UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO - PRZYRODNICZY

w BYDGOSZCZY

Wydział Telekomunikacji i Elektrotechniki

Zakład Podstaw Elektrotechniki

Elektrotechnika Teoretyczna II

Semestr V, rok akademicki 2007/2008

TEMAT: Badanie rozkładu temperatur w przewodniku wykonanym ze srebra za pomocą programu EMRC/NISA- Heat transfer.

Wykonali: Prowadzący:

Janowski Łukasz prof. dr hab. inż. Andrzej Jordan

Niewiadomy Mariusz

Zając Piotr

BYDGOSZCZ 2008

1. Wstęp:

Metody numeryczne - metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane tą drogą wyniki są na ogół przybliżone, jednak dokładność obliczeń może być z góry określona i dobiera się ją zależnie od potrzeb.

Metody numeryczne wykorzystywane są wówczas gdy badany problem nie ma w ogóle rozwiązania analitycznego (danego wzorami), lub korzystanie z takich rozwiązań jest uciążliwe ze względu na ich złożoność.

W szczególności dotyczy to:

• całkowania

• znajdowania miejsc zerowych wielomianów stopnia większego niż 2 (korzystanie ze wzorów na pierwiastki równań stopnia 3 i stopnia 4 jest niepraktyczne, dla równań stopnia wyższego niż 4 wzorów już nie ma)

• rozwiązywania układów równań liniowych w przypadku większej liczby równań i niewiadomych

• rozwiązywania równań różniczkowych i układów takich równań

• znajdowania wartości i wektorów własnych (zob. równanie własne)

• aproksymacji, czyli przybliżaniu nieznanych funkcji (np. pomiarów zjawisk fizycznych)

Niektóre metody numeryczne to:

• Interpolacja liniowa

• Interpolacja wielomianowa

• FFT

• metoda Monte Carlo

• metody Newtona-Cotesa

• wzór parabol Simpsona

• wzór trapezów

• metoda równego podziału

• Kwadratury Gaussa

2. Opis programu:

DISPLAY III/IV, potężny pre i post-procesor grafiki interakcyjnej, tworzy złożone skończone elementy modelujące, analizuje i przedstawia wyniki.

Od jego wprowadzenia w 1974 roku, DISPLAY był ciągle rozwijany, by podbić ostatnie postępy w grafice komputerowej.

DISPLAY III/IV jest wymagany podczas używania jakiegokolwiek modułu analizy w rodzinie programów NISA.

DISPLAY IV jest nową wersją popularnego DISPLAY III Pre- Post procesora i jest przeznaczony dla WINDOWS NT, 2000 i XP. DISPLAY IV może być używany dla programowania w środowisku 32Bit Windows. Utrzymuje wszystkie cechy i odporność na błędy DISPLAY III.

Z DISPLAY IV, trójwymiarowa grafika została podniesiona do wyższego poziomu używającego zdolności Open GL, która podnosi dynamiczny podgląd, zacieniając, rozjaśniając lub ożywiając. Wszechstronna pomoc jest sprzężona z OS (System Operacyjnym), obejmuje wszystkie obiekty interfejsu użytkownika.

Pre-processing

* Automatyczne i odwzorowane sieci dla 2D, trójwymiarowych geometrii, używające skorup, powłok i ciał stałych.

* Doskonały interfejs CAD, bezpośredni albo przez IGES.

* Obszerne możliwości kompletnego trójwymiarowego modelowania geometrii używające linii, łuków, powierzchni, ciał stałych.

* wszechstronny zestaw narzędzi do rysowania.

* Pomoc Online i przyjazne dla użytkownika środowisko.

* Możliwości modelowania brył.

* Obszerne Makra dla parametrycznego modelowania i polecenia do bazy danych.

* Znakomity interfejs obsługiwany w 100% przy pomocy myszy.

* Obszerny sprawdzanie modelu możliwości: Graniczna kontrola {zatrzymanie, czek} indeks spaczenia , normalna kontrola {zatrzymanie, czek} i podwójna kontrola {zatrzymanie, czek} elementu.

* Specjalny pre- i post-processing do złóżonych zadań.

* Wielka baza danych AISC i CISC.

