Pomiar pętli histerezy magnetycznej

CEL :

Poznanie metody oscylograficznej pomiaru pętli histerezy i zbadanie kształtu pętli w zależności

od wartości prądu magnesującego.

OPIS TEORETYCZNY :

W strukturze ciał stałych istnieją trwałe momenty magnetyczne, które pod wpływem zewnętrznego pola o natężeniu H ulegają uporządkowaniu. Zjawisko to nazywa się polaryzacją magnetyczną lub

_→

namagnesowaniem. Miarą spolaryzowania ciała jest wektor polaryzacji magnetycznej I .

Polaryzacja magnetyczna ciała zależy od natężenia pola magnetycznego w następujący sposób :

_{→ → →}

I = μ_o(μ_w - 1) H = μ_o ℵ H

Wartość wektora polaryzacji wiąże się z wartością wektora indukcji magnetycznej w próbce wg. zależności

_{→ → → → →}

B = μ_o H + I , a po podstawieniu otrzymujemy B = μ_w μ_o H

W zależności od względnej przenikalności magnetycznej μ_w ciała dzielimy na :

- diamagnetyki - μ_w nieznacznie mniejsze od jednego

- paramagnetyki - μ_w nieznacznie większe od jednego

- ferromagnetyki - μ_w znacznie większe od jednego

W ferromagnetykach, w pewnym przedziale temperatur występuje polaryzacja spontaniczna

_{→ → → → → →}

( H=0 i I=0) i zależność wyrażona liniowo równaniami B = μ_w μ_o H i I = μ_o(μ_w - 1) H jest silnie nieliniowa. Przenikalność magnetyczna tych materiałów osiąga duże wartości i jest silnie zależna od natężenia pola magnetycznego.

W ferromagnetykach momenty magnetyczne sąsiednich atomów na skutek tzw. spontanicznego namagnesowania ustawiają się równolegle wzdłuż jednego kierunku, tworząc obszar zwany domeną.

W ciele stałym tworzy się wiele domen o różnych kierunkach. Procesy przesuwania granic i obrotu domen wraz ze zmianą natężenia pola magnetycznego są procesami mikroskopowymi i przez to bardzo trudnymi do zbadania. Rzeczywistą krzywą namagnesowania wyznacza się przez równoczesny pomiar indukcji magnetycznej i pola wewnątrz ferromagnetyku.

Schemat ideowy układu pomiarowego :

Po podłączeniu zasilania U=U_m sin(ωt) w uzwojeniu pierwotnym popłynie prąd I = I_m sin(ωt+ϕ) ,

_{⌠ →}

Z prawa Ampera wiadomo, że φ H dl = i . Jeśli konturem całkowania jest okrąg (współosiowy pierścień)

_⌠ ^⌡

to φ H dl = 2ΠrH = N_mI ( I - prąd cewki pierwotnej ) , stąd

^⌡

I N_m N_m

H = --------- ( r - średnia średnica pierścienia ) i jeżeli przyjąć k = --------- to możemy napisać H= k I

2Πr 2Πr

Aby sygnał dostarczony do płytek odchylenia poziomego był proporcjonalny do H w obwodzie umieszczono opornik R₁ . Zgodnie z prawem Ohma, przepływający przez niego prąd spowoduje spadek

napięcia U₁ = I R₁ , stąd I = U₁ / R₁ i dalej H= k U₁ / R₁ , i stąd U₁ = H R₁ /k

wynika, że spadek napięcia na oporniku R₁ jest proporcjonalny do natężenia pola magnetycznego H.

Można napisać H = k I_m sin(ωt) = H_m sin(ωt)

Aby wyznaczyć sygnał proporcjonalny do sygnału na płytkach odchylenia pionowego rozpatrzmy uzwojenie wtórne. Zgodnie z prawem indukcji elektromotorycznej Faradaja siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu wtórnym składającym się z N_p zwojów ma postać

dφ _{→ →}

E = - N_p ------ , ( φ - strumień indukcji obejmowany przez jeden zwój ) φ = B dn S

dt _{→ → →}

W rozpatrywanym przypadku cewki toroidalnej wektory B i dn są równoległe ( dn - wektor normalny do powierzchni S ) i S = h ( b - a ) ( h- wysokość , b - a - szerokość próbki ) , stąd

dB

φ = B h ( b - a ) i E = - N_p h (b - a)------ indukcja ma stałą wartość w całym przekroju, czyli

dt

B = μ_o μ_r H_śr = const

Napięcie na zaciskach uzwojenia jest proporcjonalne do pochodnej B po czasie t . Ponieważ do płytek odchylenia pionowego oscyloskopu należy przyłożyć sygnał proporcjonalny do indukcji B w układzie pomiarowym zastosowano układ całkujący zbudowany na oporniku R₂ i kondensatorze C.

