20. Prawo Biota - Savarta - Laplace'a. Pole magnetyczne przewodnika kołowego.

Prawo to opisuje związek między wekt. indukcji magn. B(w.) a prądem płynącym w przewodniku wywołującym pole magn.:

gdzie całka oznacza całkowanie po obwodzie z płynącym prądem (w przewodach o zaniedbywalnej grubości), dl(w.) - element długości obwodu, skierowany zgodnie z kierunkiem prądu, r(w.) - wektor łączący element dl(w.) z punktem, w którym liczymy wektor indukcji magnetycznej , μ₀ - współczynnik proporcjonalności, zwany przenikalnością magnetyczną próżni (μ₀=4π⋅10^-7 H/m) , I - wartość natężenia prądu .

21. Prawo Ampere'a. Pole magnetyczne przewodnika prostoliniowego i solenoidu.

Prawo to opisuje związek między wekt. indukcji magn. B(w.) a prądem płynącym w przewodniku wywołującym pole magn.:

całka oznacza całkowanie po dowolnej krzywej zamkniętej, dl(w.) - element długości krzywej o kierunku zgodnym z kierunkiem wektora indukcji magnetycznej B(w.) , I - całkowitą wartość natężenia prądu zawartego wewnątrz krzywej, μ₀ - współczynnik proporcjonalności, zwany przenikalnością magnetyczną próżni (μ₀=4π⋅10^-7 H/m) .

22. Moment magnetyczny. Moment siły i energia momentu magnetycznego.

F₁

b

F₂ F₂

a

F₂

F₁ = J b B

F₂ = J a B

Obliczamy moment pary sił działających na ramkę z prądem I.

F₂

M= F₂ b sinϕ

M= I a B b sinϕ

ϕ

M= I a b B sinϕ ;

M(w.)= r(w.)×F(w.), B B(w.)

M= r F sinϕ B sinϕ

M(w.)= m(w.) × B(w.),

m(w.)= I S n(w.) F₂

mom. magn. obw. z prądem

n - wersor normalny do pow. obw. el

m(w.) M(w.) = m(w.) × B(w.)

M(w.) = p(w.) × E(w.)

W_R = -p(w.) ⋅ E(w.)

I W_m = -m(w.) B(w.)

↑B(w.) ↑m W= -m(w.)B(w.) < 0

↑B(w.) →m W= 0

↑B(w.) ↓m W= -m(w.) B(w.)= mB >0

23. Oddziaływanie prądów elektrycznych.

Zob. np. odp. 27 „Samoindukcja i indukcja wzajemna”

24. Prawo Gaussa dla wektora indukcji magnetycznej B.

Prawo Gaussa dla pola B(w.)

26. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Faradaya. Siła elektromotoryczna indukcji.

Strumień pola magnetycznego B(w.) przechodzący przez obwód przewodnika wynosi:

Napięcie wywołane zmianą strumienia Φ_B

- reguła przekory Lenza

ε - siła elektromotoryczna indukcji - [ε] = [V]

[Φ_B] = [T ⋅ m²] = [Wb] - Weber

F_e'

←I Γ

Z analizy wektorowej wiemy, że :

różniczkowa postać

prawa indukcji

elektr.magn. prawa

Faradaya

27. Samoindukcja i indukcja wzajemna. Współczynnik indukcji własnej L.

Każdy obwód z płynącym prądem wytwarza pole magnetyczne, którego linie przenikają również przez własny obwód. Jeżeli z jakichkolwiek powodów natężenie prądu w obwodzie ulegnie zmianie, zmieni się również strumień indukcji przechodzący przez ten obwód. To z kolei spowoduje powstanie siły elektromotorycznej, której kierunek będzie przeciwdziałał zmianom prądu. Takie zjawisko nazywa się samoindukcją.

ε_C=?

B ∼ I => Φ_B ∼ B ∼ I

Φ_B = L I (L - wsp.

R proporcjonalności

zwany wsp. ind.

własnej lub

indukcyjnością)

B

[L] = [V ⋅ s / A] = [Ω ⋅ s] = [H] (Henr)

------------------------

Jeżeli linie pola magnetycznego, wytworzone przez obwód 1, będą przenikać (w całości lub częściowo) przez obwód 2, to zmiana natężenia prądu w obwodzie 1, I₁, wytworzy siłę elektromotoryczną ε₂ w obwodzie 2. Jej wartość będzie proporcjonalna do szybkości zmian prądu w obwodzie 1, co zapisujemy równaniem:

ε₂ = -M₁₂ dI₁/dt

Gdzie M₁₂ oznacza współczynnik indukcji wzajemnej obwodu 1 względem obwodu 2.

