ISSN 1733-8670
ZESZYTY NAUKOWE NR 5(77)
AKADEMII MORSKIEJ
W SZCZECINIE
OBSA
UGIWANIE MASZYN I URZ
DZEC
OKR
TOWYCH
OMi UO 2005
Jacek Kaczmarek, Grzegorz Nicewicz,
Zbigniew Idzi
Identyfikacja parametrów reologicznych wibroizolatorów
gumowych na podstawie ich modelu fizycznego
Słowa kluczowe: wibroizolatory, własności reologiczne, identyfikacja, model fizyczny
W artykule przedstawiono metodę identyfikacji modułu Younga i współczynnika
strat pryzmatycznych wibroizolatorów gumowych na podstawie transmitancji
wąskopasmowej modelu fizycznego wibroizolatora, uwzględniającą wpływ masy własnej
wibroizolatora.
The Identification of Rheological Properties
of Vibration Mounts for Vibration Isolation Systems
on the Basis of the Physical Model
Key words: vibration mounts, rheological properties, identification, physical model
This paper contains a description of an identification method for prismatic rubber
vibration mounts of Young s modulus and loss factor calculated on the basis of physical
model narrow band transmittance for vibration mounts, which takes vibration mount
mass influence into consideration.
279
Jacek Kaczmarek, Grzegorz Nicewicz, Zbigniew Idzi
Wstęp
Znaczna część maszyn, m.in. okrętowych o dużej dynamiczności, jest
posadawiana elastycznie w celu obniżenia wartości sił przenoszonych z maszyny
na fundamenty. Jako elastyczne podkładki stosuje się często wibroizolatory
gumowe, ze względu chociażby na bardzo dobre własności tłumiące i niską
cenę.
Optymalny dobór wibroizolatorów wymaga znajomości ich parametrów
sprężysto-tłumiących. Ze względu na niewielką na ogół masę wibroizolatorów
w stosunku do masy wibroizolowanej maszyny, wibroizolatory zastępowano
dotychczas najczęściej modelami o parametrach skupionych. Obecnie dostępne
programy obliczeniowe MES umożliwiają budowanie modeli ciągłych
trójwymiarowych, uwzględniających rzeczywiste własności reologiczne. W
niektórych pracach [2, 3, 8] przedstawiane są sposoby analityczne wyznaczania
własności sprężysto-tłumiących wibroizolatorów gumowych, jednak na
podstawie własnych badań i ocen zawartych w literaturze [4, 5, 9] można
stwierdzić, że otrzymane modele nie zapewniają wystarczającej dokładności
obliczeń. Najdokładniejszą ocenę własności wibroizolatorów można uzyskać na
podstawie badań doświadczalnych rzeczywistych konstrukcji.
W klasycznych metodach identyfikacji parametrów reologicznego modelu
wibroizolatora, tj. modułu Younga i współczynnika strat, opartych na pomiarze
transmitancji wąskopasmowej modelu reologicznego wibroizolatora, pomija się
masę własną wibroizolatora [1, 4, 5, 6]. W niniejszym artykule przedstawiono
metodę identyfikacji wymienionych parametrów, opartą również na znajomości
transmitancji wąskopasmowej modelu fizycznego, ale uwzględniającą masę
własną wibroizolatora. W końcowej części artykułu porównano wyniki
otrzymywane w obu metodach identyfikacji. Wyniki badań tu przedstawione są
uzupełnieniem i jednocześnie rozwinięciem wyników badań prezentowanych
w pracy [5].
