ANALIZA STATYSTYCZNA

z wykorzystaniem techniki komputerowej

5.4 Analiza wariancji

Analizę wariancji wykorzystujemy do porównywania wartości średnich w wielu zbiorowościach.

5.4.1 Model jednoczynnikowy (klasyfikacja pojedyncza, jednokierunkowa analiza wariancji)

W wielu przypadkach praktycznych wyniki obserwacji generowane są w następujący sposób:

gdzie jest wspólną dla wszystkich pomiarów wartością oczekiwaną, i jest składową wyniku obserwacji wynikającą z działania i-tego czynnika zewnętrznego (przyczyny głównej), zaś ij jest losowym zakłóceniem (błędem), zazwyczaj przyjmowany jako jednakowy dla wszystkich obserwacji.

Powyższy model opisuje - na przykład - sytuację, gdy dokonujemy pomiaru k obiektów, z których każdy mierzony jest ni (i=1,...,k) razy.

Jedną z możliwych hipotez jest taka, że czynniki zewnętrzne (przyczyny główne) nie mają systematycznego wpływu na wynik obserwacji. Hipoteza ta jest równoważna hipotezie

a sposób jej weryfikacji nazywany jest analizą wariancji.

Aby zweryfikować powyższą hipotezę, musimy najpierw zweryfikować hipotezę o stałej wartości odchylenia standardowego

σσσk= σ

Jeżeli nie ma podstaw do zakwestionowania hipotezy o stałości odchylenia standardowego możemy przejść do weryfikacji hipotezy o jednakowych wartościach oczekiwanych (analizy wariancji).

Niech

oraz

gdzie

, ,

Weryfikowaną hipotezę odrzucamy gdy

gdzie ,

zaś F(,k-1,n-k) jest kwantylem rzędu  w rozkładzie F-Snedecora o parze stopni swobody (k-1,n-k).

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy

Wykorzystanie Excela do obliczeń jednoczynnikowej analizy wariancji.

Narzędzia | Analiza danych | Analiza wariancji: jednoczynnikowa

Dane do analizy wprowadzamy kolumnami lub wierszami. W przypadku wprowadzania kolumnami, w każdej kolumnie podane są wyniki obserwacji odpowiadające jednej zbiorowości (jednego czynnika zewnętrznego). Na przykład:

Czynnik 1

Czynnik 2

Czynnik 3

19

40

32

45

28

26

26

26

30

23

15

17

36

24

23

23

26

24

26

36

29

33

27

20

22

28

19

Należy podać poziom istotności testu, np. 0.05 i wykonać obliczenia.

Wynik obliczeń jest następujący:

PODSUMOWANIE

Grupy

Licznik

Suma

Średnia

Wariancja

Kolumna 1

9

253

28,11111

69,11111

Kolumna 2

10

269

26,9

52,32222

Kolumna 3

8

201

25,125

26,41071

ANALIZA WARIANCJI

Źródło wariancji

SS

df

MS

F

Wartość-p

Test F

Pomiędzy grupami

38,00278

2

19,00139

0,377304

0,689703

3,402832

W obrębie grup

1208,664

24

50,361

Razem

1246,667

26

Interpretacja:

Pomiędzy grupami :

SS - suma w 0x01 graphic
, df - liczba stopni swobody (mianownik w 0x01 graphic
),

MS - 0x01 graphic

W obrębie grup

SS - suma w 0x01 graphic
, df - liczba stopni swobody (mianownik w 0x01 graphic
),

MS - 0x01 graphic

F - wartość statystyki testowej

Test F - wartość krytyczna [F(,k-1,n-k) - kwantyl rzędu  w rozkładzie F-Snedecora o parze stopni swobody (k-1,n-k)]

5.4.2 Model dwuczynnikowy (klasyfikacja podwójna, dwukierunkowa analiza wariancji)

W bardziej ogólnym wyniki obserwacji generowane są w następujący sposób:

0x01 graphic

gdzie jest wspólną dla wszystkich pomiarów wartością oczekiwaną, i jest i-tą składową (poziomem) jednego czynnika zewnętrznego, j jest j-tą składową (poziomem) drugiego czynnika zewnętrznego, symbolem (ij oznaczamy wpływ interakcji obu czynników zewnętrznych, K jest liczbą obserwacji dla każdej kombinacji poziomów pierwszego i drugiego czynnika zewnętrznego, zaś ijk jest losowym zakłóceniem (błędem), zazwyczaj przyjmowany jako jednakowy dla wszystkich obserwacji.

