� 5,625
Zatem prędkość w� =�1,5t1 +� 5,625 [rad/s]
Po czasie t=10 sekund czas t1 =10- 7,5=2,5 sekundy.
Poszukiwana prędkość obrotowa
w� =�1,5t1 +� 5,625 =�1,5��2,5+�5,625 =� 9,375 rad / s
Zadanie 1.1.7
Moment silnika zapisany jest równaniem
��-�4t
dla 0 Ł� t Ł� 2s
��
M =�
��
10Nm dla t >� 2s
��
��
i wyrażony jest w Nm, gdy czas t jest podstawiony w sekundach ( rysunek). Moment
bezwładności J=0,5 kgm2, a w chwili t = 0 jest ą = 0, n = 950 rad/s. Obliczyć prędkość po
czasie 5 sekund od początku hamowania napędu.
Zadanie 1.1.8
Równanie ruchu ma postać
2
d a�
J �� =� M
2
dt
gdzie J = 10kgm2 zaś M = 15Nm. W chwili t = 0 jest ą = 0, � = 100 rad/s 0.
Narysować wykresy funkcji ą(t) oraz �(t) jeżeli wiadomo, że
��
0 dla 0 Ł� t Ł�10s
��
M =�
��
dla t >�10s
��-�2(t -�10)Nm
��
Obliczenia przeprowadzić do chwili, w której � zmniejszy się do zera.
Zadanie 1.1.8
Naszkicować wykresy obrazujące funkcje x(t) oraz dx/dt (t), które są rozwiązaniami równania
2
d x
m + kx = 0
2
dt
Przyjąć, że m = 5 kg zaś k = 30 kN/mm. Warunki początkowe: dla t = 0, x = -10 mm, dx/dt = 0
Rozwiązanie / podpowiedz
/
Jeżeli m jest masą ciała zawieszonego na sprężynie o sztywności k, to równanie opisuje nietłumione
k
drgania harmoniczne. Przyjmując w�0 =� uzyskujemy rówanie ogólne zależne od dwóch stałych
m
A i B o postaci x(t ) =� Asin(w�0t )+� Bcos(w�0t )
B. Zadania do podrozdziału 1.3
Zadanie 1.3.1
Obliczyć moment bezwładności stalowego krążka pokazanego na poniższym rysunku
względem osi otworu �50. Grubość krążka wynosi 50mm.
�50
36
�250
Rozwiązanie:
Moment bezwładności krążka względem jego osi
m D2
J =� ��
2 4
Masa krążka
p� p�
m =� D2h �� r� =� �� 2,52 �� 0,5 ��7,85 =� 19,26kg
4 4
19,2 0,252
J =� �� =� 0,15kgm2
2 4
Moment bezwładności krążka (bez otworu) względem osi otworu �50
J1 =� J +� md2 =� 0,15 +� 19,26 ��0,0362 =� 0,0175kgm2
Masa walca, który odpowiada otworowi �50
p�
m50 =� �� 0,52 �� 0,5 ��7,85 =� 0,77kg
4
Moment bezwładności otworu względem jego osi
0,77 0,052
J50 �� =� 0,0002kgm2
2 4
Moment bezwładności krążka z otworem względem osi otworu
J =� J1 -� J50 =� 0,0173kgm2
Zadanie 1.3.2
Obliczyć moment bezwładności bębna nawijaka. Średnica D1 walca nawojowego wynosi
290mm, średnica rulonu papieru D2, długość rulonu i walca L=1000 mm. Do obliczeń
przyjąć gęstość papieru, gęstość stalowego walca r�s =� 7800 kg / m3.
Papier grubość g
L
Rozwiązanie
Masa stalowego walca
p� �� D2 �� L
1
ms =� r�s =� 515,2 kg
4
Moment bezwładności stalowego walca
D2
0,292
1
Js =� ms =� 515,2 =� 5,42 kgm2
88
Masa rulonu papieru
2 2
p� �� D2 -� D1 �� L p� 12 -� 0,292 ��1
(� )� (� )�
mp =� r�p =�1000 =� 719,3 5kg
44
Moment bezwładności rulonu papieru
2 2
D2 -� D1 12 -� 0,292
(� )� (� )�
J =� mp �� =� 719,3 =� 82,35 kgm2
p
88
Całkowity moment bezwładności
J =� Js +� J =� 5,42 +�82,35 =� 87,77 kgm2
p
Zwróćmy uwagę na dużą zmienność momentu. Na początku nawijania papieru moment
bezwładności jest równy 5,42 kgm2, a pod koniec nawijania bębna nawijaka moment
bezwładności jest kilkunastokrotnie większy.
