WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW  WYKA
AD 13
13.1 Twierdzenie Castigliana
Rozpatrywany jest ustrój sprężysty, spełniający warunki układu Clapeyrona, dowolnie obciążony. Dla przykładu
rozważa się belkę swobodnie podpartą obciążoną statycznie siłami P1, P2 ,..., Pi.... (rys.13.1). Pod ich działaniem ustala
się stan równowagi (I) z przemieszczeniami w1 , w2 ,..., wi.... punktów przyłożenia sił. Jeśli jedna z sił dozna przyrostu
ustali się nowy stan równowagi (II) z przyrostami przemieszczeń dw1 , dw2 ,..., dwi.... . Z twierdzenia Clapeyrona wynika
dV = dL p (13.1)
co oznacza równość przyrostu energii sprężystej i przyrostu pracy sił zewnętrznych.
Rys.13.1 Przyrost przemieszczeń w belce wywołanych przyrostem siły
Dla przyrostu siły Pi będzie
"V
dV = dPi (13.2)
"Pi
Przyrost pracy sił zewnętrznych
dL p = LII -
(13.3)
LI
1 1 1
gdzie L = P w + P w + ... + P w
+ ... , a LII oblicza się posiłkując rysunkiem 13.2
I
2 1 1 2 2 2 2 i i
praca siły dPi
-
1
dP dwi (13.4)
i
2
- praca sił P1, P2 ,..., Pi....
1 P w1 + 1 1
P2 w2 + ... + Pi wi + ... = LI (13.5)
1
2 2 2
- dodatkowa praca siły dPi
dPi wi (13.6)
Razem
1
LII = dPi dwi + LI + dPi wi (13.7)
2
Rys.13.2 Schemat obliczenia pracy LII lub pomijając małe wyższego rzędu LII = LI + dPi wi (13.8)
Ostatecznie i równanie (13.1) można zapisać
dL p = LII - = dPi wi
"V
LI
dPi = dPi wi (13.9)
"Pi
Po uproszczeniu otrzymuje siÄ™
"V
w = (13.10)
i
"Pi
Równanie (13.10) przedstawia twierdzenie Castigliana:
Rzut przemieszczenia punktu zaczepienia siły Pi na kierunek działania tej siły równa się cząstkowej pochodnej
energii sprężystej względem tejże siły Pi.
Dla sił uogólnionych można zapisać
"V
fi = (13.11)
"Fi
"V
przykÅ‚adowo dla kÄ…ta obrotu przekroju bÄ™dzie Õi = .
"M i
Po podstawieniu wzoru na energię sprężystą będzie
l l l
N 2 dx
"V " " M 2 dx " (M 0 ) 2 dx
Ä… Ä…
fi = = " (13.12)
+"Ä… EA + "Fi " +" 2EJ + "Fi " +" 2GK 0
"Fi "Fi 0 2
0 0
lub
0
"NÄ… "M Ä… "M Ä…
0
NÄ… dx M Ä… dx
M Ä… dx
l l
"V l "Fi "Fi "Fi
f = = " + " + " (13.13)
i
+" +" +"
"Fi 0 EA EJ
GK 0
0 0
Przy poszukiwaniu przemieszczenia punktu, gdzie nie jest zaczepiona siła, przykłada się siłę fikcyjną i oblicza
"V
w = (13.14)
" 
Przykład 1
Obliczyć kąt obrotu na podporze A w belce jak na rysunku 13.3.
Rys.13.3 Schemat statyczny belki
1 M
Wartość reakcji podporowej R A = pl -
2 l
1 1 1 x
Równanie momentów M ą = M + R A x - px2 = plx - px 2 + M 1 -
2 2 2 l
"M Ä…
= 1 -
Pochodna czÄ…stkowa
x
"M
l
1 l 1 1
V
" 1 l " M Mx x
Z twierdzenia Castigliana Õ A = = plx -
px 2 + M - 1 - dx
+" M Ä… dx = +"
"M EJ 0 Ä… "M EJ 2 2 l l
0
1
Wartość kÄ…ta obrotu Õ = 1 1
pl 3
+ Ml
A
EJ 24 3
Przykład 2
Obliczyć ugięcie w punkcie B wspornika.
