ANALIZA STATYSTYCZNA

z wykorzystaniem techniki komputerowej

5.4 Analiza wariancji

Analizę wariancji wykorzystujemy do porównywania wartości średnich w wielu zbiorowościach.

5.4.1 Model jednoczynnikowy (klasyfikacja pojedyncza, jednokierunkowa analiza wariancji)

W wielu przypadkach praktycznych wyniki obserwacji generowane są w następujący sposób:

gdzie  jest wspólną dla wszystkich pomiarów wartością oczekiwaną, _i jest składową wyniku obserwacji wynikającą z działania i-tego czynnika zewnętrznego (przyczyny głównej), zaś _ij jest losowym zakłóceniem (błędem), zazwyczaj przyjmowany jako jednakowy dla wszystkich obserwacji.

Powyższy model opisuje - na przykład - sytuację, gdy dokonujemy pomiaru k obiektów, z których każdy mierzony jest n_i (i=1,...,k) razy.

Jedną z możliwych hipotez jest taka, że czynniki zewnętrzne (przyczyny główne) nie mają systematycznego wpływu na wynik obserwacji. Hipoteza ta jest równoważna hipotezie

a sposób jej weryfikacji nazywany jest analizą wariancji.

Aby zweryfikować powyższą hipotezę, musimy najpierw zweryfikować hipotezę o stałej wartości odchylenia standardowego

σ_σ_σ_k= σ

Jeżeli nie ma podstaw do zakwestionowania hipotezy o stałości odchylenia standardowego możemy przejść do weryfikacji hipotezy o jednakowych wartościach oczekiwanych (analizy wariancji).

Niech

oraz

gdzie

, ,

Weryfikowaną hipotezę odrzucamy gdy

gdzie ,

zaś F(,k-1,n-k) jest kwantylem rzędu  w rozkładzie F-Snedecora o parze stopni swobody (k-1,n-k).

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy

Wykorzystanie Excela do obliczeń jednoczynnikowej analizy wariancji.

Narzędzia | Analiza danych | Analiza wariancji: jednoczynnikowa

Dane do analizy wprowadzamy kolumnami lub wierszami. W przypadku wprowadzania kolumnami, w każdej kolumnie podane są wyniki obserwacji odpowiadające jednej zbiorowości (jednego czynnika zewnętrznego). Na przykład:

Czynnik 1	Czynnik 2	Czynnik 3
19	40	32
45	28	26
26	26	30
23	15	17
36	24	23
23	26	24
26	36	29
33	27	20
22	28
	19

Należy podać poziom istotności testu, np. 0.05 i wykonać obliczenia.

Wynik obliczeń jest następujący:

PODSUMOWANIE
Grupy	Licznik			Suma			Średnia			Wariancja
Kolumna 1	9			253			28,11111			69,11111
Kolumna 2	10			269			26,9			52,32222
Kolumna 3	8			201			25,125			26,41071
ANALIZA WARIANCJI
Źródło wariancji	SS			df			MS			F			Wartość-p			Test F
Pomiędzy grupami	38,00278			2			19,00139			0,377304			0,689703			3,402832
W obrębie grup	1208,664			24			50,361
Razem	1246,667			26

Interpretacja:

Pomiędzy grupami :

SS - suma w
, df - liczba stopni swobody (mianownik w
),

MS -

W obrębie grup

SS - suma w
, df - liczba stopni swobody (mianownik w
),

MS -

F - wartość statystyki testowej

Test F - wartość krytyczna [F(,k-1,n-k) - kwantyl rzędu  w rozkładzie F-Snedecora o parze stopni swobody (k-1,n-k)]

5.4.2 Model dwuczynnikowy (klasyfikacja podwójna, dwukierunkowa analiza wariancji)

W bardziej ogólnym wyniki obserwacji generowane są w następujący sposób:

gdzie  jest wspólną dla wszystkich pomiarów wartością oczekiwaną, _i jest i-tą składową (poziomem) jednego czynnika zewnętrznego, _j jest j-tą składową (poziomem) drugiego czynnika zewnętrznego, symbolem (_ij oznaczamy wpływ interakcji obu czynników zewnętrznych, K jest liczbą obserwacji dla każdej kombinacji poziomów pierwszego i drugiego czynnika zewnętrznego, zaś _ijk jest losowym zakłóceniem (błędem), zazwyczaj przyjmowany jako jednakowy dla wszystkich obserwacji.

