Cel i zakres ćwiczenia.

Celem ćwiczenia jest wstępne zapoznanie się z komputerową metodą wytrzymałościowej analizy konstrukcji zwaną Metodą Elementów Skończonych ( MES ) na przykładzie płaskich ustrojów kratowych.

Metoda Elementów Skończonych pozwala rozwiązać zagadnienia rozkładu naprężeń, odkształceń i temperatury w badanej konstrukcji. Uniwersalne programy komputerowe MES ułatwiają analizę statyczną a więc określanie odkształceń i naprężeń w obiektach obciążonych statycznie oraz analizę dynamiczną, czyli wyznaczanie przemieszczeń, prędkości i przyspieszeń.

Metoda Elementów Skończonych polega na:

- podziale badanego obiektu na mniejsze części;

- dokonaniu opisu przebiegu nieznanej wielkości przez każdy z elementów skończonych, zakładając znaną postać rozkładu badanej wielkości w pojedynczym elemencie;

- zbudowaniu macierzowego modelu opisującego przebieg nieznanej wielkości w całym obiekcie.

Ogólne wiadomość o kratownicach.

Ćwiczenie obejmuje zakres podstawowych wiadomości o płaskim stanie naprężeń, a także o układach prętów zachowujących się jak ciało sztywne zwanych kratownicami.

Gdy osie wszystkich prętów leżą w jednej płaszczyźnie wówczas mamy do czynienia z kratownicą płaską. Do rozwiązania kratownic płaskich zakładamy takie uproszczenia, aby w przekrojach prętów występowały naprężenia normalne ( siły ściskające i rozciągające ).

Pręty łączone są węzłem. Środek ciężkości węzła jest punktem przecięcia osi wszystkich prętów. Takie połączenie zapewnia wprowadzenie siły w cały przekrój pręta.

Kratownica musi być statycznie wyznaczalna zewnętrznie i wewnętrznie. Aby warunek na statyczną wyznaczalność zewnętrzną był spełniony liczba zewnętrznych podpór kratownicy nie może przekraczać trzech. Warunek na statyczną wyznaczalność wewnętrzną:

p=2w-3

gdzie: p. - liczba prętów ( sił w prętach ),

w - liczba węzłów,

Jeżeli p>2w-3 kratownica jest przesztywniona i statycznie niewyznaczalna.

Jeżeli p<2w-3 kratownica jest układem sztywnym i staje się mechanizmem.

Rozwiązywanie kratownic płaskich metodą elementów skończonych

Kratownice płaskie można rozwiązać metodą elementów skończonych. Prostą wersją programu bazującego na metodzie elementów skończonych jest program DMES. Pozwala on przeanalizować wiele wariantów danej konstrukcji. Praca konstruktora ogranicza się do narysowania modelu kratownicy i wprowadzenia danych. Istnieje możliwość podglądu struktury odkształconej oraz sprawdzenia wykresów sił i naprężeń w prętach. Program posiada funkcje ułatwiające zmianę wprowadzonych danych i modyfikację modelu. Moduł tekstowy pozwala na szybkie przeglądanie wyników w postaci liczbowej, ich selekcję oraz drukowanie wybranych wyników na drukarce.

Rozwiązywanie kratownicy płaskiej analityczną metodą równoważenia węzłów

Metodą analityczną wyznaczamy jedynie kratownice statycznie wyznaczalne. Metoda polega na wyznaczeniu reakcji podpór za pomocą trzech równań równowagi i rozpatrzeniu równowagi węzłów. Po wyznaczeniu sił we wszystkich prętach kratownicy sprawdzamy warunki dopuszczalnych naprężeń. W prętach rozciąganych

σ=S/A<=kr

gdzie: σ - naprężenia rozciągające,

S - siła,

A - przekrój pręta,

kr - dopuszczalne naprężenia rozciągające.

W prętach ściskanych może nastąpić wyboczenie jeżeli zostanie osiągnięte naprężenie krytyczne σ_kr

σ<σ_kr=P_kr/A

gdzie : P_kr - siła krytyczna,

σ - naprężenia ściskające.

Aby określić deformację kratownicy należy wyznaczyć odkształcenie sprężyste

ΔL=SL/EA

gdzie : L - długość pręta, E - moduł Younga..