Możliwa jest weryfikacja różnych hipotez. Na przykład, gdy K=1 korzystamy z opcji:

Narzędzia | Analiza danych | Analiza wariancji: dwuczynnikowa bez powtórzeń

Dane czytane kolumnami odpowiadają poziomom jednego czynnika, a dane czytane wierszami odpowiadają poziomom drugiego czynnika. Na przykład:

Kolumna 1

Kolumna 2

Kolumna 3

Wiersz 1

10

14

18

Wiersz 2

15

19

24

Wiersz 3

8

14

21

Wynik obliczeń jest następujący:

PODSUMOWANIE

Licznik

Suma

Średnia

Wariancja

Wiersz 1

3

42

14

16

Wiersz 2

3

58

19,33333

20,33333

Wiersz 3

3

43

14,33333

42,33333

Kolumna 1

3

33

11

13

Kolumna 2

3

47

15,66667

8,333333

Kolumna 3

3

63

21

9

ANALIZA WARIANCJI

Źródło wariancji

SS

df

MS

F

Wartość-p

Test F

Wiersze

53,55556

2

26,77778

15,0625

0,01374

6,944276

Kolumny

150,2222

2

75,11111

42,25

0,002043

6,944276

Błąd

7,111111

4

1,777778

Razem

210,8889

8

Można weryfikować hipotezy:

  1. o braku wpływu czynnika reprezentowanego przez kolumny;

  2. o braku wpływu czynnika reprezentowanego przez wiersze.

Gdy K=1 korzystamy z opcji:

Narzędzia | Analiza danych | Analiza wariancji: dwuczynnikowa z powtórzeniami

Dane czytane kolumnami odpowiadają poziomom jednego czynnika, a dane czytane wierszami odpowiadają poziomom drugiego czynnika. Kolejne powtórzenia zaznaczane są jako kolejne próby.

Przykładowe dane:

Czynnik A1

Czynnik A2

Czynnik A3

Próba 1

Czynnik B1

14

19

18

Próba 2

16

20

22

Próba 1

Czynnik B2

15

23

20

Próba 2

17

21

20

Próba 1

Czynnik B3

12

21

23

Próba 2

15

19

21

Wyniki obliczeń:

Analiza wariancji: dwuczynnikowa z powtórzeniami

PODSUMOWANIE

Czynnik A1

Czynnik A2

Czynnik A3

Razem

Czynnik B1

Licznik

2

2

2

6

Suma

30

39

40

109

Średnia

15

19,5

20

18,16667

Wariancja

2

0,5

8

8,166667

Czynnik B2

Licznik

2

2

2

6

Suma

32

44

40

116

Średnia

16

22

20

19,33333

Wariancja

2

2

0

8,266667

Czynnik B3

Licznik

2

2

2

6

Suma

27

40

44

111

Średnia

13,5

20

22

18,5

Wariancja

4,5

2

2

17,5

Razem

Licznik

6

6

6

Suma

89

123

124

Średnia

14,833333

20,5

20,6666667

Wariancja

2,9666667

2,3

3,06666667

ANALIZA WARIANCJI

Źródło wariancji

SS

df

MS

F

Wartość-p

Test F

Próbka

4,3333333

2

2,16666667

0,847826

0,459895

4,256492

Kolumny

132,33333

2

66,1666667

25,8913

0,000185

4,256492

Interakcja

14,333333

4

3,58333333

1,402174

0,308413

3,63309

W obrębie

23

9

2,55555556

Razem

174

17

O.Hryniewicz: Analiza statystyczna - komputery (8 godz.) 34