1. Model i równanie ruchu wibroizolatora
W metodzie MES możliwe jest modelowanie dowolnych trójwymiarowych
obiektów masowych. Ponieważ w większości wibroizolatory wykonywane są
jako symetryczne, przyjmuje się więc ciągły pryzmatyczny model wibroizolato-
ra osiowosymetrycznego. Zakłada się ponadto izotropię własności mechanicz-
nych modelu. Pomija się wpływ czasu i zmian temperatury na własności wibro-
izolatora. Przyjmuje się, że w ogólności model wibroizolatora jest nieliniowy,
tzn. jego parametry są m.in. funkcją częstości sił wymuszających i wielkości
odkształceń. Ponieważ w przedstawionych badaniach częstość sił wymuszają-
cych jest zmieniana sekwencyjnie, stąd przyjmuje się, że w otoczeniu danej
280
Identyfikacja parametrów reologicznych wibroizolatorów gumowych...
częstości � siły wymuszającej i przy niewielkich zmianach odkształceń parame-
try wibroizolatora są stałe i jego model jest liniowym modelem Kelvina-Voigta,
reprezentowanym dla najbardziej istotnych zazwyczaj dla pracy wibroizolatora
naprężeń i odkształceń podłużnych równaniem [7, 10]:
"�
� = E(� )�"� + �(� )�" (1)
"t
gdzie:
�, �  naprężenie normalne i odkształcenie jednostkowe podłużne,
E  moduł sprężystości podłużnej materiału wibroizolatora, N/m2,
�  lepkość kinetyczna materiału wibroizolatora, Ns/m2,
t  czas, s.
W prezentowanych badaniach wibroizolator mocuje się jedną powierzchnią
czynną do drgającego sinusoidalnie podłoża, a do drugiej powierzchni czynnej
mocuje się masę dodatkową (rys. 1).
X
X
m
m
N(x) + ("N (x) / "x)dx
N(x)+("N(x)/"x)dx
dm = �Sdx
dm = �Sdx
h
dx
x
N(x)
N(x)
Rys. 1. Fizyczny model wibroizolatora gumowego: N(x)  siła normalna w przekroju o współrzę-
dnej x; dm  masa elementu wibroizolatora o gęstości � = const, przekroju S = const i długości dx;
h  długość całkowita wibroizolatora w przybliżeniu niezmienna wobec niewielkich odkształceń
wibroizolatora; m  masa dołączona do górnej powierzchni czynnej wibroizolatora
Fig. 1. Physical model of a rubber vibration mount
281
Jacek Kaczmarek, Grzegorz Nicewicz, Zbigniew Idzi
Wobec założenia w badaniach niewielkich zmian odkształceń wibroizolato-
ra, odkształcenie jednostkowe � można przedstawić za pomocą liniowej funkcji
przemieszczenia u(x):
"u(x)
� (x) = (2)
"x
a z kolei na podstawie zasady d Alemberta otrzymuje się równanie dynamiczne
drgań podłużnych tłumionych wiskotycznie fizycznego modelu wibroizolatora
[7]:
Ą# ń#
"2u(x,t) "2u(x,t) "3u(x,t)
2
= k + � (3)
ó# Ą#
2
"t "x2 "x2"t
Ł# Ś#
gdzie:
E
k = [m/s] ; � = � / E [s] (4)
�
Rozwiązanie przewiduje się w postaci iloczynu funkcji własnej �(x)
i funkcji czasu q(t):
u(x,t) =� (x) �" q(t) (5)
stąd dwa niezależne równania:
2
�
�"(x) + � (x) = 0 (6)
2
k
2 2
&& &
q(t) + � � q(t) + � q(t) = 0 (7)
Warunki brzegowe dla drgań swobodnych pręta z masą m na swobodnym
końcu:
 siła reakcji sprężystej pręta na swobodnym końcu równa sile
bezwładności masy m:
�# ś#
"� "2u
ś#
ś# ź#
SE�#� + � = (8)
ś# ź# -mś# 2 ź#
"t
"t
�# #x=h �# #x=h
282
Identyfikacja parametrów reologicznych wibroizolatorów gumowych...
 przemieszczenie utwierdzonego końca jest zerowe w dowolnej chwili
czasu:
u(0,t) = 0 (9)
Rozwiązaniem równania (6) przy warunku brzegowym (9) jest funkcja własna:
�
� (x) = Asin x = Asin x (10)
k
której wykorzystanie w warunku (8) pozwala otrzymać równanie określające
wartości własne i:
mw
SE
tg ih = = (11)
m�i k mih
gdzie:
mw  masa własna wibroizolatora, mw = S h � [kg],
�i
i = .
