Teoria odwzorowań Odwzorowaniem jednej pow. na drugą nazywamy każdą wzajemnie jednoznacz. odpowiedniość punktową między pow. nazywaną oryginałem a powierzchnią nazwaną obrazem Odwzorowanie nazywamy regularnym, gdy funkcje f i g spełniają warunki: a)każdej parze wartości parametrów u,v przyporządkowują jedną i tylko jedną parę wartości parametrów U,V b)są ciągłe i co najmniej 2-krotnie różniczkowalne c)są wzajemnie niezależne. W odwzorowaniu tym obrazem pkt jest pkt, krzywej - krzywa, kąta - kąt, obszaru - obszar. Jeżeli oryginałem jest cała pow.elipsoidy obrotowej lub jej część to rolę parametrów u,v odgrywają zwykle wsp.elipsoidalne B,L. Jeżeli rolę parametrów U,V odgrywają wsp. prostokątne x,y to f-cje odwzorowawcze mają postać x=x(B,L) y=y(B,L).Jeżeli położenie pkt. na pł. opisują wsp.biegunowe ρ,δ to f-cje odwzorow. mają postać δ=δ(B,L) ρ=ρ(B,L)

Skale i zniekształcenia odwzorowawcze Skala główna mapy -zmniejszenie wszystkich elementów liniowych obrazu płaskiego w stałym stosunku m₀=1/m

Elementarna skala długości stosunek dł. ds nieskończenie małego łuku na obrazie do dł. ds odpowiadającemu mu łuku na oryginale m=ds/ds. Elementarna skala długości w danym odwzorowaniu zależy od współ. B,L określających położenie punktu, i od azymutu A elementu liniowego ds - m= m(B,L,A).Tylko w odwz. równokątnych zależy tylko od współ. punktu. Wartość skali długości mieści się w przedziale (0,∞).

Skala poszczególna m` -stosunek długości nieskończenie małego odcinka na mapie do długości jego odpowiednika na oryginale. Jest ona iloczynem skali głównej mapy m<sub>0</sub> i elementarnej skali dł. m: m`= m₀ m.

Elementarna skala pól -stosunek nieskończenie małego elementu powierzchniowego na obrazie dP do odpowiadającemu mu nieskończenie małemu elementu powierzchn. na oryginale dP. p=dP/dP. W danym odwzor. skala pól zależy od współ. B,L określających poł. pkt.

Zniekształcenie długości Z_m=m-1, a zniekszt. pól Z_p=p-1.

Odwzorowanie elementów powierzchni elipsoidy obrotowej na płaszczyznę Elementarny czworobok krzywoliniowy- jest zawarty między dwoma południkami i równoleż. będącym wycinkiem powierzchni elipsoidy obrotowej. RYS 20

można traktować go jako figurę płaską leżącą w płaszczyźnie stycznej do elipsoidy w pkt.P₁ ponieważ różniczki dB i dL są nieskończenie małe. ds₁=MdB, ds₂=rdL=NcosBdL więc ds²=ds₁²+ds₂²=(MdB)²+(rdL)².

tg A=ds₂/ds₁=rdL/MdB

Kąt θ między południkiem a równoleżnikiem wynosi 90^o wzór na pole elementarnego czworoboku wynosi dP=ds₁ds₂=M*rdBdLRYS 21