Φ₁= Φ₁₁ + Φ₁₂ | Φ₁₁= L₁₁I₁ | Φ₂₂= L₂₂I₂

Φ₂= Φ₂₂ + Φ₂₁ | Φ₁₂= L₁₂I₂ | Φ₂₁= L₂₁I₁

ε₁= - dΦ₁/dt = - (dΦ₁₁/dt + dΦ₁₂/dt) = -(L₁₁ dI₁/dt + L₁₂ dI₂/dt)

ε₁= - dΦ₂/dt = - (dΦ₂₂/dt + dΦ₂₁/dt) = -(L₂₂ dI₂/dt + L₂₁ dI₁/dt)

L₁₂ = L₂₁ = M - współcz. indukcji wzajemnej

28. Pole magnetyczne materii. Wektor namagnesowania (magnetyzacja) M.

Oddziaływanie pola magn. na różne substancje:

a) diamagnetyki - słabo wypychane z pola magnetycznego

b) paramagnetyki - słabo wciągane do pola magnetycznego

c) ferromagnetyki - silnie wciągane do pola magnetycznego

Magnetyzacja

Średni moment magnetyczny liczony na jednostkę objętości:

m_{a t}(w.) = z <m_e (w.)>

M(w.) = n ⋅ m_at(w.) = n Z <m_e(w.)>

29. Częstość Larmora. Podatność magnetyczna. Względna przenikalność magnetyczna μ.

Twierdzenie Larmora dotyczy zależn. między momentem magn. i mom. pędu elektr. w atomie i mówi, że ruch elektr. w obecności słabego pola magn. jest zawsze złożeniem ruchu bez pola magn. i dodatkowo obrotu wokół osi pola z prędkością kątową ω.

Do tego również odp. 28 „Wektor namagnesowania ...”

30. Diamagnetyzm. Podatność magnetyczna diamagnetyków.

Bez pola magn. (B(w.) = 0) m_w(w.) = 0

m(w.)

m_w(w.) = 0 =>

-m(w.)

Po wstawieniu diamagnetyka do pola B(w.) nastąpi zmiana momentu magnetycznego atomu.

↓ Δm(w.)

=> -2Δm(w.) = m_w(w.)

B(w.)

Δm

Włączenie pola magn. spowod. zaindukow. momentu magnetycznego skierowanego przeciwnie do pola magnetycznego.

Podatność magnetyczna

χ =(df.) = μ / H = Mμ₀ / B

Względna przenikalność magnetyczna:

μ = χ + 1

Podatność magnetyczna diamagnetyków.

M(w.) = - n Z <Δm(w.)> ,

Δm(w.) = - e² r_i² B(w.) / 4m*

r_i² = x_i² + y_i² (dla płaszcz. x,y)

Dla przestrzeni 3-wymiarowej:

r² = x² + y² + z² <r²> = <x²> + <y²> + <z²>

<x²> = <y²> = <z²> <r²> = 3 <x²>

<r_i²> = 2<x_i²> = 2 <r²>/3 <x²> = <r²>/3

<Δm(w.)> = e²<r_i²>B / 4m*

<Δm(w.)> = e²<r²>B / 6m*

χ ∼ 10⁵ 0 < μ=1+χ < 1

31. Paramagnetyzm. Prawo Curie.

Paramagnetyki mają trwały moment magnetyczny m₀(w.) nawet bez obecności zewnętrznego pola magnetycznego. Najczęściej mają nieparzystą liczbę elektronów na zewnętrznej powłoce. Po wstawieniu paramagnetyka do pola magn. występują w mim dwa procesy:

a) porządkowanie kierunków momentów magnetycz. atomowych zgodnie z kierunkiem zewnętrznego pola B. Procesowi temu przeszkadzają drgania cieplne atomów.

b) indukowanie się dodatkow. momentów magnetyczn. poprzez oddziaływanie z zewnętrznym polem B tak jak w diamagnetykach.

Drugi proces jest znacznie słabszy niż pierwszy.

Wektor magnetyzacji paramagnetyka.

W_B = - m₀(w.) B <m₀(w.)> = m₀²B / 3kT

Prawo Langevine'a - Courie

32. Ferromagnetyki. Pętla histerezy. Domeny ferromagnetyczne.

Ferromagnetyzm dotyczy tylko ciał stałych.

B∼I_ind

H∼I

Pętla histerezy (wąska pętla - miękkie ferromagn. , szeroka pętla - twarde f.)