Zadanie 1.3.3
Obliczyć moment bezwładności wału pokazanego na poniższym rysunku względem osi
symetrii  0-0 . Wał z pogrubieniem składa się z cylindra o średnicy 200 mm i dwóch
cylindrów o średnicy 50 mm. Należy obliczyć momenty bezwładności tych cylindrów i je
dodać, gdyż mają one tę samą oś.
�50 obie strony
�200
0
0
450 500 450
Materiał: stal
1
2
D
D
Zadanie 1.3.4
Materiał: żeliwo
Wał ze szprychami składa się z
�20
pręta o średnicy 60 mm, tulei o
średnicy zewnętrznej 150 mm,
�150
szprych i kul. Obliczyć moment
bezwładności wału względem osi
0
0
symetrii  0-0 .
�60
60
300
Materiał: stal
8 szprych
�kuli 60
Rozwiązanie / podpowiedz
/ 300
Moment bezwładności dwóch pierwszych elementów należy obliczyć jak dla wału z pogrubieniem.
Następnie obliczamy moment bezwładności kul względem ich osi i korzystając ze stosownego wzoru
redukujemy momenty do osi 0-0. Podobnie postępujemy ze szprychami (patrz zadanie B5.
Zadanie 1.3.5
Obliczyć moment bezwładności koła zębatego pokazanego na poniższym rysunku. Materiał:
stal. Przyjąć średnicę podziałową �200 jako obliczeniową średnicę zewnętrzną koła.
Jak dokładniej obliczyć moment bezwładności koła zębatego?
?
4 x �40
�200
�55 �78
�124
Koło zębate
40
75
Dodajemy do momenty bezwładności tulei �78/ �55 x 75 (a) i pierścienia �200/ �200 x 35 (b).
Odejmujemy (c) moment bezwładności otworu �55 x 75. Obliczamy moment bezwładności otworu
�40 x 35 względem jego osi, a następnie względem osi koła zębatego (d). Wynik ostateczny: (a) +
(b)  (c)  4 x(d).
Dokładniejsze obliczenie wymaga wniknięcia w analityczny opis geometrii uzębienia. Pozostawiam
to osobom, które chciałyby sobie przypomnieć zarówno geometrię analityczną jak i zasady
całkowania.
Zadanie 1.3.6
Obliczyć moment bezwładności pręta względem osi x1 równoległej do osi x. Znane są:
x1 x
l/2
l
- długość pręta l = 500 mm
- średnica pręta d = 5 mm
- materiał: stal (gęstość 7850 kg/m3)
Rozwiązanie
Obliczamy kolejno:
p� p�
2
m =� �� d ��l �� r� =� (0,005 )2 ��0,5 ��7850 =� 0,31kg
4 4
2
m��l 0,31��0,52
J =� =� =� 0,00646kgm2
x
12 12
d =� l / 2 =� 0,25m
J =� J +� m��( l / 2 )2 =� 0,00646 +� 0,31��0,252 =� 0,00646 +� 0,01938 =� 0,02584kgm2
x1 x
Zadanie 1.3.7
Obliczyć zastępczy moment bezwładności napędu strugarki sprowadzony do wału (1).
G2
v
STÓA

G1
2
Z4
6
Z6
Z2
Z1 Z5
Z3
1
3
5
4
Ciężar stołu G1=1000N, ciężar obrabianego elementu G2=250N.
Momenty bezwładności kół zębatych napędu wynoszą:
z1 =20, z2 =80, z3 =40, z4 = 100, z5 = 40, z6 = 120.
Momenty bezwładności J1=0,1 kgm2 , J2=0,2 kgm2, J3=0,4 kgm2, J4=0,5 kgm2.
Podziałka koła zębatego  6 wynosi t=10,28 mm, a prędkość obrotowa wału  1
n1= 600 obr/min.
C. Zadania do podrozdziału 1.4
Zadanie 1.4.1
Wyprowadzić równanie
2
d x v2 dm
m +� =� Fe -� F0
2
2 dx
dt
Podać kilka przykładów układów, które mogą być opisane powyższym równaniem.
Rozwiązanie / podpowiedz
/
Wyprowadzenie jest analogiczne do podanego w punkcie 1.4. Różnica polega na rodzaju ruchu
wykonywanego przez rozpatrywany układ.
