Prawdopodobieństwo i statystyka 9.10.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Macierz prawdopodobieństw przejścia w pojedynczym kroku dla łańcucha Markowa
X , X1,...X ,... o trzech stanach {1, 2, 3} jest postaci
0 n
1 1 1
Ą# ń#
ó#3 3 3Ą#
ó#1 1 Ą#
ó# 0Ą#
ó#2 2 Ą#
ó#1 0 2Ą#
ó#3 3Ą#
Ł# Ś#
(oczywiście, element pij stojący w i -tym wierszu i j -tej kolumnie tej macierzy
oznacza P(Xn+1 = j | Xn = i) ).
Wtedy lim Cov(Xn, Xn+1) jest równa
n+"
(A) 2,125
(B) 0,125
(C) 0,375
(D) 1,875
(E) 0
1
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.10.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech X1, X2,K, Xn,K będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie jednostajnym na przedziale [1, 2]. Niech N będzie zmienną losowa o
rozkładzie ujemnym dwumianowym
n + 2
�# ś#
P(N = n) = ś# ź# p3(1- p)n dla n = 0,1,2,K,
ś# ź#
n
�# #
niezależną od zmiennych losowych X1, X2,K, Xn,K.
Niech
max(X1, X2,K, X ) gdy N > 0
ż#
N
M =
�#
N
0 gdy N = 0
�#
Obliczyć E(M ).
N
1 1
(A) 2 - 2 p3 - p2 + p
2 2
1 1
(B) 2 - p2 - p
2 2
1 1
(C) 2 + p3 - p2 - p
2 2
1 1
(D) 2 - p3 - p2 - p
2 2
(E) 2 - p2 - p
2
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.10.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Zakładamy, że X1, X2,K, Xn , Y1,Y2,K,Yn są niezależnymi zmiennymi losowymi o
2 2
rozkładach normalnych, przy czym EXi = EYi = ź , VarXi = � , VarYi = 4� dla
2
Ć
i = 1,2,K,n . Parametry ź i � są nieznane. Niech � będzie estymatorem
2
największej wiarogodności parametru � w tym modelu. Wyznaczyć stałą a, tak aby
2 2 2
~
Ć
� = a� był estymatorem nieobciążonym parametru � .
8n
A) a =
8n - 4
(B) a = 1
8n
(C) a =
8n -1
8n
(D) a =
8n - 8
8n
(E) a =
8n - 2
3
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.10.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
W urnie znajduje się razem 76 kul: białych i czarnych. Wylosowano 10 kul, wśród
których było 6 kul białych. Wyznaczyć wartość estymatora największej
wiarogodności liczby kul białych w urnie.
(A) 43
(B) 44
(C) 45
(D) 46
(E) 47
4
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.10.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych,
X
przy czym EX = 4 i EY = 6 . Rozważamy zmienną losową Z = .
X + Y
Wtedy
(A) EZ = 0,4
(B) funkcja gęstości zmiennej losowej Z wyraża się wzorem g(z) = 504z3(1- z)5
dla z " (0,1)
(C) mediana rozkładu zmiennej losowej Z jest równa 0,4
(D) funkcja gęstości zmiennej losowej Z wyraża się wzorem g(z) = 140z3(1- z)3
dla z " (0,1)
(E) mediana rozkładu zmiennej losowej Z jest równa 0,5
5
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.10.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Niech X1, X2,K, X10 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie ciągłym o ściśle rosnącej dystrybuancie F. Hipotezę
H0 : F jest dystrybuantą rozkładu symetrycznego, tzn. takiego że dla każdego x
F(-x) = 1- F(x)
odrzucamy, gdy spełniona jest nierówność
K > 7 lub K < 3
gdzie K jest liczbą elementów w próbie losowej X1, X2,K, X10 o wartościach
większych od 0. Wyznaczyć rozmiar testu.