Budowa domenowa ferromagnetyków. (w jednej domenie identycznie ustawione momenty)

Efekt Berkhausena - drgania

33. Związek między wektorami B, H i M.

Trzy wektory magnetyczne (B(w.),H(w.),M(w.))

Z prawa Ampere'a

Pomiędzy M(w.) i I_M można napisać związek:

←

Dla para- i diamagnetyków B, H, M są współliniowe.

χ = M/H M = χ H

B = μ₀H + μ₀ χ H

B = μ₀H (1+ χ) = μ₀μH M = (μ - 1)H

nawias = μ

34. Zjawiska magnetomechaniczne. Doświadczenie Einsteina - de Haasa.

1. Efekt magnetostrykcji

Zmianie kształtu materiału magnetycznego pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego.

2. Doświadczenie E-dH - Richardsona (efekt)

/ / / / / / / /

m(w.) || I(w.)

Po zmianie wektora B(w.)

na przeciwny momenty

B(w.)↑ magnetyczne i momenty

pędu również zmienią

zwroty na przeciwne.

Z zasady zach. mom. pędu wynika, że walec powinien zacząć się obracać, aby całkowity mom. pędu uległ zmianie.

↑↓ -> g = czynnik Landego

35. Energia pola magnetycznego.

I W_B= ½ LI² , L= μ₀n²V ; n=N/l - gęstość nawinięcia, V=S⋅l - obj. Solenoidu

W_B= ½ μ₀n² V⋅ I²

W_B= ½ μ₀n²I²V= 1/ 2μ₀ ⋅ μ₀²n² I²V= 1/ 2μ₀ ⋅ B²V (B=μ₀nI)

Gęstość energii ω_B= W_B/V= B²/ 2μ₀

ω_B= B²/ 2μ₀= ½ B(w.)/μ₀ B(w.)=½ B(w.) ⋅ H

B(w.)= μ₀H(w.) + μ₀M(w.) =>

ω_B= ½ (μ₀H(w.) + μ₀M(w.))H(w.) =

= ½ μ₀H² + ½ μ₀M(w.)H(w.) = ½ B(w.)H(w.)+

gęst. w próżni gęst. + ½ B(w.)M(w.)

36. Prąd przewodzenia i przesunięcia. Pole elektromagnetyczne.

dΦ_E/dt - prąd przesunięcia.

Poprawione prawo Ampere'a:

37. Równania Maxwella w postaci całkowej i różniczkowej.

1. Postać całkowa

a) Prawo Gaussa dla E(w.)

b) Prawo Gaussa dla pola B(w.)

c) Prawo Faraday'a

d) Uzupełnione prawo Ampere'a

2. Postać różniczkowa

a) ∇E(w.) = ρ / ε₀

b) ∇B(w.) = 0

c) ∇ × E(w.) = - ∂B(w.) / ∂t

d) ∇ × B(w.) = μ₀ j(w.) + ε₀ μ₀ ∂E(w.) / ∂t

38. Fala elektromagnetyczna. Wektor Poyntinga.

Aby wytworzyć falę elektromagnetyczną, konieczny jest ruch przyspieszony ładunku.

Transport energii opisuje wektor Poyntinga s(w.) = 1/μ₀ E(w.) × B(w.) [s]=[W / m²]

E(w.)

c→

k(w.)

B(w.)

C ≈ 300 000 km/s

39. Drgania harmoniczne: swobodne, tłumione i wymuszone (mechanicznie i elektrycznie).

Drgania harmoniczne - pod wpływem siły harmonicznej (k - st. spręż. , F = - kx ,

x - wychyl. z poz. równowagi)

odpychające

siła a

wypadkowa r

przyciągające

Wokół położenia r = a

F ≈ - k (r-a) - siła harmoniczna

1. Drgania harmoniczne swobodne (1-wym).

Siła harmoniczna F_n = -kx , równanie ruchu ma postać

Równanie może mieć postać: x(t) = A sin ⋅

⋅ (ω₀t + ϕ)

War. początkowe: x(0) = x₀ , x(.)(0) = x₀(.) ,

x(.)(t) = V_n(t) = A ω₀ cos (ω₀t + ϕ)

x₀ = A sin ϕ ∧ x₀(.) = A ω₀ cosϕ

trϕ = sinϕ / cosϕ = x₀/A ⋅ Aω₀/x₀(.)

2. Oscylator harmoniczny tłumiony.

F_t = -γ U_n = - γ x(.)