Przebieg ćwiczenia

P_y4=6000N

R_X5=-3000N 5 4 4 P_X4=3000N

S₄ S₄

S₅ S₆ S₇ S₃

5 6 7 3

S₅

S₆ S₇ S₃

S₁ S₁ S₂ S₂

1 1 2 2 3

R_Y1=-3000N P_Y3=-3000N

W ćwiczeniu będzie przeanalizowana następująca kratownica płaska o parametrach:

materiał - stal St1

dopuszczalne naprężenie rozciągające: kr = 106 * E 6 [ N / m²]

moduł Younga: E = 2.1 * E 11 [ N / m²]

pole przekroju: F = 1 * E -4[ m²]

długość prętów 3,6=0.56 m.=a

długość prętów 1,2,4,5,7=0.4 m.=b

granica plastyczności: Re = 220 * E 6 [ N / m²]

Analiza i rozwiązanie zadanej kratownicy.

Zanim przystąpi się do rozwiązywania kratownicy, należy sprawdzić, czy jest ona statycznie wyznaczalna. Jest to warunek konieczny rozwiązania kratownicy płaskiej.

Zatem: p = 2w - 3;

Gdzie: p=7; w=5

7=2*5 - 3

Z obliczenia wynika liczba niewiadomych jest równa liczbie równań równowagi statycznej (kratownica jest statycznie wyznaczalna ) i można przystąpić do dalszych obliczeń.

Kolejnym krokiem jest wyznaczenie reakcji występujących w podporach ( korzystając z warunku równowagi sił i momentów w dowolnym układzie płaskim ). Rozkład reakcji przedstawiony jest na poniższym rysunku.

P_iX = P_X4 - R_X5 + P_X3 - R_X1 =0

P_iY = P_Y4 - R_Y1 - P_Y3 =0 ** R_Y1 = P_Y1- P_Y3 => R_Y1 = 3000 [N]

M_i1 = R_X5 * l + P_Y4 * l - P_X4 * l - P_Y3 * 2l = 0 ** R_X5 * 0,4 + P_Y4 * 0,4 - P_X4 * 0,4 - P_Y3 * 2*0,4 = 0

** R_X5= 3000[N]

Następną czynnością jest obliczenie sił działających w poszczególnych prętach ( korzystając z zasady równowagi sił )

- dla pręta nr 2 i 3 ( węzeł 3 )

Pix = S₂+ S₃ ^. cos 45^o = 0

Piy = S₃ ^. sin 45^o - P_Y3 = 0 => S₃=3000/ sin 45^o= 4242,64[N]

S₂=-3000[N]

- dla pręta nr 1 , 2 i 7 ( węzeł 2 )

Pix = S₂ -S₁ = 0 => S₂ = S₁ => S₁ = -3000

Piy = S₇ = 0 S₇=0

- dla pręta nr. 1,5 i 6 (węzeł 1 )

Pix = S₁ + S₆ *sin45 ^o =0 => S₁= -3000[N]

Piy = S₅ + S₆ *cos45 ^o - R_Y1 =0 => S₅=0

• dla pręta nr 4, 5 ( węzeł 5 )

Pix = S₄ -R_X5= 0 ** S₄=3000[N]

Piy = - S₅ = 0 ** S₅=0[N]

- dla pręta nr. 3, 4, 6 i 7 (węzeł D )

Pix =P_X4 + S₃ ^. cos 45^o- S₆ ^. cos 45^o - S₄ = 0 ** S₆=4242,64[N]

Piy = P_Y4 -S₃ ^. cos 45^o- S₆ ^. cos 45^o- S₇ = 0 ** S₇=0[N]

Siły działające osiowo w prętach:

Nr pręta	1	2	3	4	5	6	7
Siła [N]	-3000	-3000	4242,64	3000	0	4242,64	0

Następnie należy obliczyć naprężenia osiowe w poszczególnych prętach.