Zadanie 1.4.2
Jak wiadomo, równanie ruchu układu o zmiennym momencie bezwładności ma postać
d2a� w�2 dJ
J +� =� M -� MO
dt2 2 da�
natomiast układu o stałym momencie bezwładności  postać
2
d a�
J =� M -� MO
dt2
Przyjmijmy, że dla obydwu tych układów różnica momentów M  MO jest taka sama.
Przyjmijmy też, że w określonej chwili t wartość momentu bezwładności J też jest taka sama.
Pytanie brzmi: czy łatwiej jest zwiększyć prędkość układu o stałym, czy o zmiennym
momencie bezwładności?
Czy można jednoznacznie odpowiedzieć na to pytanie?
Zadanie 1.4.3
Wykazać, że moment bezwładności nawijaka papieru ( rys. z zadania 1.3.2 ) zmienia się w
czasie z kwadratem prędkości liniowej nawijanego papieru. Przyjąć oznaczenia z rysunku.
Rozwiązanie
2 2
D2 -� D1
(� )�
Z zadania 1.3.2 moment bezwładności papieru J =� mp ��
p
8
2 2
p� �� D2 -� D1 �� L
(� )�
a ponieważ mp =� r�p zatem
4
2
2 2
D2 -� D1
(� )�
J =� r�p ��p� �� L .
p
32
4��v �� g
2
Zgodnie z wzorem (21) D2 =� t +� D1 stąd po podstawieniu i redukcji uzyskujemy:
p�
p� ��l��g2��v2
J =� t ,
p
2
gdzie g- grubość pasma.
Moment bezwładności bębna zależy od kwadratu prędkości liniowej nawijanego pasma
papieru,
D. Zadania do podrozdziału 1.5
Zadanie 1.5.1
Układ jak na rys.1.5.1,. Dane: JS = 0.5kgm2, JM = 2.5kgm2, z1 = 28, z2 = 60, M = MO =
10Nm. Obliczyć moment obrotowy przenoszony przez przekładnię zębatą.
Należy:
(a) Zredukować moment bezwładności JM do wału silnika. (b) Obliczyć moment
bezwładności JZ . (c) Obliczyć zredukowany do wału silnika moment oporowy MZ . Powinno
d�S
być M > MZ . (d) Obliczyć przyspieszenie . (e) Zredukować to przyspieszenie do wału
dt
MR. Oznaczmy przyspieszenie po redukcji do wału MR symbolem �MR . (f) Przekładnia
przenosi na wał MR moment M0 oraz moment dynamiczny JM �MR .
Zadanie 1.5.2
Układ jak na rys.1.5.2, część wykładowaXXXXX. Obliczyć moment zastępczy MZ dla
dwóch przypadków różniących się współczynnikiem tarcia jeżeli wiadomo, że z1 = 20, z2 =
80,
F = 1000N, d = 46mm, h =8mm zaś współczynnik tarcia pomiędzy śrubą i nakrętką wynosi:
przypadek a) 0,00; przypadek b) 0,1. Która z tych wartości jest bliższa warunkom istniejącym
w śrubie pociągowej tocznej?
Do pokonania siły F jest potrzebny moment obrotowy (na śrubie) równy
d
M0 = F tg( ł + � )
2
Moment ten należy zredukować do wału silnika. Kąty występujące we wzorze  patrz wykład.
Zadanie 1.5.3
Zredukować na wał silnika masę suwaka m = 250kg. Pozostałe dane liczbowe jak w
poprzednim zadaniu.
Masa m zredukowana na wał silnika jest równoważna momentowi bezwładności równemu
h z1
m ( )2
2Ą z2
Zadanie 1.5.4
Na rysunku obok pokazano szkic frezarki
sterowanej numerycznie. Jakie wielkości należy
znać, aby obliczyć zredukowane do wału każdego silnika
(a) momenty oporowe wynikające z sił skrawania,
(b) zredukowane do wału każdego silnika
momenty bezwładności.
Zadanie 1.5.5
Jaką moc powinien mieć silnik napędzający wciągarkę o schemacie jak na rysunku?
W
P
S
m
m
Widok W
Dane:
- przełożenie przekładni i = 60 : 1
- sprawność części mechanicznej wciągarki h� =� 65%
- podnoszona masa m=1000 kg
- prędkość podnoszenia v= 0,45 m/s
- średnica bębna D=500 mm
Jaka moc (minimum) powinien mieć silnik?