F_n = - k x Równanie ruchu ma postać

m x(..) = - kx - γx(.) || mx(..) + γx(.) + kx = 0

|| : m

x(..) + γ/m x(.) + k/m x = 0, γ/m = 2β, k/m = ω₀²

x(..) + 2β x(.) + ω₀² x = 0

Możliwe rozwiązanie ma postać

Rozważamy trzy przypadki:

a) ω₀² > β² - słabe tłumienie

b) ω₀² = β² - tłumienie kryt.

c) ω₀² > β² - silne tłumienie

3. Drgania wymuszne.

40. Składanie drgań. Dudnienia.

Składanie drgań prostopadłych.

/

/

/

/

/ / / / / / / / / / / / / / /

Dla pewnych szczególnych przypadków drgań:

1. A≠B , ω₁=ω₂=0 , ϕ=0

x = A cos(ωt) |=> y/x = B/A => y = B/A ⋅ x

y = B cos(ωt) |

2. A ≠ B , ω₁=ω₂=ω , ϕ = - π/2

| x = A cos(ωt)

| y = B cos(ωt - π/2)

y = B cos [ - (π/2 - ωt) ]

y = B cos (π/2 - ωt) = B sin ωt

x/A = cos (ωt) |

y/B = sin (ωt) |

x²/A² + y²/B² = cos² (ωt) + sin² (ωt)

x²/A² + y²/B² = 1 - elipsa

3. A≠B , ω₁=ω₂=ω , ϕ ≠ 0 , ϕ ≠ - π/2

4. A≠B , ω₁≠ω₂ , ϕ = 0

ω₁ / ω₂ = m/n m,n ∈ N (liczby naturalne)

- krzywe Lissajans

ω₁ / ω₂ = 2 / 1 ω₁ / ω₂ = 3 / 2

43. Współczynnik załamania. Związki dyspersyjne.

n =(df.) C/V V = C/n

1. Rozchodzenie się światła w dielektryku.

S P

z

E = E₀ e^iωt

Bez płytki szklanej fala w pkt. P ma postać E(P) = E₀ e^iω(t-z/c) (tam jest: iω(t-z/c))

Po wstawieniu płytki szklanej o grubości Δz , fala „opóźnia się” o Δt₁ = Δz/V - Δz/c = Δzn/c - Δz/c = Δz/c ⋅ (n-1). W tej sytuacji fala w pkt. P ma postać E(P) = E₀e^{iω(t-Δt-z/c)} (tzn. iω(t-Δt-z/c))

E(P) = E₀e^{iω[t-Δz/c ⋅ (n-1) -z/c]}

(tzn. iω[t-Δz/c ⋅ (n-1) -z/c]

2. Natężenie pola elektrycznego od drgającego ładunku.

x₀ E_x

r P

q E ∼ 1/r²

-x₀

E_x= -q/ (4πε₀c²r) a_x (t-r/c)

E_x= 1/r

3. Pole elektryczne pochodzące od płaszczyzny drgających ładunków.

q - ładunek drgający

η - gęstość powierzchni

drgających ładunków

V_n prędkość harmoniczna

E(P) ∼ V_n

44. Doświadczenie Younga. Interferencja.

/

/

/

/

P

A

θ .

A θ

B

Δ = a sin θ

Warunek wzmocnienia z p. P

Δ = m λ ; m = 0, 1, 2, 3, ... ; a sin θ = m λ

Warunek wygaszenia w p. P

Δ = (ηm + 1) λ / 2 ; a sin θ = (ηm + 1) λ / 2

ϕ / 2π = Δ / λ

Natężenie w doświadczeniu Younga.

Równania fal ze źródeł A i B mogą mieć w p. P postać: | E_A = E₀ sin (ωt)

| E_B = E₀ sin (ωt + ϕ)

Fala wypadkowa ma postać:

E_w(P) = E_A + E_B = E₀ [sin(ωt) + sin(ωt + ϕ)]

E_w = 2E₀ cosϕ/2 sin (ωt + ϕ/2)

Natężenie fali A lub B I₀ ∼ E₀²

Natężenie fali wypadk. I_w ∼ E'²

I_w / I₀ = E'² / E₀² =>

I_w = I_α E'² / E₀² = 4 I₀ cos²δ δ = ϕ/2

ϕ/2π = Δ/λ => ϕ = 2πΔ / λ => δ = ϕ/2 = πΔ/λ

I_w = I_max , gdy cos²δ = cos² ϕ/2 = 1 => ϕ/2 = mπ (m=0,1,2,…)

Stąd πΔ / λ = mπ a sinθ / λ = m

a sinθ = m λ

I_w = 0 , gdy cos²δ = cos²ϕ/2 = 0 =>

ϕ/2 = (2m - π)π/2

πΔ / λ = (2m + 1)π/2

a sinθ / λ = (2m + 1) ½

a sinθ = (2m + 1) λ/2