Obrazem elementu liniowego ds będzie element ds wyrażony wzorem ds²=dx²+dy² H²=EG-F² Posługując się wielkościami E,F,G gdzie E=(δx/δB)²+(δx/δ B)²F=(δx/δB*δx/δL)+ (δy/δB*δy/δL)G=(δx/δL)²+(δy/δL)² H= (δx/δB*δy/δL)-(δx/δl*δx/δB) Łatwo można spr.że H²=EG-F² Posługując się wielkościami E,F,G możemy obl. długość elementu liniowego ds²=Edb²+ 2FdbdL +GdL² Długość elementarnego łuku południka otrzymamy przyjmując w odwzorowaniu dL=0 to ds₁=(√E)dB a długość równoleżnika ds₂=(√G)dL. Skala dł. w kierunku południków m_B=ds₁/ds₁=(√E)/M. a w kierunku równoleż. m_L=ds₂/ds₂=(√G)/r Kątψ₁jest szczególnym przypadkiem kątaψ gdy dL=0 tgψ₁= (δy/δB)/(δx/δB) ψ₂ jest natomiast szczególnym przypadkiem ψ gdy dB=0 tgψ₂= (δy/δL)/(δx/δL) Wynika że kąt θ będący obrazem kąta θ=90⁰ równa się różnicy ψ₂-ψ₁ więc tgθ=tg(ψ₂-ψ₁)

Odwzorowanie jest równokątne, jeżeli w każdym punkcie odwzorowywanego obszaru dowolny azymut A odwzorowuje się bez zniekształcenia, tzn. A≡A. Warunki równokątności F=0 i jednocześnie (E/H)*(r/M)=1.

ctgA=(m_BctgA/m_Lsinθ)+ctgθ

Po przekształceniach: odwz. jest równokątne jeżeli spełnione są jednocześnie dwa warunki: 1.obrazy południków przecinają się z obrazami równoleżników pod kątem prostym θ=90^o; 2.w każdym punkcie skala długości w kierunku południków jest równa skali długości w kierunku równoleżników m_B=m_L

Postacie różniczkowe warunku równokątności ∂x/∂L=-r∂y/M∂B; ∂y/∂L=+r∂x/M∂B

Wz na pole czworoboku elementarnego dP=ds₁ds₂sinθ i na skalę pól

P=(ds₁ds₂sinθ)/(ds₁ds₂).

Przy odwzorowaniach równokątnych skale dł. nie zależą od kierunku.

Warunek równopolowości Odwzorowanie jest równopolowe jeżeli w każdym pkt odwzorowywanego obszaru spełniony jest warunek p=1 czyli m_Bm_Lsinθ=1 lub H=Mr Gdy θ=90^o to m_Bm_L=1 RYS od 22 do 27

Kierunki główne

Na powierzchni elipsoidy są dwi krzywe k1 i k2,przecinają się pod kątem 90st. Na obrazie krzywe te przetną się pod kątem różnym od 90 zwiększając w sposób ciągły azymut A1 zauważamy, że przy pewnej wartości tego azymutu kąt między obrazami kierunków osiąga wartość minimalną <90st. I max >90.Oznacza to, że nastąpił taki moment w którym kąt ten =90. istnieją dwie wart. Azym. A_g czyli A_g1 i A_g2, azymuty te określają położenie K1 i K2 =90, na oryginale i obrazie.

I tw. Tissota W każdym odwzorow. regularnym, nie będącym odwzorow. równokątnym, istnieje na oryginale dokładnie jedna siatka ortogonalnych linii parametrycznych, której obrazem jest także siatka ortogonalna. Kierunki tej siatki nazywamy kierunkami głównymi. Nie są one określone gdy odwzorowanie jest równokątne. Gdy obrazy południków i równoleż. przecinają się pod kątem prostym (θ=90^o) wówczas kierunki główne pokrywają się z nimi. Wzory na azymuty w kierunkach głównych oryginału i obrazu tg2A_g=(2m_Bm_Lcosθ)/(m_B²-m_L²); Po przekształceniach tg2A_g=(m_L²sin2θ)/(m_B²+m_L²cos2θ)

Skala długości w kierunkach głównych.

