w2i3, Charakterystyki liczbowe rozkładów empirycznych


Charakterystyki liczbowe rozkładów empirycznych

Wśród charakterystyk liczbowych wyróżnić można cztery zasadnicze grupy miar:

Miary położenia:

średnia arytmetyczna

średnia arytmetyczna dla szeregu szczegółowego (uporządkowanego lub nieuporządkowanego)

0x01 graphic
(1)

gdzie:

0x01 graphic
- średnia arytmetyczna zmiennej X,

N - liczebność jednostek ststystycznych badanej zbiorowości 0x01 graphic
- i - ta realizacja badanej zmiennej, przy czym i = 1,2,3,...,N.

Przykład 1

Student X w ciągu semestru otrzymał ze studiowanych przedmiotów następujące oceny:

przedmiot

i

ocena

xi

1

2

2

2

3

3

4

3,5

5

3,5

6

3,5

7

4

8

4

9

4,5

10

5

1. Wyznaczyć średnią z ocen studenta X

  1. z szeregu szczegółowego,

  2. z szeregu rozdzielczego punktowego

2. Określić ocenę najczęstszą i wartość środkową szeregu

Rozwiązanie:

0x01 graphic

Średnia ocena studenta wynosi 3,5.

Średnia arytmetyczna z szeregu rozdzielczego punktowego:

0x01 graphic
(2)

gdzie fj jest liczebością, z jaką występowała j - ta wartość zmiennej X. Średnią arytmetyczną można również obliczyć wykorzystując częstości względne (vj).

Możemy tego dokonać transformując powyższy wzór do postaci:

0x01 graphic
(3)

gdzie

vj jest częstością względną występowania j- tej wartości zmiennej X

ocena

xi

liczebność

fi

xifi

częstość względna

vj

xjvj

2

2

4

0,2

0,4

3

1

3

0,1

0,3

3,5

3

10,5

0,3

1,05

4

2

8

0,2

0,8

4,5

1

4,5

0,1

0,45

5

1

5

0,1

0,5

suma

10

35

1,00

3,5

0x01 graphic
lub 0x01 graphic

Inne miary położenia

Mediana (miara środkowa)

Wyznaczanie mediany z szeregu szczegółowego:

Szereg musi być uporządkowany (szereg pozycyjny)!!!

0x01 graphic

przedmiot

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ocena xi

2

2

3

3,5

3,5

3,5

4

4

4,5

5

Ponieważ N = 10 jest liczbą parzystą, dlatego mediana jest średnią arytmetyczną z wartości x5 i x6 czyli:

0x01 graphic
.

Połowa z ocen jest mniejsza od 3,5, a druga połowa większa od 3,5.

Modalna (wartość najczęstsza)

Jest to wartość występująca w szeregu statystycznym najczęściej (wartość, dla której liczebność (fj) jest największa).

xmo = 3,5. (Najczęściej student otrzymywał ocenę 3,5.

Miary położenia wyznaczane z szeregów rozdzielczych przedziałowych.

Przykład 2

W celu zbadania jak kształtuje się średnie zużycie energii elektrycznej w 100 gospodarstwach domowych pewnego obszaru zebrano dane liczbowe, które zestawiono w poniższym szeregu.

dzienne zużycie energii w Kw.

( xd.i - xg.i ]

liczba gospodarstw fj

2-4

6

4-6

10

6-8

30

8-10

40

10-12

10

12-14

4

suma

100

Źródło: K.Zając; Wykłady ze statystyki, Kraków 1985, s. 84

Wyznaczyć i zinterpretować średnią arytmetyczną, medianę i modalną

Średnia arytmetyczna z szeregu rozdzielczego przedziałowego:

0x01 graphic
(4)

gdzie

0x01 graphic
jest środkiem j - tego przedziału klasowego obliczonego zgodnie z regułą

0x01 graphic
, (5)

Średnią arytmetyczną można również obliczyć, korzystając z częstości względnych (vj):

0x01 graphic
(6)

Obliczenia:

dzienne zużycie energii w Kw.

( xd.i - xg.i ]

liczba gospodarstw fj

środek przedziału

xo

xofi

vj

xovj

2-4

6

3

18

0,06

0,18

4-6

10

5

50

0,1

0,5

6-8

30

7

210

0,3

2,1

8-10

40

9

360

0,4

3,6

10-12

10

11

110

0,1

1,1

12-14

4

13

52

0,04

0,52

suma

100

xxx

800

1,00

8

0x01 graphic
lub 0x01 graphic

Średnie dzienne zużycie energii w badanej grupie 100 gospodarstw rodzinnych wynosi 8 Kwh.

