Politechnika Wrocławska INSTYTUT FIZYKI	Sprawozdanie z ćwiczenia nr 8.
Klaudiusz Fatla	Temat: Wyznaczanie momentu bezwładności i sprawdzanie twierdzenia Steinera.
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY, rok II	Data: Ocena: 9-10-1996

1. Zakres ćwiczenia :

Celem ćwiczenia było stwierdzenie zależności okresu drgań wahadła od momentu bezwładności, doświadczalne potwierdzenie twierdzenia Steinera i wyznaczenie momentu bezwładności ciał względem osi przechodzącej przez środek masy.

2. Wiadomości ogólne :

Ruch drgający - ruch lub zmiana stanu, który charakteryzuje powtarzalność w czasie wielkości fizycznych, określających ten ruch lub stan. Ruch drgający nazywamy okresowym, jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające się podczas drgań powtarzają się w równych odstępach czasu.

Drgania harmoniczne - najprostszy przykład ruchu drgającego okresowego. Drgania nazywamy takimi, jeżeli ich zależność od czasu (t) ma postać :

x - dowolna wartość chwilowa dowolnej wielkości fizycznej

A - amplituda x

ϖ - częstość kołowa

ϕ₀ - faza początkowa drgań

Okres drgań - najmniejszy odstęp czasu po upływie którego powtarzają się wartości wszystkich wielkości fizycznych charakteryzujących drganie. Okres drgań harmonicznych (T) dla wahadła fizycznego :

ϖ - częstość kołowa

Moment bezwładności - wielkość dynamiczna wpływająca na przyspieszenie kątowe ruchu obrotowego, zależna od wartości, jak i rozkładu przestrzennego masy obracającego się ciała.

m_ir_i - moment bezwładności i-tego punktu materialnego

r - promień obrotu

m - masa ciała

Twierdzenie Steinera:

Moment bezwładności (I) względem osi obrotu nie przechodzącej przez środek masy tej bryły jest równy sumie momentów bezwładności, (I₀) bryły względem osi przechodzącej przez jej środek masy oraz momentu bezwładności (md²) środka masy tej bryły względem osi obrotu.

3. Spis przyrządów .

- suwmiarka o dokładności 0,02 mm

- elektroniczna waga laboratoryjna o dokładności 0,1 g

- stoper o dokładności 0,01 s

4. Wyniki pomiarów :

-masa :

	m [g]	Δm [g]
tarczy	1061,0	0,1
pierścienia	221,0	0,1

Do obliczeń przyjęto następujące wartości : m_t = (1,061 * 0,001) kg

m_p = (0,221 * 0,001) kg,

ponieważ trzeba było by przeprowadzić kalibrację zera.

- Pierścień :

Lp.	d [mm]	D [mm]	r [mm]	R [mm]
1	95,40	119,60	47,70	59,80
2	95,34	119,80	47,67	59,90
3	95,40	119,66	47,70	59,83
Suma:	286,14	359,06	143,07	179,53
xśr	95,38	119,69	47,69	59,84
Δxśr	0,02	0,06	0,01	0,03

Lp.	Czas 100 wahnięć [s]	Okres T [s]
1	67,50	0,6750
2	68,10	0,6810
3	67,79	0,6779
4	69,23	0,6923
5	68,83	0,6883
Suma:	341,45	3,4145
xśr	68,29	0,6829
Δxśr	0,33	0,0033

I =	1,221 10^-3	[kg m^2]
ΔI =	0,017 10^-3	[kg m^2]
δI =	1,4	[%]
I0 =	7,2 10^-4	[kg m^2]
ΔI0 =	0,3 10^-4	[kg m^2]
δI0 =	4,2	[%]
I0 =	6,470 10^-4	[kg m^2]
ΔI0 =	0,035 10^-4	[kg m^2]
δI0 =	0,55	[%]

- Tarcza :