k
Z warunku ortogonalności funkcji własnych �(x) (na podstawie równania
(6)):
' '
� (h) �"�l (h) -� (0) �"�l (0) -�l' (h) �"� (h) +�l' (0)�"� (0) +
k k k k
h
(12)
2
+(2 - l )+"� (x)�l (x)dx = 0
k k
0
dla niejednorodnych warunków brzegowych (dla drgań swobodnych pręta
utwierdzonego jednostronnie):
� (0) = 0, � (0) = 0
k l
2
(13)
m�k m�l2
' '
� (h) = � (h), � (h) = � (h)
k k l l
SE SE
otrzymuje się warunek dla funkcji własnych:
h
Ą# ń#
mh
2
(h) � (h) + (x) � (x)dxĄ# �"(�k - �l2)= 0 (14)
ó#m � k l +"� k l
Ł# w 0 Ś#
283
Jacek Kaczmarek, Grzegorz Nicewicz, Zbigniew Idzi
z którego wynika warunek ortogonalności funkcji własnych:
h
mh
� (h) � (h) + (x) � (x)dx = 0 dla l `" k (15)
+"� k l
mw k l
0
h h
Ą# ń#
mh mh
2 2 2 2
(x)dx = � (h) + (x)dx = ł dla l = k (16)
+" ó#� (x - h) mw + 1Ą#� l +"� l l
mw l
0 Ł# Ś# 0
gdzie:
�  delta Diraca,
mh
� (x - h) +1 = g(x) (17)
mw
g(x)  waga funkcji własnych rozważanego zagadnienia [10],
2
ł  jest nazywane kwadratem normy ortogonalności funkcji własnych
l
rozważanego zagadnienia [10].
W celu wyznaczenia ruchu wymuszonego modelu wibroizolatora przy
niejednorodnych warunkach brzegowych:
u(0,t) = u0 sin�t (18)
rozwiązanie u(x, t) rozwija się w szereg według funkcji własnych:
"
u(x,t) = (t)� (x) (19)
"�
n n
n=1
i dokonuje się ortogonalizacji równania ruchu (3) z wagą g(x) określoną wzorem
(17). Po przekształceniach otrzymuje się równanie:
"
2 2 2
&
{[�& (t) + ��n�& (t) + �n�n (t)]ł - ku0�n(sin�t + �� cos�t)}= 0 (20)
" n n n
n=1
2
gdzie: kwadrat normy ł według (16):
n
284
Identyfikacja parametrów reologicznych wibroizolatorów gumowych...
�# �n ś#
�# ś#
ś# ź#
sin 2 h
ś# ź#
�n ś#1 �# k
mh �# ś# h
ź#
#
2 2
ł = sin h + - (21)
ś# ź#
n
ś#
�n ź#
mw �# k 2
#
ś# 2 h ź#
ś# ź#
k
�# #
Aby powyższe równanie (20) było spełnione dla dowolnego czasu t przy
tych samych współczynnikach zależnych od wartości własnych, musi być każdy
element szeregu równy 0. Stąd układ n ( ") równań:
u0k�n
2 2
&
�& (t) + ��n�& (t) + �n�n (t) = (sin�t + �� cos�t) (22)
n n
2
ł
n
lub po przekształceniach:
u0�nk
2 2 2 2
&
�& (t) + ��n�& (t) + �n�n (t) = 1 + � � sin(�t +� ); n =1,..., " (23)
n n
2
ł
n
gdzie:
u0�nk
2 2
1 + � � = An (24)
2
ł
n
tg� = �� (25)
Rozważa się tutaj tylko ruch wymuszony ustalony, z pominięciem ruchu
przejściowego. Przewiduje się n-te rozwiązanie szczególne ruchu pręta w postaci
funkcji:
�n (t) = Bn sin(�t +� - �n ) (26)
która wykorzystana w (23) pozwala otrzymać ostateczną postać n-tego równania
ruchu ustalonego wymuszonego:
2 2
u0�nk 1+ � �
�n (t) = sin(�t +� -�n) (27)
