Statyka Wykład 6

Środek ciężkości

x_C x_i x

y_C

y_i

*V_i

y g cm/s², * kg/cm³

z *G_i = g*_i *V_i = *_i *V_i

G gdzie *_i = g*_i

Rys. 47 * ni, * mi

Po podstawieniu do wzorów (46), (47) i (48)

P_i = *G_i = *_i *V_i otrzymujemy

przybliżone wzory określające położenie

x_C , y_C , z_C środka ciężkości C dowolnego ciała.

(52)

Wzory (52) są wzorami przybliżonymi. Aby otrzymać wzory dokładne, trzeba przejść do granicy zakładając, że liczba n elementów, na które podzielimy dane ciało, dąży do nieskończoności, przy jednoczesnym dążeniu do zera wszystkich ich wymiarów.

Występujące we wzorach (52) sumy po przejściu do granicy zmieniają się w całki objętościowe rozciągnięte na całą objętość rozpatrywanego ciała i ostatecznie otrzymujemy:

St.33

(53)

Przykład 12

Obliczyć wartości współrzędnych środka ciężkości powierzchni prostokąta o wymiarach jak na rysunku.

Aby wykorzystać wzory (53) należy założyć, że grubość prostokąta jest dowolnie mała i wynosi dz, wtedy:

- dV = dz dF gdzie dF jest elementem powierzchni (rys.48)

• G = * dV = * dz dF

• dF = dx dy po podstawieniu do wzorów (53)

otrzymujemy wzory na obliczenia współrzędnych środka ciężkości figury płaskiej.

y dF=dxdy

dz

dy

h dx

y

x

x

z a Rys. 48

Przykład 13

Określić środek ciężkości pola trójkąta przedstawionego na rysunku (49). Dane: wysokość h, podstawa d.

y

D

y₁ y₂

dy

h

y C y_C

x

A x₁ B

x_C

x_w

x₂

d Rys.49

y₁ = a₁x₁ + b₁ dla y₁ = 0, b₁ = 0

dla y₁ = h, x₁ = x_w a₁ = h/x_w

y₂ = a₂x₂ + b₂ dla y₂ = 0, x₂ = d b₂/a₂ = -d

dla y₂ = h, x₂ = x_w a₂ = -h/(d-x_w)

b₂ = hd/(1-x_w)

x₁ = y₁/a₁ x₂ = (y₂ - b₂)/a₂

St.35

(54)

W identyczny sposób jak zapisano wzór (54) można zapisać wzór na współrzędną środka ciężkości x_C :

(55)

gdzie:

moment statyczny względem osi y

Z wzorów ( 54 ) i ( 55 ) wynika, że jeśli środek ciężkości leży na osi względem której liczymy moment statyczny, to moment ten równa się zero.

Moment statyczny figury płaskiej względem osi

y y₁ dF

y_C C środek ciężkości figury

C x₁ y = y_C + a

a

0 x Rys.50

(56)

Przykład 14

Wyznaczyć położenie środka ciężkości x_C figury płaskiej z rys.51

Rozwiązanie

y h = b = c = 5 cm

c b x Rys.51

z (56)

cm³

z (55)

Przykład 15 St.36

Znaleźć położenie środka ciężkości jednorodnego ostrosłupa prawidłowego o wysokości h i podstawie kwadratu o boku a (rys.52). S z

AB =BC = a

h dz C₁ A₁B₁ =B₁C₁ = a₁

0S = h

z A₁ B₁

C

0

A B Rys.52

Rozwiązanie

z_C obliczamy z wzoru (7.15) strona 123 Statyka i Wytrzymałość Materiałów tom I, autor Jan Misiak

gdzie

Z podobieństwa trójkątów ASB i A₁SB₁

,

(57)

Przykład 16 St.37

Określić położenie środka ciężkości łuku koła o promieniu R i kącie środkowym 2α (rys.53).

y

R

α

0 x

α

Rys.53

Rozwiązanie

y x x = Rcos*

dl = Rd* y = Rsin*

d*

y

*

0 x

α

Rys.54

Z wzorów (7.28) strona 133 Statyka i Wyt. Mat. Jan Misiak

St.32

z_C z_i

C

St.34

---