Mediana:

W szeregu tym należy wskazać przedział w którym znajduje się mediana. Przedział ten, to pierwszy przedział klasowy dla którego suma liczebności skumulowanych jest większa od 0x01 graphic
.

W drugim kroku postępowania wartość mediany wyznacza się stosując wzór:

0x01 graphic
(7)

xd,r - dolna granica przedziału, w którym znajduje się mediana,

fr -liczebność przedziału, w którym znajduje się mediana,

­l - długość przedziału, w którym znajduje się mediana,

0x01 graphic
- suma liczebności przedziałów poprzedzających przedział, w którym znajduje się mediana,

Modalna:

W pierwszym kroku określamy przedział, w którym znajduje się modalna. Jest to przedział klasowy, do którego zaliczono najwięcej obserwacji empirycznych. Następnie wyznaczamy wartość xmo :

0x01 graphic
(8)

gdzie:

xd,r - dolna granica przedziału, w którym znajduje się modalna,

fr -liczebność przedziału, w którym znajduje się modalna,

fr-1 -liczebność przedziału poprzedzającego przedział, w którym znajduje się modalna,

fr+1 -liczebność przedziału następującego po przedziale, w którym znajduje się modalna,

­l - długość przedziału, w którym znajduje się modalna.

Po podstawieniu wartości otrzymamy:

Obliczenia:

dzienne zużycie energii w Kw.

( xd.i - xg.i ]

liczba gospodarstw fj

0x08 graphic
fjskum

2-4

6

6

0x08 graphic
4-6

10

16

6-8

30

46

8-10

40

86

10-12

10

96

12-14

4

100

suma

100

XXX

N/2=50

0x01 graphic

Połowa spośród badanych rodzin zużywa mniej niż 8,2Kwh energii, a połowa więcej niż 8,2 Kwh.

0x01 graphic

Najwięcej obserwacji kumulowało się wokół zużycia 8,5 Kwh.

Graficzne wyznaczanie mediany

0x01 graphic

Graficzne wyznaczanie modalnej

0x01 graphic

Miary zmienności

Wariancja (0x01 graphic
) i odchylenie standardowe (0x01 graphic
).

Wariancja i odchylenie standardowe z szeregu szczegółowego:

0x01 graphic
, (9)

0x01 graphic
(10)

Przykład

Obliczyć i zinterpretować wariancję i odchylenie standardowe dla danych z przykładu 1

przedmiot

i

ocena

xi

0x01 graphic

0x01 graphic

1

2

-1,5

2,25

2

2

-1,5

2,25

3

3

-0,5

0,25

4

3,5

0

0

5

3,5

0

0

6

3,5

0

0

7

4

0,5

0,25

8

4

0,5

0,25

9

4,5

1

1

10

5

1,5

2,25

suma

100

0,0

8,5

0x01 graphic

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic

Oceny otrzymane przez studenta w ciągu semestru odchylają się przeciętnie od oceny średniej o 0x01 graphic
.

Wariancja i odchylenie standardowe z szeregu rozdzielczego punktowego:

0x01 graphic
, (11)

lub

0x01 graphic
(12)

Obliczyć wariancję i odchylenie standardowe na podstawie szeregu rozdzielczego punktowego z przykładu 1.

0x01 graphic

ocena

xi

liczebność

fi

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

częstość względna

vj

0x01 graphic

2

2

-1,5

2,25

4,5

0,2

0,45

3

1

-0,5

0,25

0,25

0,1

0,025

3,5

3

0

0

0

0,3

0

4

2

0,5

0,25

0,5

0,2

0,05

4,5

1

1

1

1

0,1

0,1

5

1

1,5

2,25

2,25

0,1

0,225

suma

10

XXX

XXX

8,5

1,00

0,85

0x01 graphic
=> 0x01 graphic

lub

0x01 graphic
.

Wariancja i odchylenie standardowe z szeregu rozdzielczego przedziałowego:

0x01 graphic
(13)

lub

0x01 graphic
(14)

Wyznaczyć wariancję i odchylenie standardowe z danych z przykładu 2.

Obliczenia:

dzienne zużycie energii w Kw.

( xd.i - xg.i ]

liczba gospodarstw fj

środek przedziału

xo

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

vj

0x01 graphic
j

2-4

6

3

-5

25

150

0,06

1,5

4-6

10

5

-3

9

90

0,1

0,9

6-8

30

7

-1

1

30

0,3

0,3

8-10

40

9

1

1

40

0,4

0,4

10-12

10

11

3

9

90

0,1

0,9

12-14

4

13

5

25

100

0,04

1

suma

100

XXX

XXX

XXX

500

1,00

5

0x01 graphic

0x01 graphic
lub 0x01 graphic
=> 0x01 graphic

Zużycie energii elektrycznej w badanych 100 gospodarstwach domowych odchylało się przeciętnie od zużycia średniego o 0x01 graphic
2,236 Kwh.