Kwadrat skali długości można wyrazić wzorem:m²=ds²/ds²=(EdB²+2F dBdL+GdL²)/(M²dB²+r²dL²) , dzielimy licznik i mianownik przez dL² mamy: m²=E(dB/dL)²+2F(dB/dL)+G/M²(dB/dL)²+r² (#). Stosunek dB/dL zależny od azymutu A elementu ds obl.: dB/dL=r/M ctgA ,podstawiając to do wz.(#) mamy:

m²=[E*r²/M²ctg²A+2F*r/MctgA+G]/[r²ctg²A+r²] , ponieważ r²ctg²A+r²=r²(ctg²A+1)=r²/sin²A ostatecznie otrzymujemy :m²=E/M²cos²A+F/Mr sin2A+G/r²sin²A ,z wz.wynika że skala dł. m zależy od E,F,G i azym. A . Skala dł. w kierunku południków: m_B=√E /M E=(δx/δB)²+(δy/δB)², Skala dł. w kier. równoleżników: m_L=√G /r G=(δx/δL)²+(δy/δL)². Z powyższych wzorów otrzymujemy m²= m_B²cos²A+m_Bm_Lcosθsin2A+m_L²sin²A Skala długości jest funkcją okresową azymutu o okresie 180^o. W pełnym zakresie azymutów, od A=0^o do A=360^o, skala m będzie osiągała 2 razy tę samą wartość max i 2 razy tę samą wartość min

Ekstremalne skale długości występują w kierunkach głównych tg2A_e=(m_Bm_Lsinθ)/(m_B²-m_L²) e -ekstremalne wartości skali W odwz. równokątnych kierunki gł. nie są określone dlatego skala dł.w danym pkt. nie zależy od kierunku

Elipsa zniekształceń RYS 28,29

pamiętaj o jednostce do II Tissota

(wskaźnica Tissota) II tw Tissota „Obrazem graficznym skal długości we wszystkich kierunkach wyprowadzonych z danego punktu jest elipsa o półosiach równych skalom długości w kierunkach głównych”.

Wskaźnica Tissota ma postać (x^'2/a²)+(y^'2/b²)=1Rys Określenie skali długości jako funkcji kąta B opisuje wzór m²=a²cos²B+b²sin²B Do równania elipsy podstawiamy wartości współ. x'=ds*cosB i y'=ds*sinB Uwzględniając ds/ds=m to otrzymujemy 1/m²=(cos²B/a²)+(sin²B/b²) Skale a,b otrzymujemy z zależności

a+b=√(m_B²+2m_Bm_L sinθ +m_L²);

a-b=√(m_B²-2m_Bm_Lsinθ+m_L²)

Zniekształcenie kątowe jest to największa różnica, co do wartości bezwzględnej, między kątem na obrazie a odpowiadającym mu kątem na oryginale ω=max|α-α| Zniekształcenie kątowe ma postać sin(ω/2)=(a-b)/(a+b). RYS 30

Wsp. izometryczne Zakładamy, że pow. opisana jest równaniami X=X(u,v); Y=Y(u,v); Z=Z(u,v) Długość elementarnego łuku ds na tej powierzchni można wyrazić wzorem(*)ds²=Edu²+2Fdudv+Gdv² Współ. krzywoliniowe u,v są współ. izometrycznymi jeżeli długość elementarnego łuku ds na danej powierzchni można wyrazić wzorem (**) ds²=μ(du²+dv²), gdzie μ jest dowolną, dodatnią funkcją u,v Gdy porównamy wzory (*)i(**) to stwierdzimy, że jeżeli współ. u,v są współ. izometrycznymi, to zachodzą zależności F=0; E=G=μ² Współ. krzywoliniowe u,v są współ. izometrycznymi jeżeli spełniają 2 warunki: 1.Siatka współ. u,v jest siatką ortogonalną 2.Przesunięcie ds wywołane zmianą współ. u o du=ε, jest równe przesunięciu ds wywołanemu zmianą współ. v o dv=ε, gdzie ε jest nieskończenie małą dowolnie obraną liczbą.