Rozwiązanie:
Moment obrotowy na wale bębna
M =� m�� g �� D / 2 =�1000��9,81��0,25 =� 2452,5 Nm
Prędkość kątowa bębna
� = 0,45m/s : 0,25m = 1,8 rad/s
Moc potrzebna do podnoszenia masy z założoną prędkością
P=M � = 2452,5 Nm x 1,8 rad/s = 4414,5 W
Moc silnika (minimum)
P = M � / � = 4414,5W / 0,65 = 6.791,5 H" 7 kW
Zwróćmy uwagę, że w celu obliczenia mocy silnika wystarczyło obliczyć moc potrzebna do
podnoszenia masy.
Zadanie 1.5.6
Moment obciążenia maszyny roboczej MO = 350 Nm, prędkość obrotowa maszyny wynosi
n=20 obr/min osiągana jest z przyśpieszeniem e�m =10 rad/s2. Obliczyć minimalną moc Ps
jaką powinien mieć silnik napędowy jeśli wiadomo, że z1=z3=z5=20, z2=80, z4=100, z6=125,
moment bezwładności J=20 kgm2.
Sprawność każdego stopnia przełożenia h�1 =h�2 = h�3 =0,97.
Rozwiązanie:
Moment potrzebny do osiągnięcia wymaganej prędkości
masz =� O +� J ��e�m =� 350 +� 20��10 =� 550Nm
p�p�
Prędkość kątowa maszyny w�masz =� �� nmasz =� �� 20 � 2,1rad / s
30 30
Moc na wale IV Pmasz =� Mmasz ��w�masz =� 550�� 21=�1155 W
Moc silnika Ps=Pmasz/h�1h�2h�3h�4= 11550/0.97*0,97*0,97*0,97=13046,5 W �1,3 kW
Zadanie 1.5.6
Dany jest układ napędowy jak na rysunku. Silnik podnosi poprzez przekładnię P i koła zębate
dwie masy .
Dane liczbowe:
m1 = 1000 kg
m2 = 2000 kg
z1= z3= 20 liczba zębów kół
zębatych
z2= z4= 80 liczba zębów kół
zębatych
D1= 400 mm
D2= 600 mm
v1=0,3 m/s
Obliczyć:
a) Jakie powinno być
przełożenie przekładni P aby
układ mógł być napędzany
silnikiem indukcyjnym o
prędkości znamionowej równej
970 obr/min?
b) Jaką moc minimalną moc
musi mieć silnik jeśli prędkość
podnoszenia masy m1 wynosi 0,3m/s. Do obliczeń przyjąć sprawność przekładni P równa
75% zaś sprawności przekładni z1/z2 i przekładni z3/z4 równą 94%.
Zadanie 1.5.7
Ciągarka drutu (rysunek) napędzana jest silnikiem
M. Siła ciągnięcia drutu wynosi 5000 N i nie zależy
od prędkości obrotowej bębna. Średnica bębna D
F
P
wynosi 400 mm, liczba zębów przekładni P wynosi
odpowiednio:
z1=z3 =10, z2 = z4 = 40, sprawności przekładni P to:
Z4
h�1=0.7 , h�2= 0,75. Obliczyć prędkość liniową drutu. D
Jaka powinna być minimalna moc silnika
Z2
napędowego jeśli ma on obracać się ze znamionową
prędkością obrotową 960 obr/min, a całkowita
Z3
sprawność mechanizmu związana z nawijaniem i
ciągnięciem drutu wynosi h�3 =60%?
M
Z1
Rozwiązanie
Prędkość liniowa drutu maszyny
p� �� D �� n z2 z4
v =� gdzie i1 =� =� 4 i2 =� =� 4
60��i1 ��i2 z1 z3
p� ��0,4��960 m
v =�=�1,256
60��4��4 s
Prędkość kątowa bębna maszyny
m
1,256
v rad
s
w� =� =� =� 6,28
r 0,2 m s
Moc potrzebna do ciągnięcia drutu z wyznaczoną prędkością
P =� M ��w� =� F ��r ��w� =� 5000��0,2��6,28 =� 6280W
Minimalna moc silnika
Ps =� M ��w� /h�1 ��h�2 ��h�3 =� 6280 / 0,7��0,75��0,6 =�19936,5W
Minimalna silnika 20 kW
Zadanie 1.5.8
Silnik S poprzez zębatą przekładnię pasową napędza śrubę, która porusza stół. Na stół działa siła F =
1000 N , zaś na śrubę moment obrotowy MOP = 12 Nm. Zarówno siła F jak i moment M0
JS MS
J1 z1
S
Q
F
MOP
J2 z2
Stół
przeciwdziałają wywołanemu przez silnik obrotowi śruby. Wyjaśnienia symboli: MS = 8Nm  moment
obrotowy silnika, JS = 0,3 kgm2  moment bezwładności wirnika silnika, J1 = 0,15 kgm2  moment
bezwładności koła pasowego osadzonego na wale silnika, J2 = 0,4 kgm2  moment bezwładności koła
pasowego osadzonego na śrubie, z1 = 28, z2 = 60  liczby zębów zębatych kół pasowych, Q = 12kN
 ciężar stołu. Informacja dodatkowa: h = 16 mm  skok gwintu śruby, d = 60 mm  średnica
podziałowa śruby, ź = 0,01  współczynnik tarcia w przekładni śrubowej. Napisać równanie ruchu
opisanego układu. Należy obliczyć współczynniki liczbowe tego równania. Warunek początkowy: dla
t = 0 � = 150 rad/s . Obliczyć prędkość kątową dla t = 1 s.