2 2 2
2 2 2
ł
n (�n -� ) +(���n)
gdzie:
2 2
u0�nk 1+ � �
= Bn (28)
2 2 2
2 2 2
ł
n (�n -� ) +(���n)
285
Jacek Kaczmarek, Grzegorz Nicewicz, Zbigniew Idzi
2
���n �� �
tg�n = = ; � = (29)
n
2 2 2
�n
�n -� 1 - �n
Na podstawie (19) równanie drgań podłużnych wymuszonych ustalonych
wibroizolatora po uwzględnieniu (27) i (28) jest postaci:
"
�n
�# ś#
u(x,t) = Bn sin(�t +� - �n ) sinś# xź# (30)
"
k
n=1 �# #
a równanie przemieszczeń podłużnych przekroju końcowego wibroizolatora:
"
�n
u(h,t) = Bn sin(�t +� - �n ) sin h (31)
"
k
n=1
2. Algorytm identyfikacji parametrów wibroizolacji
Z koniecznego warunku maksimum funkcji przemieszczenia u(h, t):
"
"u(h,t) �n
=� Bn cos(�t +� - �n ) sin h (32)
"
"t k
n=1
otrzymuje się po przekształceniach wyrażenie, które określa fazę maksymalnego
przemieszczenia przekroju końcowego wibroizolatora:
"
1+�2 �n
n
sin�# hś# cos(� -�n )
ś# ź#
"� k
2 2 2
2 2
ł
�# #
(�n 2
n=1 n -� ) +(��n )k
�tmax = arc tg (33)
" 2
1+� �n
n
sin�# hś# sin(� -�n)
ś# ź#
"� k
2 2 2
2 2
ł
�# #
(�n 2
n=1 n -� ) +(��n )k
oraz wyrażenie, które określa maksymalne przemieszczenie względne przekroju
końcowego wibroizolatora względem amplitudy u0 ruchu podłoża:
" 2
u(h,t) 1+� �# ś#
�n
max n
= sin h sin(�tmax +� - �n) (34)
ś# ź#
"� k
2
u0 n=1 n 2 2 2 2 2 �# k
ł
#
(�n -� ) +(��n)
286
Identyfikacja parametrów reologicznych wibroizolatorów gumowych...
gdzie:
E
k = (według (4));
�
�  współczynnik strat materiału wibroizolatora;
� = �� (35)
�n mw
tg h = (według (11));
�n
k
m h
k
�# �n ś#
�# ś#
ś# ź#
sin 2 h
ś# ź#
�n ś#1 �# k
mh �# ś# h
ź#
2 2 #
ł = sin h + - (według (21))
ś# ź#
n
ś#
�n ź#
mw �# k 2
#
ś# 2 h ź#
ś# ź#
k
�# #
� = arc tg�� = arc tg� (według (25)).
2
� �
�n = arc tg dla 1- > 0
2 2
� �n
1-
2
�n
(36)
2
� �
�n = Ą + arc tg dla 1- < 0
2 2
� �n
1-
2
�n
W eksperymencie wyznacza się dla danej częstości � sinusoidalnego ruchu
jednej powierzchni czołowej wibroizolatora moduł G(�) i fazę argG(�)
transmitancji wąskopasmowej dla drgań podłużnych wibroizolatora. Następnie z
równań:
u(h,t)max
G(� ) - = 0
u0
(37)
argG(� ) -�tmax = 0
przy uwzględnieniu wyrażeń (4), (11), (21), (25) i (36), wyznacza się wartości
estymat modułu Younga E(�) i współczynnika strat �(�) materiału wibroizolatora.
287
Jacek Kaczmarek, Grzegorz Nicewicz, Zbigniew Idzi
3. Badania eksperymentalne
Badaniom identyfikacyjnym poddano wibroizolator cylindryczny, wykona-
ny z kauczuku naturalnego o twardości około 60� Sh, o wymiarach w stanie
nieobciążonym: Ć 69,7 mm; h0 = 44,8 mm, o gęstości około 1250 kg/m3.
