Probabilistyka:

Ω - przestrzeń zdarzeń elementarnych;

ω - element - zdarzenie elementarne.

Klasa zbiorów probabilizowalnych dla których określone jest prawdopodobieństwo .

Def. Klasa B zbiorów Borelowskich:

Klasę wszystkich zbiorów, które można otrzymać z przedziałów otwartych za pomocą skończonej lub przeliczalnej liczby operacji sumy i iloczynu. W szczególności (a,b); <a,b); (a,b>; (-∞,b); (-∞,b>; (a,+∞); <a,+∞), wszystkie zbiory przeliczalne jednopunkt., otwarte, domknięte, cała prosta, zbiór ∅.

Prwdopodobieństwo:

Aksjomat 1. Dla każdego zdarzenia A∈M zachodzi: 0 ≤ P(A) ≤ 1

Aksjomat 2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1 ⇒ P(Ω)=1

Aksjomat 3. Prawdopodobieństwo sumy przeliczalnej ilości parami rozłącznych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

A₁ , A₂ ,… ∈ M przy czym A_i ∩ A_j = ∅; i≠j

P(A₁∪A₂∪A₃…)= P(A₁)+ P(A₂)+ P(A₃)+…

Przestrzeń probabilistyczna:

Trójkę (Ω,M,P) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.

Zmienna losowa:

Niech (Ω,M,P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową X nazywamy każdą funkcję o wartościach rzeczywistych określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω, mającą tę własność, że dla każdego zbioru borelowskiego A z prostej R (osi rzeczywistej) X^-1(A)∈M, gdzie:

X^-1(A)={ω:X(ω)∈A}

X:Ω→R - zmienna losowa.

Rozkładem zmiennej losowej:

Niech (Ω,M,P) będzie przestrzenią probabilistyczną, a X - zmienną losową określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω. Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy rozkład P_x określony na klasie B zbiorów borelowskich prostej R następującym wzorem:

P_x(A)=P{X^-1(A)}=P({ω:X(ω)∈A})

Dystrybuanta:

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F(x) zmiennej rzeczywistej x określoną wzorem:

F(x)= P_x((-∞,x))= P({ω:X(ω)<x})= P(X<x).

Własności Dystrybuanty:

Dystrybuanta F(x) ma następujące własności:

1. 
   

2. Dystrybuanta F(x) jest funkcją niemalejącą.

3. Dystrybuanta F(x) jest funkcją lewostronnie ciągłą:
   

Tw. Dysterybuanta wyznacza…

Dystrybuanta F(x) zmiennej losowej x wyznacza jednoznacznie rozkład Px tej zmiennej losowej.

Zmienna losowa typu dyskretnego:

Jeżeli istnieje skończony lub przeliczalny zbiór liczb Sx={x₁,x₂,x₃,…} taki, że:

gdzie P(X=x_i)=p_i≠0 to mówimy, że zmienna losowa jest typu skokowego.

• Rozkład Px nazywamy skokowym.

• Liczby x_i ; i=1,2,… nazywamy punktami skokowymi zmiennej losowej X, albo rozkładu Px.

• Prawdopodobieństwa p._i nazywamy skokami zmiennej losowej X, albo rozkładu Px.

Tw. Zmienna losowa typu skokowego:

Zmienna losowa X jest typu skokowego ⇔

Σ_i [ F(x_i⁺) - F(x_i)] =1; gdzie F(x) - jest dystrybuantą zmiennej losowej X, natomiast x_i są wszystkimi punktami nieciągłości F(x).

Zmienna losowa typu ciągłego:

Jeżeli istnieje f(x)≥0, że dla każdego x dystrybuanta określona jest wzorem:

to mówimy, że zmienna losowa x jest typu ciągłego. Rozkład Px zmiennej losowej x nazywamy w tym przypadku nazywamy rozkładem ciągłym, f(x) - gęstością prawdopodobieństwa (gęstością zmiennej losowej x, lub jej rozkładu Px).

Własności gęstości:

1. dla każdego x∈R f(x)≥0

2. 
   

Dla zmiennej losowej X typu ciągłego zachodzą następujące wzory:

Tw. Jeżeli dystrybuanta F(x) zmiennej losowej x jest ciągła i różniczkowalna poza skończoną liczbą punktów to zmienna losowa x jest typu ciągłego, a jej gęstość f(x) określamy wzorem:

Def. Wartość oczekiwana zmiennej losowej typu skokowego:

Niech x-zm. Losowa typu skokowego o rozkładzie P(X=x_i), i=1,2,… Wartością oczekiwaną tej zmiennej losowej nazywamy liczbę określoną wzorem

EX=Σ_ix_ip._i o ile ostatni szereg jest bezwzględnie zbieżny.

Wartość oczekiwana zmiennej losowej typu ciągłego:

Niech x- zm. Losowa typu ciągłego o gęstości f(x). Wartością oczekiwaną tej zmiennej losowej nazywamy liczbę określoną wzorem

o ile ostatnia całka jest bezwzględnie zbieżna.

Wariancja.

Wariancją zmiennej losowej x nazywamy liczbę określoną wzorem:

Odchylenie standardowe:

pierwiastek z wariancji - odchylenie standardowe:

Zmienna losowa standaryzowana:

Niech X - dowolna zmienna losowa o wartości oczekiwanej m=EX i wariancji σ²; gdzie σ>0. Zmienną losową Y określoną wzorem

nazywamy zmienną losową standaryzowaną.

Zmienna losowa dwuwymiarowa:

Niech (Ω, P) będzie przestrzenią probabilistyczną i niech X, Y będą dwiema zmiennymi losowymi określonymi na tym samym zbiorze Ω, uporządkowaną parę ω=(X,Y)nazywamy dwuwymiarową zmienna losową.

Rozkład zmiennej losowej dwuwymiarowej:

Rozkładem dwuwymiarowej zmiennej losowej ω - łącznym zmiennych losowych X i Y nazywamy rozkład prawdopodobieństwa P_XY określony na płaszczyźnie R² wzorem:

P_XY(A)=P(ω^-1(A))=P({ω:(X(ω),Y(ω))∈A}) dla A ⊂ C.

Dystrybuanta:

Dystrybuantą dwuwymiarowej zmiennej losowej X, Y ( łączną zmiennych losowych) nazywamy funkcję F(x,y) określoną wzorem: F(x,y) = P(X<x, Y<y).

Zmienna losowa typu ciągłego:

Jeżeli istnieje taka funkcja nieujemna f(x,y)≥ 0, że dla każdej pary (x,y) liczb rzeczywistych dystrybuanta

, gdzie F(x,y) jest dystrybuantą zmiennej losowej (X,Y), to mówimy, że zmienna ta jest typu ciągłego.

Tw. Prawo wielkich liczb Bernoulliego:

Niech Y_n , n=1,2,3… będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym danym wzorem:

, k=0,1,2,…,n; 0<q<1; p+q =1

Wówczas ciąg zmiennych losowych
jest zbieżny wg prawdopodobieństwa do liczby p. tzn.

Tw. Moivre'a - Laplace'a:

Niech Y_n , n=1,2,3… będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym danym wzorem:

, k=0,1,2,…,n; 0<q<1; p+q =1

oznaczmy przez U_n - standaryzowaną zmienną losową o rozkładzie dwumianowym

a przez F_n(u) - dystrybuantę zmiennej losowej U_n; F_n(u)=P(U_n<u), to ciąg dystrybuant F_n(u) jest zbieżny do dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego:

Statystyka

Statystyka:

Statystyką nazywamy każdą funkcję borelowską próby losowej

Y=f(x₁ , … , x_n) f:Rⁿ→R

---