Rozwiązanie
Moment bezwładności układu zredukowany do wału silnika:
z1 Q h z1
JZ = J + J1 + J2( )2 + ( )2 =
S
z2 g 2Ą z2
28 12000 0,016 28
= 0,3 + 0,15 + 0,4 " ( )2 + " ( " )2 = 0,537kgm2
60 9,81 2Ą 60
Uwaga: zredukowany moment bezwładności pochodzący od masy stołu jest bardzo mały w
porównaniu z pozostałymi momentami.
Obrotowy moment oporowy spowodowany siłą F
d
M0 F = F tg( ł + � ) = 1000 " (0,06 / 2 )" tg( 4,85 + 0,57 ) = 2.85Nm
2
Całkowity moment oporowy zredukowany do wału silnika
z1 28
M = ( MOP + MOF )" = (12 + 2.85 )" = 6,93Nm
Z
z2 60
Równanie ruchu
d�
JZ = M  MZ
S
dt
d�
0,537 = 1,07
dt
d�
= 2
dt
� = 2t + C = 2t + 150
Dla t = 1 s jest �t=0,1s = 152 rad/s
Zadanie 1.5.9
Silnik S poprzez zębatą przekładnię pasową napędza śrubę, która porusza stół. Na stół działa siła F =
1000 N , zaś na moment obrotowy MOP = 12 Nm.
JS MS
J1 z1
S
Q
F
MOP
J2 z2
Stół
Zarówno siła F jak i moment MO przeciwdziałają obrotowi śruby wywołanemu przez silnik.
Wyjaśnienia symboli: MS = 8Nm  moment obrotowy silnika, JS = 0,3 kgm2  moment bezwładności
wirnika silnika, J1 = 0,15 kgm2  moment bezwładności koła pasowego osadzonego na wale silnika,
J2 = 0,4 kgm2  moment bezwładności koła pasowego osadzonego na śrubie, z1 = 28, z2 = 60 
liczby zębów zębatych kół pasowych, Q = 12kN  ciężar stołu. Informacja dodatkowa: h = 16 mm 
skok gwintu śruby, d = 60 mm  średnica podziałowa śruby, ź = 0,01  współczynnik tarcia w
przekładni śrubowej. Obliczyć moment obrotowy przenoszony przez przekładnię pasową.