Miary asymetrii

0x08 graphic
0x01 graphic

Współczynnika asymetrii

0x01 graphic
(15).

Jeżeli 0x01 graphic
, to rozkład jest symetryczny.

Gdy 0x01 graphic
, to rozkład jest asymetryczny prawostronnie.

Gdy 0x01 graphic
, to rozkład jest asymetryczny lewostronnie.

Zbadać asymetrię rozkładu zużycia energii.

0x01 graphic

Rozkład charakteryzuje się umiarkowaną asymetrią lewostronną.

Miary koncentracji (kurtoza)

Do badania natężenia koncentracji (skupienia) poszczególnych obserwacji wokół średniej wykorzystuje się moment centralny rzędu czwartego (0x01 graphic
) lub współczynnik koncentacji będący stosunkiem tegoż momentu do odchylenia standardowego podniesionego do potęgi czwartej. Wspólczynnik koncentracji (Kx) można zapisać:

0x01 graphic
. (16)

gdzie

0x01 graphic
, dla szeregu szczegółowego,

lub

0x01 graphic
, dla szeregu rozdzielczego punktowego,

lub

0x01 graphic
, dla szeregu rozdzielczego przedziałowego.

Jeżeli 0x01 graphic
, to krzywa liczebności jest zbliżona do krzywej tzw. rozkładu normalnego.

Jeżeli 0x01 graphic
, to badany rozkład zmiennej jest bardziej wysmukły niż rozkład normalny (rozkład leptokurtyczny).

W przypadku, gdy 0x01 graphic
, to rozkład jest spłaszczony w stosunku do normalnego (rozkład platokurtyczny).

Poniższy rysunek przedstawia szkic krzywej rozkładu normalnego. 0x08 graphic
0x01 graphic

Krzywa rozkładu normalnego

Zbadać kurtozę rozkładu zużycia energii.

Obliczenia:

dzienne zużycie energii w Kw.

( xd.i - xg.i ]

liczba gospodarstw fj

środek przedziału

xo

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

2-4

6

3

-5

625

3750

4-6

10

5

-3

81

810

6-8

30

7

-1

1

30

8-10

40

9

1

1

40

10-12

10

11

3

81

810

12-14

4

13

5

625

2500

suma

100

XXX

XXX

XXX

7940

0x01 graphic
; 0x01 graphic
;

0x01 graphic
=> 0x01 graphic

Badany rozkład zużycia energii jest leptokurtyczny (bardziej wysmukły niż rozkład normalny.

13

przedział w którym jest mediana

i modalna

fj

99,73%

95,45%

68,26%

-3S - 2S -S 0x01 graphic
+S +2S +3S xj

Rozkład asymetryczny lewostronnie

Rozkład asymetryczny prawostronnie

xj

fj

0x01 graphic

xj

fj

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

xj

fj

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Rozkład symetryczny



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2.Charakterystyki liczbowe, licencjat(1)
Tabelki ze wzorami, CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE PRÓBY
rozkład empiryczny itp., statystyka matematyczna(1)
4 statystyka opisowa rozkładu empirycznego
2 rozklady empiryczne
MPiS30 W06d Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Kopia rozklady empiryczne dla stud
1 Omówić najczęściej wykorzystywane parametry charakterystyki liczbowej struktury zbiorowości
5 PPOO Empiryczny rozkład prawdopodobieństwa(1)
8 Wazniejsze rozklady i ich charakterystyki
semestr VI, fundament sciaga, CUD jest znakiem empirycznym o charakterze nadzwyczajnym, który Bóg na
Szcześniak, mechanika gruntów L, parametry geotechniczne liczbowe charakterystyki?ch fizycznych grun
dane liczbowe charakteryzujące stan bezpieczeństwa pracy w Polsce
Statystyczny charakter rozpadu promieniotwórczego rozkład Poissona (2)
Statyczny charakter rozpadu promieniotwórczego. Rozkład Gaussa i Poissona, Pollub MiBM, fizyka spraw
Rozkład doświadczalny 1, MIBM WIP PW, fizyka 2, laborki fiza(2), 50-Charakterystyka licznika Geigera
charakterystyka rozkladow
04 Wykład 4 Charakterystyka rozkładu normalnegoid 4819

więcej podobnych podstron