Z definicji pojemności mamy C = q/U₂ i dq dU₂

------ = C -------- = i

dt dt (q - ładunek zgromadzony na kondensatorze )

Na podstawie prawa Ohma otrzymujemy U_w = R₂ i + 1/C ∫ i dt , ale zakładając, że R₂ i C są odpowiednio duże równanie to możemy uprościć do postaci U_w = R₂ i , z czego i = U_w / R_{2 .}

Ponieważ w obwodzie wtórnym prąd nie zmienia się , więc

U_w/R₂ = C dU₂ /dt , czyli U₂ = 1/R₂ C ∫U_w dt

i ponieważ U_w = E to

U₂ = -- B N_p h (b - a) / R₂ C

Widać stąd, że U₂ jest proporcjonalne do indukcji B i może być podłączone do płytek odchylenia pionowego.

1.Obliczam maksymalną względną przenikalność magnetyczną dla permalloju.

Ponieważ trudne jest jednoznaczne określenie dla jakiej warości napięcia zasilającego układ pomiarowy uzyskałem ową poszukiwaną wartość, tworzę sztuczną funkcję przypisującą warościom napięć obliczone dla uzyskanych eksperymentalnie dla tych napięć wartości względnej przenikalności magnetycznej obliczane ze wzoru :

Dla punktów pomiarowych otrzymałem wartości :

Lp	Utrans	μ	B	H
1 2 3 4 5 6 7 8	90 80 70 60 50 40 30 20	38670 43310 45810 43560 36780 46120 32220 24290	0.322 0.514 0.707 0.900 1.340 1.501	6.617 9.453 12.289 16.449 33.087 49.157

Dwa spośród powyższych wyników, dla wartości napięcia 60V oraz 70V pozwoliłem sobie odrzucić w dalszych obliczeniach, gdyż na pomiary dla nich prowadzone były na granicy zakresu miernika i powstały zbyt wielkie przekłamania. Pozostałe sześć punktów aproksymowałem metodą najmniejszych kwadratów, za pomocą programu MATHCAD krzywą

u = 0.1 U_trans

μ(u)=42.848*u³ -- 1669*u² + 11900*u + 21370

i otrzymałem średnie odchylenie kwadratowe równe δs=616.172

Z analizy wykresu funkcji μ(u) w przedziale <2;9> otrzymałem jej największą w nim wartość, odpowiadającą maksymalnej względnej przenikalności magnetycznej permalloju :

μ_m = 45100

Następnie aproksymowałem krzywe H(u)= 0.225*x³ --2.827*x²+14.025*x -- 14.409

B(u)= 0.166*x + 0.024

dla odpowiadających sobie wartości U_trans oraz H i B , liczonych ze wzorów :

średnie odchylenia kwadratowe aproksymacji wynosiły odpowiednio

δ_Hm = 0.886 δ_Bm = 0.029

Żdane wartości Hm oraz Bm otrzymałem podstawiając do funkcji H(u) oraz B(u) wartość u otrzymaną z analizy funkcji μ(u).

Hm = 13.422 Bm = 0.731

Rachumek błędów :

Błąd bezwzględny dla elektrucznych mierników wskazówkowych określa zależność :

gdzie k=2.5% - klasa dokładności miernika , xn - zakres pomiarowy

ΔE=0.025*6V=0.15V

ΔI =0.025*15mA=0.000375A

ΔHm=0.709+0.886=1.595 [H]

ΔBm=0.032+0.029=0.061 [T]

Procentowy względny błąd pomiaru :

δ_Es=0.15/4.75=0.032=3.2%

δ_Is =0.000375/0.0109=0.034=3.4%

δ_Bm=0.061/0.731=0.083 =8.3%

δ_Hm=0.709/13.422=0.053=5.3%

=0.084=8.4%

Δμ =μ_m*δ_μ=3788

Wyniki pomiarów dla permalloju:

Bm =( 0.731 ± 0.061 )T

Hm =( 13.4 ± 1.6 ) H

μ =( 45100 ± 3800 )

2.Obliczam szacunkową wartość Br oraz Hc dla permalloju.