Rozwiązanie
Jak w poprzednim zadaniu należy napisać równanie ruchu i obliczyć przyspieszenie kątowe. Wynosi
ono
d�
= 2
dt
Przyspieszenie to należy zredukować do śruby
d�SR d� z1 28
= " = 2 " = 0,93rad / s2
dt dt z2 60
Zredukowany do śruby moment bezwładności koła o liczbie zębów z2 oraz stołu wynosi
Q h 12000 0,016
JSR = J2 + ( )2 = 0,4 + " ( )2 = 0,408kgm2
g 2Ą 9,81 2Ą
Moment obrotowy niezbędny do pokonania momentu MOP oraz momentu wynikającego z
oddziaływania na stół siły F
d
M = F tg( ł + � ) + MOP = 1000 " (0,06 / 2 )" tg( 4,85 + 0,57 ) + 12 = 14.85Nm
SR
2
Moment przenoszony przez przekładnię
d�SR
M = JSR " + M = 0,408 " 0,93 + 14,85 = 15,23Nm
PRZ SR
dt
Zadanie 1.5.10
Wyznaczyć czas rozruchu silnika klatkowego napędzającego bęben kołowrotu przez
jednostopniową przekładnię zębatą. Podczas rozruchu zostaje podnoszony ładunek
G=3000N zawieszony na linie. Dane silnika napędowego: PN =�14kW,w�N =� 75rad / s ,
momenty obrotowe w jednostkach względnych: moment napędowy na początku rozruchu
Mr =�1,5MN , moment maksymalny ; moment bezwładności wirnika silnika
Js =� 2,9 kgm2. Dane przekładni P: liczba zębów koła małego , liczba zębów koła
dużego , moment bezwładności przekładni sprowadzany do wału silnika
JP =�1,2 kgm2 , średnica bębna kołowrotu . Moment bezwładności bębna
Jb =�10 kgm2 , sprawność mechaniczna całego urządzenia h� =� 0,87
Rozwiązanie
Przełożenie przekładni P
z2 73
i =� =� =� 5,6
z1 13
Prędkość kątowa bębna przy znamionowej prędkości obrotowej silnika
w� 75
N
w� =� =� =�13,39 rad / s
i 5,6
Prędkość podnoszenia
Zastępczy moment bezwładności
2
2
ć� ��
Jb G vb 10 3000 4,02
ć� ��
Jz =� Js +� JP +� +� =� 2,9 +�1,2 +� +� =� 5.29 kgm2
��
�� ��
i2 g w�N �� 5,62 9,81 75
Ł� ł�
Ł� ł�
Moment znamionowy silnika
Średni moment obrotowy podczas rozruchu silnika
Moment oporowy sprowadzony do wału silnika
G �� D 3000��0,6
MO =� =� =�189,07 Nm
2ih�P 2��5,6��0,85
Czas rozruchu
w�N -� 0 75
tr =� Jz =� 5, 29 =� 2,57 s
Msr -� MO 343,5 -�189,07
Zadania do podrozdziału 1.6
Zadanie 1.6.1
Silnik rozwija stały moment obrotowy M = 33 Nm i jest obciążony stałym momentem
oporowym równym MO = 10 Nm. Zredukowany do wału silnika masowy moment
bezwładności wynosi 5 kgm2. W chwili początkowej silnik wykonuje 1440 obr/min. W jakim
czasie silnik osiągnie 1480 obr/min?
Rozwiązanie:
dw�
J =� M - MO
dt
M  MO = Md = 23 Nm
M
� = t + �0
J
�o = 150,79 rad/s - początkowa prędkość kątowa
�k = 154,98 rad/s - końcowa prędkość kątowa
23
154,98 = tR + 150,79 - czas rozpędzania
5
tR = (154,98  150,79) / 4,6 = 0,91 s
Zadanie 1.6.2
Dany jest układ napędowy jak na obok:
GD0= 4,5 N m2 , GD1= 135 N m2,
F
GD2 =1750 N m2, sprawności : h�1=0.7 , h�2= 0,75 ,
przełożenia ( licząc od silnika) z1=z3 =10, z2=z4= 40 .
Obliczyć przyśpieszenie kątowe jakie pojawi się na
wale silnika tuż po zerwaniu drutu. Przyjąć, że GD22
moment obciążenia zmienia się wówczas skokowo D
od ustalonej wartości momentu znamionowego do
wartości 0,2 MN. Silnik prądu stałego ma moc 5 kW
GD21 h�2
i obraca się z prędkością nN = 960 obr/min.
h�1
GD20
M
Rozwiązanie
Jeśli nie uwzględniamy strat (zwykle oszacowanych sprawnościami) to moment bezwładności
może być obliczony z wzoru:
Wówczas dla danych zadania GD2= 19,8 Nm2
J= GD2/4g = 0.5 kgm2
P 5000 W
Znamionowy moment silnika dla prędkości MN =� =� =� 49,76 Nm
w�N 100, 48 rad / s
Przyjmując, że moment napędowy w chwili tuż po zerwaniu liny pozostanie jeszcze
niezmienny mamy:
dw� dw� 0,8MN 0,8��49,76 rad
J =� MN -� 0,2MN =� =� =� 79,62
dt dt J 0,5 s2
Zadanie 1.6.3
Do podnoszenia ładunku o masie 200 kg z prędkością 1,2 m/s zbudowano wciągarkę
składającą się z następujących elementów:
 silnika o momencie bezwładności JS =� 0,01 kgm2 obracającego się z prędkością
1450 obr min oraz przekładni.
 bębna o momencie bezwładności Jb =� 3 kgm2 , obracającego się z prędkością 60 obr min.