Do powierzchni czołowych były przywulkanizowane płytki stalowe o średnicy
równej średnicy elementu gumowego i o grubości 2,8 mm. Do górnej po-
wierzchni czołowej mocowano masę dodatkową m. W niniejszym artykule
przedstawiono wyniki badań dla dwóch różniących się znacznie wartości masy
dodatkowej: 0,73 kg i 1,084 kg.
Schemat układu do pomiaru transmitancji wąskopasmowej dla drgań
podłużnych wibroizolatora przedstawiono szczegółowo w artykule [5]. Wyniki
pomiaru transmitancji dla układu z jedną z mas dodatkowych pokazano na
rysunku 2.
0
 15  10  5 0 5 10
ReG(jv) 15
ReG(jv)
 2
 4
 6
 8
 10
 12
 14
 16
ImG(jv)
ImG(jv)
 18
Rys. 2. Wykres transmitancji (na płaszczyz
nie zespolonej) dla drgań podłużnych badanego
wibroizolatora z masą dołączoną m = 1,084 kg
Fig. 2. Transmittance diagram (on complex plane) for longitudinal vibration of the examined
vibration mount with additional mass m = 1.084 kg
W celu wyznaczenia na podstawie równań (37) estymat parametrów
badanego wibroizolatora wykorzystano funkcję fsolve środowiska Matlab.
Wyniki obliczeń parametrów porównano z wynikami obliczeń opartymi na
klasycznej przybliżonej metodzie identyfikacji, nie uwzględniającej masy
własnej wibroizolatora [5] (rys. 3  6).
288
Identyfikacja parametrów reologicznych wibroizolatorów gumowych...
14
E [MPa]
E [MPa]
12
10
8
6
4
2
f [Hz]
0
50 100 150 200 250
f [Hz]
Rys. 3. Porównanie wyników identyfikacji modułu E(f) materiału wibroizolatora, uzyskanych za
pomocą przybliżonej metody klasycznej (linia kreskowa) i metody dokładnej uwzględniającej
masę własną mw wibroizolatora; m = 0,73 kg, mw/m = 0,3
Fig. 3. Comparison of identification results of modulus E(f) for the examined vibration mount
material, obtained by means of the approximate classical method (dashed line) and the accurate
method taking vibration mount mass mw into consideration; m = 0.73 kg, mw/m = 0.3
� [-]
� [ ]
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
f [Hz]
0
50 100 150 200 250
f [Hz]
Rys. 4. Porównanie wyników identyfikacji współczynnika strat �(f) materiału wibroizolatora,
uzyskanych za pomocą przybliżonej metody klasycznej (linia kreskowa) i metody dokładnej
uwzględniającej masę własną mw wibroizolatora; m = 0,73 kg, mw/m = 0,3
Fig. 4. Comparison of identification results of the loss factor �(f) for the examined vibration
mount material, obtained by means of the approximate classical method (dashed line) and the
accurate method taking vibration mount mass mw into consideration; m = 0.73 kg, mw/m = 0.3
289
Jacek Kaczmarek, Grzegorz Nicewicz, Zbigniew Idzi
14
E [MPa]
E [MPa]
12
10
8
6
4
2
f [Hz]
0
75 100 125 150 175 200
f [Hz]
Rys. 5. Porównanie wyników identyfikacji modułu E(f) materiału wibroizolatora, uzyskanych za
pomocą przybliżonej metody klasycznej (linia kreskowa) i metody dokładnej uwzględniającej
masę własną mw wibroizolatora; m = 1,084 kg, mw/m = 0,2
Fig. 5. Comparison of identification results of modulus E(f) for the examined vibration mount
material, obtained by means of the approximate classical method (dashed line) and the accurate
method taking vibration mount mass mw into consideration; m = 1.084 kg, mw/m = 0.2
0,18
�� [-]
[ ]
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02 f [Hz]
0
75 100 125 150 175 200
f [Hz]
Rys. 6. Porównanie wyników identyfikacji współczynnika strat �(f) materiału wibroizolatora,
wykonanych za pomocą przybliżonej metody klasycznej (linia kreskowa) i metody dokładnej
uwzględniającej masę własną mw wibroizolatora; m = 1,084 kg, mw/m = 0,2
Fig. 6. Comparison of identification results of loss factor �(f) for the examined vibration mount
material, obtained by means of the approximate classical method (dashed line) and the accurate
method taking vibration mount mass mw into consideration; m = 1.084 kg, mw/m = 0.2
290
Identyfikacja parametrów reologicznych wibroizolatorów gumowych...