Otwór :	2d [mm]	d [mm]
1	89,90	44,95
2	117,44	58,72
3	139,90	69,95

Lp.	t1 [s]	Okres T1 [s]	t2 [s]	Okres T2 [s]	t3 [s]	Okres T3 [s]
1	71,93	0,7193	67,23	0,6723	67,91	0,6791
2	68,07	0,6807	72,85	0,7285	61,87	0,6187
3	69,37	0,6937	68,03	0,6803	68,03	0,6803
4	68,26	0,6826	68,26	0,6826	69,33	0,6933
5	67,67	0,6767	69,03	0,6903	69,32	0,6932
6	68,93	0,6893	-	-	66,01	0,6601
Suma:	414,23	4,1423	345,40	3,4540	402,47	4,0247
xśr	69,04	0,6904	69	0,69	67,1	0,671
Δxśr	0,77	0,0077	1	0,01	1,2	0,012

t_x - czas 100 wahnięć

wartość stałej C

Lp.	C [m^2]	ΔC [m^2]
1	0,1848	0,0006
2	0,2316	0,001
3	0,2473	0,0013
Suma:	0,6636	-
xśr	0,2212	-

C =	0,2212	[m2]
ΔC =	0,0013	[m2]
δC =	0,6	%
I0 =	5,945 10^-3	[kg m2]
ΔI0 =	0,041 10^-3	kg m2]
δI0 =	0,7	%

Za ΔC przyjęto największy błąd wyznaczenia wartości C.

5. Wzory i przykłady obliczeń :

Wzory wykorzystane do obliczeń dla pierścienia :

- moment bezwładności pierścienia względem osi środkowej [kg m²] - wzór tablicowy

m - masa [kg]

r - promień wewnętrzny pierścienia[m]

R - promień zewnętrzny pierścienia[m]

I₀=0,5*0,221*[(47,69*10^-3)²+(59,84*10^-3)²]=6,4699*10^-4≈6,470*10^-4

- błąd bezwzględny I₀ policzonego ze wzoru tablicowego [kg m²]

m - masa [kg]

Δm - błąd bezwzględny masy [kg]

r - promień wewnętrzny [m]

Δr -błąd bezwzględny promienia wew. [m]

R - promień zewnętrzny [m]

ΔR -błąd bezwzględny promienia zew. [m]

- moment bezwładności względem dowolnej osi obrotu [kg m²]

T - okres drgań [s]

m - masa [kg]

g - przyspieszenie ziemskie [m/s²]

r - promień obrotu [m]

- błąd bezwzględny I - z metody różniczki logarytmicznej

Aby otrzymać wartość ΔI₀ należy równanie pomnożyć przez I.

- twierdzenie Steinera

I₀ - moment bezwładności względem osi środkowej [kg m²]

m - masa [kg]

r - promień obrotu [m]

- błąd bezwzględny I₀ z tw. Steinera

ΔI - błąd bezwzględny momentu bezwładności [kg m²]

m - masa [kg]

Δm - błąd bezwzględny masy [kg]

r - promień wewnętrzny [m]

Δr -błąd bezwzględny promienia wew. [m]

Wzory wykorzystane do obliczeń dla tarczy :

-stała C [m²]

T_x - okres drgań [s]

g - przyspieszenie ziemskie [m/s²]

d_x - promień obrotu [m]

C₁=0,6904²*9,81*44,95*10^-3-4*π*44,95*10^-3≈0,1848

- metoda szacowania błędu różniczką zupełną dla stałej C [m²]

ΔT - błąd bezwzględny okresu drgań [s]

Δd - błąd bezwzględny promienia obrotu [m]

ΔC₁=2*0,6904*44,95*10^-3*0,077+4*π*44,95*10^-3*0,02+0,6904²*9,81*0,02*10^-3≈0,0006

- moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy [kg m²]

m - masa [kg]

C - stała [m²]

I₀=1,061*0,2212/(4*π²)=5,94484*10^-3≈5,945*10^-3

- metoda szacowania błędu różniczką logarytmiczną dla I₀

ΔC - błąd bezwzględny stałej C [m²]

C - stała C [m²]

Δm - błąd bezwzględny masy [kg]

m - masa [kg]

Aby otrzymać wartość ΔI₀ należy równanie pomnożyć przez I₀.

Inne wzory :

- średnia arytmetyczna

n - liczba pomiarów

x_j - pomiar j-ty

- średni błąd kwadratowy średniej arytmetycznej

n - liczba pomiarów

x - średnia arytmetyczna

x_j - pomiar j-ty

- błąd względny [%]

δ_b - błąd bezwzględny wartości mierzonej

x - wartość mierzona

6. Dyskusja błędów i wnioski:

---