Moment oporowy ( na wale bębna) przy podnoszeniu masy z prędkością obrotową bębna
równą 60 obr min wynosi 200 Nm, a całkowita sprawność wciągarki h� =� 0,85 . Silnik
elektryczny rozwija przy rozruchu średni moment Mr =�15 Nm . Obliczyć czas rozpędzania
silnik od zerowej prędkości do 1450 obr min jeśli wiadomo, że rozruch zachodzi przy
podnoszeniu ładunku.
Rozwiązanie
Obliczenie momentu bezwładności sprowadzonego do wału silnika
Jb m
Jz =� Js +� +�
i2 ć� w� ��2
�� ��
v
Ł� ł�
Przełożenie przekładni
1450 w� 151,77 n��p� 1450��p�
i =� =� 24,2 =� =�126,47 1/ s w� =� =� =�151,77 rad / s
60 v 1,2 30 30
3 200
Jz =� 0,01+� +� =� 0,01+� 0,0051+� 0,0125 =� 0.0276 kgm2
22
24,2 126, 47
(� )� (� )�
Jz =� 0,0276 kgm2
Moment oporowy sprowadzony do wału silnika przy podnoszeniu
200 200
MO =� =� =� 9,72 Nm
ih� 24,2��0,85
Moment dynamiczny rozwijany przez silnik przy rozruchu
MD =�15 Nm -�9,72 =� 5,28 Nm
Czas potrzebny do rozruchu tj do osiągnięcia prędkości 1450 obr min
dw� D�w�
Jz =� MD Jz =� MD
dt D�t
JzD�w� =� MDD�t
JD�w� 0,0276��151,77
D�t =� =� =� 0,79 s
MD 5,28
Czas rozruchu 0,79s.
Zadanie 1.6.4
Moment oporowy maszyny sprowadzony do wału silnika wynosi Mo=150 Nm i jest stały
przez czas t1. oznaczony na rysunku. Silnik osiąga kątowa prędkość znamionową
w�1 =100 rad/s w ciągu 2 sekund przy wskazanym momencie oporowym, po czym pracuje
przez tO =2 sekundy ze stała prędkością, a następnie hamuje przez 2 sekundy do zatrzymania
jak na rysunku.
O
o1
t1
t
�
tO
t
s
Wiedząc, że moment bezwładności na wale silnika wynosi J = 1 kgm2 oblicz jaki moment
zastępczy Mz silnika potrzebny jest do zrealizowania wskazanego na rysunku przebiegu
prędkości. .
Narysuj na wykresie jak zmienia się przebieg momenty silnika w czasie.
Zadanie 1.6.4
Obliczyć z jaką największą prędkość linową może
poruszać się suwnica jeśli wiadomo, że prędkość
v
obrotowa silnika napędowego suwnicy nN = 600
obr/min, a dopuszczalny ciężar suwnicy z
ładunkiem wynosi G=10000N.
Z danych konstrukcyjnych urządzenia wiadomo, że
moment bezwładności całego napędu sprowadzony
M
do wału silnika Jz = 10 kgm2 , moment
P
bezwładności silnika Js = 0,5 kgm2 , moment
bezwładności przekładni sprowadzony do wału
silnika Jp = 1 kgm2.
Rozwiązanie
Moment bezwładności sprowadzony do wału
2
2
ć� ��
G v (Jz -� Js -� JP )�� g ��w�N
Jz =� Js +� JP +� stąd v =�
��
g w�N �� G
Ł� ł�
Ponieważ prędkość kątowa
p� ��n p� ��600
w�N =� =� =� 62.83 rad / s
30 30
2
10 -� 0,5 -�1 ��9,81��62,832
(Jz -� Js -� JP )�� g ��w�N (� )�
zatem v =� =� =� 5,74 m / s
G 10000
Obliczeniowa prędkość suwnicy jest nie większa niż 5,74 m/s.
Zadanie 1.6.5
Na rysunku schematycznie przedstawiono windę z przeciwwagą napędzaną silnikiem
elektrycznym. Obliczyć moc napędu, jeśli znane są: masy kabiny i przeciwwagi, moment
bezwładności bębna napędowego, prędkość ruchu i przyspieszenie windy.
Rozwiązanie
I sposób
Stosownie do zasad oznaczamy odpowiednio kierunki przyśpieszeń kątowych i liniowych.
Teraz zostaje już tylko napisanie równania ruchu dbając o zachowanie znaków momentów.