Dla prętów rozciąganych ( pręty nr 1,2,3 ,4 i 6 ) trzeba skorzystać z następującej zależności :

gdzie σ - oznacza naprężenie osiowe działające w pręcie

P - siła osiowa działająca w pręcie

F - pole przekroju pręta

σ₁ = 3000 / 1*10 ^-4 = 3000*10 ⁴ [N / m²]

σ₂ = 3000 / 1*10 ^-4 = 3000*10 ⁴ [N / m²]

σ₃ = 4242,64 / 1*10 ^-4 = 4242*10 ⁴ [N / m²]

σ₄ = 3000 / 1*10 ^-4 = 3000*10 ⁴ [N / m²]

σ₆ = 4242,64 / 1*10^-4=4242*10⁴ [N/m²]

W analizowanej kratownicy 1 i 2 pręt jest ściskany, a w pozostałych prętach naprężenia są równe zero .

Naprężenia osiowe działające w prętach:

Nr pręta	1	2	3	4	5	6	7
Naprężenia [N/m^2]	3000*10^4	3000*10^4	4242*10^4	3000*10^4	0	4242*10^4	0

Należy sprawdzić, czy naprężenia osiowe w prętach rozciąganych nie przekraczają dopuszczalnych naprężeń rozciągających: k_r = 100 ^. 10 ⁶ =10000 ^. 10 ⁴ [N / m²]

σ₄< k_r

σ₆< k_r

σ₃ < k_r

σ₁ < k_c

σ₂ < k_c

W przypadku prętów ściskanych może wystąpić zjawisko wyboczenia. Dla prętów smukłych naprężenia dopuszczalne ze względu na wyboczenia są zwykle mniejsze niż dopuszczalne naprężenia na ściskanie k_c. W takich przypadkach wyznacza się siłę krytyczną, która może spowodować wyboczenie pręta idealnie prostego. Siłę krytyczną można obliczyć ze wzoru Eulera:

P_kr = π ²* E * J / l ² = π ²* E * J / 0,4 ² =1,72/0,16 = 10,8

Gdzie: E - moduł Younga

J = 8.33 * 10^-13 - moment bezwładności przekroju względem osi prostopadłej do płaszczyzny wy boczenia

l - długość pręta

Naprężenie krytyczne określone są:

σ_kr = P_kr / A [ N / m²]

σ_kr = 10,8 / 1* 10 ^-4 = 10,8*10 ⁴ [ N / m²]

Warunkiem bezpieczeństwa jest, aby naprężenia ściskające w pręcie były mniejsze od krytycznych:

σ < σ_kr

Warunek wytrzymałościowy dla tego pręta jest spełniony bo naprężenia rozciągające nie przekraczają naprężeń dopuszczalnych

Odkształcenia sprężyste pręta kratownicy obciążonego siłą zgodnie z prawem Hooke'a wynosi:

ΔL=SL/EA

Wyniki uzyskane z programu MES przedstawiają tabelki.

Przemieszczenia

Numer węzła	Przypadek obciążenia	Przesunięcia			Obroty
				Ux	UY	Uz	θx	θx	θz
1	1	0	0	0	0	0	0
2	1	-5,71429E-0,5	1,04482E-04	0	0	0	0
3	1	-1,14286E-04	-2,28571E-04	0	0	0	0
4	1	5,71429E-05	1,04482E-04	0	0	0	0
5	1	0	0	0	0	0	0

Elementy prętowe

Nr elementu	Przypadek obciążenia	Siła osiowa	Naprężenie osiowe
1	1	-3,00000E+03	-3,00000E+07
2	1	-3,00000E+03	-3,00000E+07
3	1	4,24264E+03	4,24264E+07
4	1	3,00000E+03	3,00000E+07
5	1	0	0
6	1	4,24264E+03	4,24264E+07
7	1	8,92910E-05	8,92910E-01

Szkic zdeformowanej struktury kratownicy i sił w pręta

P_y=6000N

R_X5=-3000N

P_X=3000N

R_Y1=-3000N

P_Y3=-3000N

Wnioski.

Zadana kratownica jest statycznie wyznaczalna. W przypadku większej ilości prętów konstrukcja była by przesztywniona, w przeciwnym przypadku stała by się mechanizmem. W kratownicy występują tylko siły rozciągające, kratownica ulegnie deformacji. Wyniki, które otrzymaliśmy nie są zgodne z wynikami uzyskanymi w programie MES. Przyczyną tego jest błędy w rozwiązywaniu analityczną metodą równoważenia węzłów.

---