Wnioski
1. W artykule przedstawiono metodę identyfikacji parametrów wibroizolatora
pozwalającą, w odróżnieniu od metody klasycznej, uwzględnić wpływ masy
własnej wibroizolatora.
2. Na podstawie przeprowadzonych analiz numerycznych wybranego
wibroizolatora można stwierdzić, że dokładność klasycznej metody
identyfikacji jest zadowalająca z punktu widzenia inżynierskiego, gdy masa
własna wibroizolatora stanowi niewielką część (maksymalnie 10  20%)
masy dodatkowej dołączanej do wibroizolatora.
3. Ogólnie można stwierdzić, że przy wzroście masy własnej wibroizolatora
w stosunku do masy dodatkowej, różnica wartości parametrów
wibroizolatora wyznaczonych za pomocą metody dokładnej i klasycznej
wzrasta. Można powiedzieć, że metoda klasyczna zaniża wartości
identyfikowanych parametrów, przy tym zdecydowanie bardziej wartości
modułu Younga aniżeli współczynnika strat.
Literatura
1. Cempel Cz., Minimalizacja drgań maszyn i ich elementów, Współczesne
zagadnienia dynamiki maszyn. Dynamika maszyn  76. Ossolineum,
Wrocław-Warszawa-Kraków-Gdańsk, 1976.
2. Goliński J.A., Wibroizolacja maszyn i urządzeń, WNT, Warszawa 1979.
3. Jaroszyńska D., Gaczyński R., Felczak B., Metody badań własności
fizycznych gumy, WNT, Warszawa 1978.
4. Kaczmarek J., Zwalczanie drgań i hałasu, WSM, Szczecin 2002.
5. Kaczmarek J., Nicewicz G., Idzi Z., Identyfikacja wybranych własności
reologicznych wibroizolatorów gumowych, Zeszyty Naukowe Akademii
Morskiej w Szczecinie, nr 1(73), Szczecin 2004.
6. Muszyńska A., Vibration Control, Warszawa, wyd. Vibration Control I.
IPPT PAN, 1978.
7. Osiński Z., Teoria drgań, PWN, Warszawa 1980.
8. Pękalak M., Radkowski S., Gumowe elementy sprężyste, PWN, Warszawa
1989.
9. Witek A., Marchelek K., Tomków J., Modelowanie i identyfikacja
parametrów wibroizolatorów stosowanych w izolacji drganiowej maszyn,
Prace Naukowe Politechniki Szczecińskiej nr 8/1992.
10. Woroszył S., Przykłady i zadania z teorii drgań, część druga: Układy ciągłe,
PWN, Warszawa 1984.
291
Jacek Kaczmarek, Grzegorz Nicewicz, Zbigniew Idzi
Wpłynęło do redakcji w lutym 2005 r.
Recenzenci
prof. dr hab. inż. Stanisław Radkowski
dr hab. inż. Cezary Behrendt
Adresy Autorów
dr inż. Jacek Kaczmarek
mgr inż. Grzegorz Nicewicz
Zbigniew Idzi
Akademia Morska w Szczecinie
Instytut Nauk Podstawowych Technicznych
Zakład Mechaniki Technicznej i Rysunku
ul. Wały Chrobrego 1/2, 70-500 Szczecin
292