JEDNOCZYNNIKOWY MODEL ANALIZY WARIANCJI (MODEL STAŁY)

Sformułowanie modelu

1. Zmienna Y w populacji generalnej (zmienna objaśniana) zależy od pewnego czynnika, który przyjmuje r poziomów.

2. Przyjmując poziom czynnika za kryterium podziału wyodrębniamy r subpopulacji (grup) i rozpatrujemy zmienne Y₁, Y₂,...,Y_r, które mają rozkłady N(μ_i,σ²)

3. Z każdej subpopulacji pobieramy próbę prostą o liczebności n_i, przy czym
   

4. Jeżeli czynnik nie wpływa na wartości zmiennej Y, to prawdziwa jest hipoteza zerowa:

wobec hipotezy alternatywnej:

5. Oznaczamy przez y_ki obserwację o numerze k z i-tej próby i przyjmujemy, że obserwacje generowane są przez model:

,

gdzie:

μ - stała wartość, identyczna dla wszystkich grup,

α_i - nieznana stała opisująca wpływ i-tego poziomu czynnika na wartość zmiennej Y,

ξ_ki - zmienna losowa opisująca łączny wpływ innych czynników o charakterze losowym na wartość zmiennej Y.

Zmienna ξ_ki nazywana jest składnikiem (błędem) losowym. Przyjmuje się, że każda zmienna ξ_ki ma rozkład N(0;σ) oraz że są one niezależne, czyli
dla wszystkich k, i, k', i', przy czym k≠k'.

Możemy zatem zapisać:

czyli obserwacja y_ki pochodzi z subpopulacji o wartości oczekiwanej μ_i.

Stała α_i charakteryzuje odchylenie średniej zmiennej Y w i-tej grupie od średniej ogólnej dla całej populacji, spełnia zatem warunek
. Hipoteza zerowa może więc być sformułowana równoważnie jako

Weryfikacja hipotezy zerowej o identyczności średnich

w r populacjach

Założenie

Istotność różnic między średnimi może być oceniana na podstawie relacji zróżnicowania między średnimi w wyodrębnionych grupach do ogólnego zróżnicowania badanej zmiennej

Oznaczenia

nr obserwacji (k)	1	numer 2	grupy ....	(i) r
1
2
...
ni
liczebność grupy	ni	n2	....	nr
średnie grupowe			....

Średnia ogólna:

Średnia grupowa:

Całkowita suma kwadratów odchyleń od średniej ogólnej:

gdzie:

SST - całkowita zmienność zmiennej Y,

SSE - zmienność wewnątrzgrupowa,

SSB - zmienność międzygrupowa.

Procedura

Do weryfikacji hipotezy zerowej wykorzystujemy statystykę postaci:

gdzie:

Statystyka F przy założeniu słuszności hipotezy zerowej ma rozkład F-Snedecora o stopniach swobody licznika i mianownika odpowiednio r-1 oraz n-r.

Obszar krytyczny wyznaczony jest z zależności:

Zestawienie obliczeń w postaci tablicy analizy wariancji

Źródło zmienności	Suma kwadratów odchyleń	Stopnie swobody	Średni kwadrat odchyleń
Czynnik (zróżnicowanie międzygrupowe)	SSB	r-1	MSB
Błąd losowy (zróżnicowanie wewnątrzgrupowe)	SSE	n-r	MSE
Zróżnicowanie całkowite	SST	n-1	-

Weryfikacja założeń modelu wariancji

Założenia:

• składniki losowe
  mają rozkład N(0;σ),

• składniki losowe
  są niezależne,

• identyczność wariancji zmiennej objaśnianej w grupach.

Test jednorodności wariancji

• hipotezy

• testy Bartletta, Cochrana, Hartleya

PRZYKŁAD

Organizacja Współpracy Gospodarczej i Rozwoju (OECD) stosuje poniższą klasyfikację regionów (województw) w Polsce (według stopnia ich rozwoju), wyróżniając następujące grupy:

A - rozwinięte regiony rolnicze,

B - słabo rozwinięte regiony rolnicze,

C - rozwinięte regiony uprzemysłowione,

D - słabo rozwinięte regiony uprzemysłowione,

F - rozwinięte regiony „mieszane”,

G - nierozwinięte regiony „mieszane”.

TABLICA 1

Województwa	Klasyfikacja	Stopa bezrobocia
Stoł. Warszawskie Bialskopodlaskie Białostockie Bielskie Bydgoskie Chełmskie Ciechanowskie Częstochowskie Elbląskie Gdańskie Gorzowskie Jeleniogórskie Kaliskie Katowickie Kieleckie Konińskie Koszalińskie Miej. krakowskie Krośnieńskie Legnickie Leszczyńskie Lubelskie Łomżyńskie Miej. łódzkie Nowosądeckie Olsztyńskie Opolskie Ostrołęckie Pilskie Piotrkowskie Płockie Poznańskie Przemyskie Radomskie	F B F C C A B D G F G D C D B B G F B C G G B C B G D B G D B F B B	7,7 12,2 13,4 11,1 18,9 13,3 22,3 13,5 27 14,8 21,3 18,7 17,1 9,7 17,9 18,1 28,8 7,2 16,4 17,8 13,9 13,5 17,5 20,5 13,9 27,9 13,2 18,9 24,6 19,7 20,8 8,2 16,5 19,5
Rzeszowskie Siedleckie Sieradzkie Skierniewickie Słupskie Suwalskie Szczecińskie Tarnobrzeskie Tarnowskie Toruńskie Wałbrzyskie Włocławskie wrocławskie Zamojskie Zielonogórskie	G B B B G B F B A G D A F B C	17 15,4 14,8 14,2 27,5 28,8 14,1 13,4 14,5 21,9 23,9 22 13,3 13,5 18,1

Przekrojowe dane, dotyczące całej zbiorowości województw w ustalonym momencie, potraktujemy jako próbę z populacji hipotecznej.

Formalnie zweryfikujemy hipotezę zerową, że średnie stopy bezrobocia w poszczególnych grupach województw są identyczne:
wobec alternatywy, że co najmniej dwie średnie różnią się między sobą.

TABLICA 2

Źródło zmienności	Suma kwadratów odchyleń	Stopnie swobody	Średni kwadrat odchyleń
Zróżnicowanie międzygrupowe	SSB = 516,65	5	MSB = 103,33
Zróżnicowanie wewnątrzgrupowe	SSE = 871,77	43	MSE = 20,27
Ogółem	SST = 1388,42	48	_

Obliczamy wartość statystyki
.

Jeśli przyjmiemy poziom istotności α=0,05, to wartość krytyczna rozkładu F-Snedecora wynosi
.

Obszar krytyczny ma postać:
.

co oznacza, że (z prawdopodobieństwem popełnienia błędu równym 0,05) odrzucamy hipotezę zerową, a więc przeciętne stopy bezrobocia w sześciu wyodrębnionych grupach województw różnią się istotnie między sobą. Inaczej mówiąc, otrzymany wynik wskazuje na to, że stopa bezrobocia zależy od poziomu rozwoju województwa (według przyjętych przez OECD kryteriów).

Można też stwierdzić, że z punktu widzenia zróżnicowania bezrobocia zastosowana klasyfikacja województw jest uzasadniona.

---