Wartość Br i Hc liczyć będę na podstawie proporcji z tabelki, uśredniając odpowiednie wartości.

Hm -- 4.25 Hc -- 2.75

Hc = 0.647 * Hm = ( 8.7 ± 1.0 ) H

Bm --- 10.0 Br -- 7.0

Br = 0.7 * Bm = ( 0.512 ± 0.043 ) T

3.Obliczam maksymalną względną przenikalność magnetyczną dla ferrytu.

Postępuję analogicznie, jak w przypadku permalloju. Wartość względnej prznikalności magnetycznej jest jednak w tym przypadku liczona na podstawie nieznacznie zmienionego wzoru :

Dla punktów pomiarowych otrzymałem wartości :

Lp	Utrans	μ	B	H
1 2 3 4 5 6	130 120 110 100 90 80	137.007 164.916 189.653 197.899 197.899 183.240	0.084 0.078 0.072 0.066 0.056 0.047	490.261 377.124 301.699 263.987 226.274 203.647

Podane sześć punktów aproksymowałem metodą najmniejszych kwadratów, za pomocą programu MATHCAD krzywą

u = 0.1 U_trans

μ(u)=0.303*u³ -- 15.106*u² + 205.872*u -- 652.114

i otrzymałem średnie odchylenie kwadratowe równe δs=1.073

Z analizy wykresu funkcji μ(u) w przedziale <8;13> otrzymałem jej największą w nim wartość, odpowiadającą maksymalnej względnej przenikalności magnetycznej ferrytu :

μ_m=200.028

Następnie aproksymowałem krzywe H(u)= 10.775*x² -- 171.322*x -- 890.012

B(u)= 0.007*x -- 0.011

dla odpowiadających sobie wartości U_trans oraz H i B , liczonych ze wzorów :

średnie odchylenia kwadratowe aproksymacji wynosiły odpowiednio

δ_Hm = 8.063 δ_Bm = 0.001

Żdane wartości Hm oraz Bm otrzymałem podstawiając do funkcji H(u) oraz B(u) wartość u otrzymaną z analizy funkcji μ(u).

Hm = 237.268 Bm = 0.060

Rachumek błędów

Błąd bezwzględny dla elektrucznych mierników wskazówkowych określa zależność :

gdzie k=2.5% - klasa dokładności miernika , xn - zakres pomiarowy

ΔE=0.025*6V=0.15V

ΔI =0.025*15mA=0.000375A

ΔHm=14.0142+8.063=22.205 [H]

ΔBm=0.0009+0.001=0.002 [T]

Procentowy względny błąd pomiaru :

δ_Es=0.15/9.75=0.015=1.5%

δ_Is =0.000375/0.013=0.028=2.8%

δ_Bm=0.002/0.060=0.033 =3.3 %

δ_Hm=22.205/237.268=0.093=9.3%

δ_μ =0.033=3.3%

Δμ=μ_m*δ_μ=6.668

Wyniki pomiarów dla permalloju:

Bm =( 0.060 ± 0.002 )T

Hm=( 237 ± 22 ) H

μ =( 200 ± 6.7 )

4.Obliczam szacunkową wartość Br oraz Hc dla ferrytu.

Wartość Br i Hc liczyć będę na podstawie proporcji z tabelki, uśredniając odpowiednie wartości.

Hm -- 8.25 Hc -- 2.0

Hc = 0.242 * Hm = ( 57.5 ± 5.3 ) H

Bm --- 10.5 Br -- 3.75

Br = 0.357 * Bm = ( 0.0142 ± 0.0007 ) T

5. Wnioski

Wynik nie jest obarczony zbyt dużym błędem systematycznym. Na występujący błąd ma wpływ zużycie sprzętu, odczyty wartości z oscyloskopu są bardzo niedokładne i niejednakowe. Praktycznie na ich podstawie można określać jedynie związki między funkcjami, a nie dokładne wyniki.

Błędy są również uzależnione od wartości prądu i napięcia, a one z kolei są uwarunkowane niedokładnością połączeń i styków oraz zmianami, jakim podlega układ w czasie pracy (ogrzewanie się), dało to o sobie szczególnie znać w przypadku dwóch pomiarów dla permalloy`u.

Na błędy pomiarów nałożyły się dodatkowo, co prawda nie większe od tych pierwszych, ale tym niemniej mające swoje znaczenie, błędy aproksymacji.

Sumaryczny błąd utrzymany jest jednak na poziomie pozwalającym w dużym stopniu zaufać otrzymanym rezultatom.

---