Oznaczenia przyjęto z rysunku
Ms
d2a� dw�
J �� =� J ��
dt2 dt
a� r
d2x dv
mk =� mk
dt2 dt x
mk mp
x
d2x dv
mp =� mp
mk �� g
mp �� g
dt2 dt
Mamy, więc równanie:
dw� dv dv
Ms -� J �� -� mp �� r -� mp �� g ��r -� mk �� r +� mp �� g �� r =� 0
dt dt dt
dv dv
Zwróćmy uwagę, że moment -�mp ��r ma ten sam znak co -�mk ��r .
dt dt
Moc silnika
P =� Ms ��w� , a jeśli uwzględnimy, że v =� w� ��r
dv dw�
P =� ( mp -� mk )�� g ��r ��w� +�( mp +� mk )��v �� +� J ��w�
dt dt
II sposób
Równanie ruchu uzyskuję identyczne chociaż obliczam inaczej.
Oznaczmy Jz =� Jb +� Jp +� Jk
Jb  moment bezwładności wirującego bębna
Jp  moment bezwładności przeciwwagi sprowadzony do bębna
Jk - moment bezwładności klatki sprowadzony do bębna
22
vv
J =� mp ��ć� �� ; Jk =� mk ��ć� �� ;
p �� �� �� ��
w�w�
Ł� ł� Ł� ł�
Równanie ruchu
2
dw� v dw�
Ms -� MO =� Jz =� ( Jb +�( mp +� mk )ć� �� )
�� ��
dt w� dt
Ł� ł�
MO =� ( mp -� mk )�� g ��r
v dv dw�
Uzyskuje ten sam wzór na moc, co wyżej bowiem r =� =� :
w� dt dt
2
v dw�
Moc
Ps =� Ms ��w� =� w� ��( Jb +�( mp +� mk )ć� �� ) +�( mp -� mk )�� g �� r ��w�
�� ��
w� dt
Ł� ł�
Zadanie 1.6.6
Dz
wig porusza się z prędkością liniową v= 3m/s, prędkość kątowa silnika w� =110 rad/s ,
dw�
e� =� =�10 rad / s2 , masa przeciwwagi mp =1300 kg , masa klatki (pustej) mk =1000 kg,
dt
moment bezwładności napędu J=0,75 kgm2.
Oblicz moc silnika dla: a) dla pustej kabiny b) dla kabiny z pasażerami o masie 250 kg
c) dla przypadku dz
wigu pozbawionego przeciwwagi.
Który z przypadków zapewnia najmniejsze zużycie energii.
Zadania wielowariantowe (1)
Dla danych zawartych w Tabeli 1 obliczyć moment zastępczy Mz i moment bezwładności Jz
sprowadzony do wału silnika napędowego. Sprawności kół zębatych i mechanizmów przyjąć
zstosowanie do Tabeli 2 -wstawić własne dane!. W mechanizmie jezdnym ( wariant 7) przyjąć, że
ruch pojazdu odbywa się ze stała prędkością liniową, a współczynnik tarcia spoczynkowego m� =0,1
przy obciążeniu ciężarem własnym i obciążenia zewnętrznym G.
Wariant 1 Wariant 2
Wariant 3 Wariant 4
Wariant 5 Wariant 6
Wariant 7 Wariant 8
Oznaczenia na rysunkach : B-bęben kołowrotu, G  podnoszony ciężar, H  hamulec, K  koła
mechanizmu jezdnego, Ka- kabina dz
wigu, M  silnik napędowy, z1: z7  zęby przekladni
Tabela 2 Dane do zadania
Wariant Uwagi
1 2 3 4 5 6 7 8
Parametr
nazwa
Numeracja
z1 x x x x x x x x
kół
z2 x x x x x x x x
zębatych.
z3 x x x x x x liczona
od wału
z4 x x x x x x
silnika
z5 x x x x - -
z6 x x x x - - -
z7 x x - - - -
i
Numeracja
J1 x x x x x x x x
m. bezwł.
J2 x x x x x x x x
liczona
�10-3
J3 x x x x x x od wału
silnika
J4 kgm2 x x x x x x
J5 x x x x - -
J6 x x x x - -
J7 x x
Rkoła
Rbębna
t- podziałka
t
koła
mkl  masa
mp
mkl klatki
mp  masa
F �103 x x x x x x x x
przeciww
N
agi
Tabela 2 Dane do zadania
Wariant Uwagi
1 2 3 4 5 6 7 8
Parametr
nazwa