5
(A)
64
9
(B)
64
7
(C)
64
17
(D)
64
15
(E)
64
6
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.10.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
Zmienne losowe X1, X2,K, X25 są niezależne o jednakowym rozkładzie normalnym
10 25
2 2
N(m,� ) . Niech S10 = Xi i S25 = Xi . Wtedy E(S10 | S25) jest równa
" "
i=1 i =1
2 2
(A) 15� + 0,4S25
2 2
(B) 6� + 0,4S25
2
(C) 0,4S25
2 2
(D) 6� + 0,16S25
2 2
(E) 15� + 0,16S25
7
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.10.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
Pobieramy próbkę niezależnych realizacji zmiennych losowych o rozkładzie Poissona
z wartością oczekiwaną  > 0 . Niestety sposób obserwacji uniemożliwia
odnotowanie realizacji o wartości 0. Pobieranie próbki kończymy w momencie, gdy
liczebność odnotowanych realizacji wynosi n. Tak więc, każda z naszych kolejnych
odnotowanych realizacji K1, K2,K, Kn wynosi co najmniej 1 i nic nie wiemy o tym,
ile w międzyczasie pojawiło się obserwacji o wartości 0. Estymujemy parametr  za
pomocą estymatora postaci
+"
1
Ć
 = ,
"iNi
n
i=2
Ć
gdzie Ni jest liczbą obserwacji o wartości i. Obliczyć wariancję estymatora  .
1
(A) [ - e-(1+ e- - 2)]
n
2
(B)
n
2 -  + 2e
(C)
n(e -1)
2 +  - e-
(D)
n(1- e- )
2 -  + e
(E)
n(e -1)
8
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.10.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
Obserwujemy X1, X2, X3, X4 niezależnych zmiennych losowych o tym samym
rozkładzie Pareto o gęstości
1
ż#
2� �1
�# gdy x > 0
1
f� (x) =
�#
(2 + x)� +1
1
�#
0 gdy x d" 0
�#
i Y1,Y2,K.Y5 niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie Pareto o
gęstości
2
ż#
2� �2
�# gdy x > 0
2
f� (x) =
�#
(2 + x)� +1
2
�#
0 gdy x d" 0
�#
gdzie �1 i �2 są nieznanymi parametrami dodatnimi.
�1
Wszystkie zmienne losowe są niezależne. Testujemy hipotezę H0 : = 1 przy
�2
�1
alternatywie H1 : > 1 za pomocą testu o obszarze krytycznym
�2
ż#�Ć1 �#
K = > tŹ#
�#
�#�Ć2 �#
gdzie �Ć1 i �Ć2 są estymatorami największej wiarogodności odpowiednio parametrów
�1 i �2 wyznaczonymi na podstawie prób losowych X1, X ,K, X i Y1,Y2,K.Y5 .
2 4
Dobrać stałą t tak, aby otrzymać test o rozmiarze 0,05.
(A) t = 6,256
(B) t = 3,347
(C) t = 3,072
(D) t = 5,192
(E) t = 4,184
9
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.10.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
Zakładamy, że X1, X2,K, X12 są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach
2
�
normalnych, przy czym EXi = ź i VarXi = , gdzie parametry ź " R i � > 0 są
i
2 2 2
Ć Ć
nieznane. Budujemy przedział ufności [�1 ,�2] dla parametru � na poziomie ufności
0,9.
12 12
Xi
" "iXi
i=1 i =1
Niech X = i Xw = .
12 78
Dla którego z poniższych przedziałów zachodzi
2 2 2 2
Ć Ć
P(�1 > � )= P(�2 < � )= 0,05 ?
12 12
Ą# 2 2 ń#
- X ) - X )
"(Xi "(Xi
ó# Ą#
i=1 i =1
(A) ó# , Ą#
19,6752 4,5748
ó# Ą#
ó# Ą#
Ł# Ś#
12 12
Ą# 2 2 ń#
- X ) - X )
"i(Xi "i(Xi
ó# Ą#
i=1 i=1
(B) ó# , Ą#
19,6752 4,5748
ó# Ą#
ó# Ą#
Ł# Ś#
12 12
Ą# 2 2 ń#
- X ) - X )
"i(Xi w "i(Xi w
ó# Ą#
i=1 i =1
(C) ó# , Ą#
19,6752 4,5748
ó# Ą#
ó# Ą#
Ł# Ś#
12 12
Ą# i 2 i 2 ń#
(Xi - X )(Xi - Xw)
" w "
ó# Ą#
78 78
i=1 i =1
(D) ó# , Ą#
19,6752 4,5748
ó# Ą#
ó# Ą#
Ł# Ś#
12 12
Ą# 2 2 ń#
- X ) - X )
"(Xi w "(Xi w
ó# Ą#
i=1 i=1
(E) ó# , Ą#
19,6752 4,5748
ó# Ą#
ó# Ą#
Ł# Ś#
10
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.10.2006 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 9 paz
dziernika 2006 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi*
Imię i nazwisko : ........................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ...........................
Pesel ...........................................
Zadanie nr Odpowiedz

Punktacjaf&
1 B
2 D
3 A
4 D
5 C
6 C
7 D
8 E
9 B
10 C
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
f&
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11