Możliwa jest weryfikacja różnych hipotez. Na przykład, gdy K=1 korzystamy z opcji:

Narzędzia | Analiza danych | Analiza wariancji: dwuczynnikowa bez powtórzeń

Dane czytane kolumnami odpowiadają poziomom jednego czynnika, a dane czytane wierszami odpowiadają poziomom drugiego czynnika. Na przykład:

	Kolumna 1	Kolumna 2	Kolumna 3
Wiersz 1	10	14	18
Wiersz 2	15	19	24
Wiersz 3	8	14	21

Wynik obliczeń jest następujący:

PODSUMOWANIE	Licznik	Suma	Średnia	Wariancja
Wiersz 1	3	42	14	16
Wiersz 2	3	58	19,33333	20,33333
Wiersz 3	3	43	14,33333	42,33333
Kolumna 1	3	33	11	13
Kolumna 2	3	47	15,66667	8,333333
Kolumna 3	3	63	21	9
ANALIZA WARIANCJI
Źródło wariancji	SS	df	MS	F	Wartość-p	Test F
Wiersze	53,55556	2	26,77778	15,0625	0,01374	6,944276
Kolumny	150,2222	2	75,11111	42,25	0,002043	6,944276
Błąd	7,111111	4	1,777778
Razem	210,8889	8

Można weryfikować hipotezy:

1. o braku wpływu czynnika reprezentowanego przez kolumny;

2. o braku wpływu czynnika reprezentowanego przez wiersze.

Gdy K=1 korzystamy z opcji:

Narzędzia | Analiza danych | Analiza wariancji: dwuczynnikowa z powtórzeniami

Dane czytane kolumnami odpowiadają poziomom jednego czynnika, a dane czytane wierszami odpowiadają poziomom drugiego czynnika. Kolejne powtórzenia zaznaczane są jako kolejne próby.

Przykładowe dane:

		Czynnik A1	Czynnik A2	Czynnik A3
Próba 1	Czynnik B1	14	19	18
Próba 2		16	20	22
Próba 1	Czynnik B2	15	23	20
Próba 2		17	21	20
Próba 1	Czynnik B3	12	21	23
Próba 2		15	19	21

Wyniki obliczeń:

Analiza wariancji: dwuczynnikowa z powtórzeniami
PODSUMOWANIE	Czynnik A1	Czynnik A2	Czynnik A3	Razem
Czynnik B1
Licznik	2	2	2	6
Suma	30	39	40	109
Średnia	15	19,5	20	18,16667
Wariancja	2	0,5	8	8,166667
Czynnik B2
Licznik	2	2	2	6
Suma	32	44	40	116
Średnia	16	22	20	19,33333
Wariancja	2	2	0	8,266667
Czynnik B3
Licznik	2	2	2	6
Suma	27	40	44	111
Średnia	13,5	20	22	18,5
Wariancja	4,5	2	2	17,5
Razem
Licznik	6	6	6
Suma	89	123	124
Średnia	14,833333	20,5	20,6666667
Wariancja	2,9666667	2,3	3,06666667
ANALIZA WARIANCJI
Źródło wariancji	SS	df	MS	F	Wartość-p	Test F
Próbka	4,3333333	2	2,16666667	0,847826	0,459895	4,256492
Kolumny	132,33333	2	66,1666667	25,8913	0,000185	4,256492
Interakcja	14,333333	4	3,58333333	1,402174	0,308413	3,63309
W obrębie	23	9	2,55555556
Razem	174	17

O.Hryniewicz: Analiza statystyczna - komputery (8 godz.) 34

---