Post-processing

Formy oparte na post-processingu w DISPLAY III/IV eliminują przypuszczenia przez pokazywanie wszystkich logicznych wyborów. Wyniki z rodziny programów NISA mogą być graficznie pokazane używając następujących obszernych kategorii:

* Kontury

* Deformacje

* Ożywienie (animacja)

* Dane historii

* Wykresy

Moduł graficzny może być przystosowany do używania wyboru kolorów, liczbę zespołów, granic odcięcia, ciągłych konturów koloru, rozmieszczenia legend, wielorakich obszarów, itd. Program posiada nie kończące się możliwości, ograniczone tylko przez wyobraźnię użytkownika.

DISPLAY III/IV oferuje obszerne cechy dla interpretacji wynikówi i złożonych elementów, włączając sprawdzający kod AISC. Program pozwala też na interaktywne badanie wyników i przygotowywanie tabel i raportów.

3. Warunki brzegowe

Obliczenie pola temperatury za pomocą równania Fouriera-Kirchhoff a jest możliwe, jeżeli znane są warunki początkowe i brzegowe. Warunki po­czątkowe określają początkowy rozkład temperatury w rozpatrywanym ciele. Muszą one być znane przy rozwiązywaniu zagadnień nieustalonego przepływu ciepła. Warunki brzegowe informują o wielkościach determinujących przepływ ciepła na powierzchni ciała. Mogą wystąpić 3 rodzaje warunków brzegowych:

I. Dany jest rozkład temperatury na powierzchni ciała.

II. Dany jest rozkład strumieni ciepła na powierzchni ciała

gdzie: - składowa gradientu temperatury w ciele stałym w kierunku zewnętrznej normalnej do jego powierzchni, q_s - strumień ciepła dopływa­jący do powierzchni.

3. Dana jest temperatura T_d strugi płynu omywającej powierzchnię i współczynnik a wnikania ciepła

Jeżeli przy powierzchni ciała występuje konwekcja, to zwykle wykorzys­tuje się warunek brzegowy trzeciego rodzaju. Przy bardzo intensywnej kon­wekcji (tj. bardzo dużym a) warunek ten przechodzi w warunek pierwszego rodzaju. Warunek brzegowy drugiego rodzaju występuje, jeżeli dominuje prze­pływ ciepła przez promieniowanie lub występuje reakcja chemiczna na po­wierzchni ciała, albo przemiana fazowa tego ciała, a ponadto na powierzchni adiabatycznej (np. w płaszczyźnie symetrii).

4. Równanie przewodnictwa cieplnego

gdzie:

- dyfuzyjność

λ - przewodność cieplna

δ - gęstość materiału

C - ciepło właściwe

g - wydajność przestrzenna źródeł ciepła

T - temperatura [^oC]

W przestrzeni 2D równanie przewodnictwa cieplnego przyjmuje postać:

5. Metoda Elementów Skończonych:

Element skończony jest podobszarem podzielonej przestrzeni. Jego wymiar jest skończony. Najważniejszą cechą metody elementów skończonych (MES) jest możliwość zastąpienia problemu analitycznego, zapisywanego za pomocą równań różniczkowych, problemem algebraicznym. Zabieg ten znacznie upraszcza postępowanie prowadzące do rozwiązania problemu, a w wielu przypadkach, szczególnie w zastosowaniach rzeczywistych problemów inżynierskich, umożliwia w ogóle znalezienie satysfakcjonujących wyników. Rozwój MES przebiegał równolegle z rozwojem techniki komputerowej. Pierwsze prace stosujące MES zostały opublikowane w latach czterdziestych obecnego wieku. Na początku obliczenia dotyczyły obiektów o bardzo prostych geometriach, np. jednowymiarowych i stałych własnościach materiałowych oraz zjawisk opisanych liniowymi równaniami różniczkowymi. W latach siedemdziesiąty MES zaczęto stosować do rozwiązywania problemów nieliniowych, ale dalej dla obiektów o stosunkowo prostych geometriach, modelowanych jako jedno lub dwuwymiarowe. Rozwój techniki komputerowej w latach osiemdziesiątych, związany z coraz większą mocą obliczeniową komputerów oraz możliwością operowania i przechowywania bardzo dużych zbiorów informacji, umożliwił zastosowanie MES do obliczeń problemów nieliniowych dla obiektów o dowolnie złożonych geometriach, szczególnie trójwymiarowej. Książka O.C. Zienkiewicza pt. Metoda elementów skończonych spowodowała popularyzację MES, o czym świadczyć przetłumaczenie jej na wiele języków, w tym polski. Rozwiązanie problemu za pomocą metody elementów skończonych można podzielić na następujące etapy:

1. Podział przestrzeni na skończoną liczbę podobszarów o nieskomplikowanej geometrii.

2. Wybór szczególnych punktów w tych elementach. Punkty te nazywamy węzłami.

3. Obranie pewnych funkcji jednoznacznie określających rozkład analizowanej wielkości fizycznej wewnątrz elementów skończonych, w zależności od wartości tych wielkości fizycznych w węzłach. Funkcje te noszą nazwę funkcji węzłowych lub funkcji kształtu.