Rys.13.4 Schemat statyczny belki
2
- x
Równanie momentów
M Ä… = -
px
2
"M Ä…
=
Pochodna czÄ…stkowa
" 
-x
px 2
Rzeczywista funkcja momentów [M ą ]  =0 = -
2
Wielkość przemieszczenia określana na podstawie twierdzenia Castiglanan
l l 2
2
"M Ä…
"V 1 1 pl 4
w = = dx = px - x)dx =
(-
+"
B Ä…
+"M
EJ
"  "  EJ 8EJ
 =0

0
=0
0
13.2 Wzór Maxwella-Mohra
W układach Clapeyrona siły przekrojowe są liniowymi funkcjami sił zewnętrznych:
NÄ… = a1F1 + a2 F2 + ... + ai Fi ...
M Ä… = b1F1 + b2 F2 + ... + bi Fi ...
0
M Ä… = c1F1 + c2 F2 + ... + ci Fi ...
Pochodne czÄ…stkowe we wzorze (13.13) wynoszÄ…
0
"NÄ… "M Ä…
"M Ä…
= ci
= ai , = bi ,
"Fi "Fi
"Fi
Jeśli Fi=1 a wszystkie inne siły zewnętrze będą równe zeru to siły przekrojowe będą wynosić
0
NÄ… = ai , M Ä… = bi , M Ä… = ci
(dla odróżnienia, że wywołane są jednostkową siła oznaczono je z nadkreśleniem)
W wzór (13.13) można zapisać w postaci
l l
N N dx Ä… Ä… l M M dx M 0 M 0 dx
Ä…
fi = " + " + " (13.15)
+"Ä… Ä… EA +" +"EJ Ä…
GK 0
0 0 0
Dla odcinkowo zmiennych przekrojów w konstrukcji będzie
l
1 l 1 1 l 0 0
(13.16)
fi = "
Ä… Ä… Ä…
+" N N dx + " EJ +" M M dx + " GK 0 0
+" M M Ä…dx
EA 0 Ä… Ä…
0
Wzory (13.15) i (13.16) nazywane sÄ… wzorami Maxwella-Mohra
l
Wzory Maxwella-Mohra zawierają całki typu
+"ŚŚdx gdzie Ś = Ś(x) a Ś = a + bx wówczas
0
l l l l
+"ŚŚdx = +"(a + bx)Ś(x)dx = a+"Ś(x)dx + b+"Ś(x)xdx
0 0 0 0
l
lecz
+"Åš(x)dx = É (pole)
0
l
Åš
+"Åš(x)xdx = S = Éx0 (moment statyczny pola)
0
l
otrzymuje się więc (13.17)
0
+"ŚŚdx = aÉ + bÉx = É (a + bx0 )
0
l l
Rys.13.5 Graficzna interpretacja całki (13.18)
0
+"ŚŚdx czyli ostatecznie +"ŚŚdx = ÉÅš
0 0
l
Zasada obliczania całki
+"ŚŚdx za pomocą  mnożenia wykresów :
0
Wartość caÅ‚ki otrzymuje siÄ™ mnożąc pole É wykresu Åš przez rzÄ™dnÄ… Åš0 wykresu Åš (prostoliniowego) pod Å›rodkiem
ciężkoÅ›ci pola É wykresu Åš
l
Przypadki szczególne obliczania całki
+"ŚŚdx
0
Rys.13.6 Całka funkcji trapezowej i liniowej
l
AC CD DB
AC
+"ŚŚdx = É Åš0 + ÉCD Åš0 + É DB Åš0
Całki funkcji liniowych
l
I II
0
+"ŚŚdx = É Åš = É I Åš0 + É II Åš0
0
Rys.13.7 Całka funkcji liniowych  sposób 1
l
I II
I
+"ŚŚdx = É Åš0 + É II Åš0
0
Rys.13.8 Całka funkcji liniowych  sposób 2
13.3 Zasada prac wirtualnych dla ciał sprężystych
Rozpatrywany jest ustrój sprężysty obciążony jak na rysunku 13.9
Rys.13.9 Odkształenia ustroju sprężystego pod obciążeniem i oraz j
Praca wirtualna  praca sił rzeczywistych na wirtualnych przemieszczeniach lub praca sił wirtulanych na
rzeczywistych przemieszczeniach.
Okształcenie wirtualne  dowolne odkształcenie ustroju spełnijące warunki ciągłości i warunki brzegowe.