4. Przekształcenie, poprzez tzw. Funkcje wagowe, równań różniczkowych opisujących badane zjawisko, do równań metody elementów skończonych. Są to równania algebraiczne.

5. Obliczenie wartości współczynników stojących przy niewiadomych oraz odpowiadające im wartości prawych stron, na podstawie równań MES. Jeżeli rozwiązywane zadanie jest niestacjonarne, to w obliczaniu wartości prawych stron wykorzystuje się dodatkowo warunki początkowe. Liczba równań w układzie jest równa liczbie węzłów przemnożonych przez liczbę niewiadomych występujących w pojedynczym węźle.

6. Wprowadzenie do utworzonego układu równań warunków brzegowych. Następuje to poprzez wykonanie odpowiednich modyfikacji macierzy współczynników układu równań oraz wektora prawych stron.

7. Rozwiązanie układów równań i otrzymanie wartości poszukiwanych wielkości fizycznych w węzłach.

8. Obliczanie dodatkowych wielkości, w zależności od typu rozwiązywanego problemu.

9. Jeśli zadanie jest niestacjonarne, to opisane w pkt. 5, 6, 7 i 8 czynności powtarza się aż do momentu spełnienia warunku zakończenia obliczeń. Może to być np. określona wartość wielkości fizycznej w którymś z węzłów, czas przebiegu zjawiska lub jakiś inny parametr.

Programy komputerowe, w których stosowana jest metoda elementów skończonych składają się natomiast z trzech zasadniczych części:

1. preprocesora, w którym budowane jest zadanie do rozwiązania,
2. procesora, czyli części obliczeniowej,
3. postprocesora, służącego do graficznej prezentacji uzyskanych wyników.

Dla użytkowników tych programów najbardziej pracochłonnym i czasochłonnym etapem rozwiązywania zadania jest podział na elementy skończone w preprocesorze. Należy tutaj nadmienić, że niewłaściwy podział na elementy skończone powoduje uzyskanie błędnych wyników.

6. Przykład obliczeniowy:

Rys.1.Siatka elementów skończonych wykorzystana podczas obliczeń rozkładu temperatury.

Rys.2. Rozkład temperatury dla temperatury otoczenia 20°C i ε =16,6 ^oC.

Rys.3. Rozkład temperatury dla temperatury otoczenia 20°C i ε =50 ^oC.

Rys.4. Wykres zależności temperatury minimalnej od intensywności chłodzenia.

5. Wnioski:

Przy pomocy programu EMRC/NISA dokonaliśmy symulacji rozkładu temperatury w wybranym materiale i kształcie, w naszym przypadku był to element, którego siatka elementów skończonych przedstawiona jest na rys.1, wykonany ze srebra. Przy zadanych warunkach brzegowych oraz źródeł ciepła zmienialiśmy intensywność chłodzenia „ε” tego materiału, co ilustruje charakterystyka na rys.4. Jest to zależność temperatury minimalnej od „ε”. Widać, że temperatura minimalna maleje wraz ze wzrostem intensywności chłodzenia i przy ε = 16,6 [W/m*°C] wynosi T = 48°C, a przy ε = 50 [W/m*°C] wynosi T = 28,92°C. Przeprowadzona symulacja pomogła nam zrozumieć zjawisko związane z analizą rozkładu temperatury w wybranym materiale.

6. Bibliografia:

1. Jan Szargut. Modelowanie numeryczne pól temperatury. Wydawnictwo Naukowo Techniczne. Warszawa 1992. ISBN 83-204-1462-8

2. Maciej Krakowski. Elektrotechnika teoretyczna, TOM II, pole elektromagnetyczne. Państwowe Wydawnictwo Naukowe. Warszawa 1983. ISBN 83-01-05146-9

3. Maciej Krakowski. Elektrotechnika teoretyczna, TOM I, obwody liniowe i nieliniowe. Wyd. 5 poprawione. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa 1995. ISBN 83-01-11953-5

4. notatki z wykładu

5. http://www.hearne.com.au/products/NISA/edition/display/

---