Praca wirtualna sił zewnętrzych Pi na przemieszczeniach stanu j
Lz = Pi wij (13.19)
Praca siÅ‚ wewnÄ™trznych na wirtualnych przemieszczeniach du j , dÕ j , d¸ j
0
dLw = -N i du j - M i dÕ j - M i (13.20)
d¸ j
Dla całego pręta będzie
Lw = - " du j - " dÕ j - " i j (13.21)
i i
+" N +"M +"M 0
d¸
l l l
Lz + Lw = 0
Zasada prac przybierze postać
" Pi wij - " du j - " M i dÕ j - " i M 0 d¸ j (13.22)
i
+" N +" +"
= 0
l l l
Dla sił uogólnionych będzie
" Fi fij - " du j - " M i dÕ j - " i j (13.23)
i
+" N +" +"M 0 d¸
= 0
l l l
- Jeżeli stan j wywołany jest siłami zewnętrznymi to
N j dx M j M 0 dx
dx
j
du j = ; dÕ j = ; d¸ j =
EA EJ
GK 0
l l l 0
N i N j dx M i M j dx M i M 0dx
j
" Fi fij = " + " + " (13.24)
+" +" +" GK 0
EA EJ
0 0 0
- Jeżeli stan j wywołany jest przez równomierny wzrost temperatury o t
du j = µ t tdx ; dÕ j = 0 ; d¸ j = 0
l
" Fi fij
= " µ t tdx (13.25)
i
+" N
0
- Jeżeli stan j wywołany jest nierónomiernym wzrostem temperatury (liniowo zmiennym)
Rys.13.10 Nierównomierny wzrost temperatury
dx 1 µ "tdx
- dx 2 t
du j = 0 ; dÕ j = = ; d¸ j = 0
h h
l l
µ "t
" Fi fij = " tdx + " (13.26)
i t i
+" N µ +"M t h dx
0 0
Rys.13.11 Zmiana temperatury włokien dolnych o górnych
"l , "Õ , "¸ )
- Jeżeli stan j wywołany jest błędami montażowymi (wydłużenie
skrzywienie skręcenie
"l
d¸ j = 0
= 0 ;
du j = dx ; dÕ j
l
l
" Fi
+" = " "+" N i
fij = " N i du j dx (13.27)
l
0
l
l
"Õ
du j = 0 ; dÕ j = dx d¸ j = 0
;
l
l
= " dÕ j = " "Õ M dx
" Fi fij
i
+"M
(13.28)
i
+"
l
l
0
"
= 0 ; = 0 ;
du j dÕ j
¸
d¸ j = dx
l
0
"¸ l
" Fi fij = " d¸ j = " (13.29)
i
+"M +"M 0dx
l 0 i
l
- Jeżeli stan j wywołany jest przemieszczeniami "ij podpór
Lz = " Fi fij + " Ri "ij (13.30)
W przypadku ogólnym będzie
l l l 0 l l l l l
Ni N j dx M i M j dx M i M 0 dx
µ t "t
j
" F f
= " + " + " + " N µ tdx + " M l dx + " + " + " 0 - " "
" "Õ "¸
i ij i t i i i ij
+" +" +" +" +" +" N dx l +"M dx l +"M dx Ri
EA 0 EJ h l 0 i
GK 0 0
0 0 0 0 0
(13.31)
Przyjmując stan j jako stan rzeczywisty a jako stan i stan obciążenia siłą uogólnioną równą 1, zaczepioną w miejscu i
kierunku poszukiwanego przemieszczenia oraz po wprowadzeniu oznaczeń
fij = fi
0 0
N i = NÄ… , M i = M Ä… , M i = M Ä… ,
0
N j = NÄ… , M j = M Ä… , M 0 = M Ä…
j
"ij = "
otrzmuje się uogólniony wzór Maxwella-Mohra
l l l l l l l l
0 0
NÄ… NÄ… dx M Ä… M Ä… dx M Ä… M Ä… dx µ t "l "Õ "¸
0
= " + " + " + " + " + " + " + " - " "
"t
+" +" +" +" +"
fi NÄ… µ t tdx M i dx Ri ij
M Ä… dx NÄ… dx M Ä… dx
+" +" +"
EA EJ l
h l l
GK 0 0
0 0 0 0
0 0 0
(13.32)