Badanie izometryczności współ. B,L Siatka południków i równoleżników jest ortogonalna (spełniony warunek 1). Wzór na dł. elementarnego łuku na elipsoidzie ma postać (@)ds²=M²dB²+N²cos²BdL² Dla dB=ε i dL=0 otrzymamy ds²=M²ε², zaś dla dB=0 i dL=ε ds²=N²cos²Bε² (nie spełniony war 2), więc współ. elipsoidalne B,L nie są współ. izometrycznymi. Przekształcając wzór (@) i podstawiając w miejsce współ. B nową współ. q taka, że dq= MdB/(NcosB) to otrzymamy ds²=N²cos²B(dq²+dL²) Porównując ten wzór ze wzorem (**) stwierdzamy, że współ. q,L są współ. izometrycznymi Współrzędna q : q= ₀∫^B M/NcosB*dB , drugą wsp. L-dług. elipsoidalna-wygodniej zastąpić różnicą dł. elipsoidalnych l, liczoną od wybranego południk L₀: l=L-L₀

Warunki równokątności odwzorowania w przypadku stosowania współ. izometrycznych Warunki równokątności odwzorowania elipsoidy obrotowej na płaszcz.: ∂x/∂L=-r∂y/M∂B; ∂y/∂L=+r∂x/M∂B Przy wyprowadzeniu funkcji odwzrowawczych odwz. równokątnych możemy posłużyć się sposobem: zastąpić współ. geodezyjne B,L współ. izometrycznymi q,l to otrzymamy ∂x/∂l=-r∂ydq/M∂qdB;

∂y/∂l=+r∂xdq/M∂qdB. Uwzględniając r=NcosB oraz dq/dB=M/(NcosB) to otrzymamy warunki równokątności wyraż. zastosowaniem współ. izometrycznych q,l ∂x/∂l=-∂y/∂q; ∂y/∂l=+∂x/∂q (war. Cauchy'ego - Riemanna).Przy wyprowadzeniu f-cji odwzorowawczych odwz. równokątnych możemy:-zastąpić wsp. geodezyjne B,L wsp. izometrycznymi q,l -wykorzystać funkcję analityczną do przedstawienia związku między współ. prostokątnymi płaskimi x,y i współ. q,l

KLASYFIKACJA ODWZ. KARTOGRAFICZNYCH:

1.Ze względu na charakter występujących zniekształceń odwzorow: równokątne, równopolowe, równoodległościowe w jednym z kierunków głównych, dowolne. 2.Ze wzgl. Na kształt siatki kartograficznej: azymutalne, walcowe, stożkowe. 3. Ze wzgl. na sposób przyłożenia pow.rzutowania: normalne, ukośne, poprzeczne.

Klasyfikacja odwzor. ze względu na kształt siatki kartogr. czyli kształt obrazu siatki geograficznej:Rys

1.Odwz.azymutalne.

Obrazami południków są półproste zbiegające się w obrazie bieguna ziemskiego. Kąty między obrazami południków nie ulegają zniekształceniu i są równe różnicom długości geograficznych południków. RYS 31

λ=0⁰ P(δ,ρ)

Obrazem równoleż. są okręgi współśrodkowe, których środek jest na obrazie bieguna. Równania ogólne odwz. azymutalnych mają postać w ukł. wsp. biegunowych: ρ = ρ(φ), δ = λ.2.Odwz.walcowe.

Obrazami południków są proste lub odcinki równoległe względem siebie i prostopadłe do prostoliniowego obrazu równika. Odległość między obrazami dwóch danych południków jest proporcjonalna do różnicy ich długości geograficznych. Obrazami równoleż. są odcinki równoległe do obrazu równika. RYS 32

Równanie tych odwz. w ukł. wsp. prostokątnych x,y utworzonym przez obrazy południka początkowego i równika: X = x(φ), Y = Cλ.

3.Odwz. stożkowe.

Obrazami równoleż. są łuki okręgów współśrodkowych, obrazami południków są odcinki lub półproste prostopadłe do obrazów równoleżników. Kąty między obrazami połud. są proporcjonalne do różnicy długości geograficznych południków.

RYS 33

Równanie ogólne: ρ = ρ(φ), δ = Cλ.

4.Odwz.pseudoazymtal.

Obrazami równol. są okręgi współśrodkowe, których środkiem jest obraz bieguna ziemskiego. Obrazami połudn. są krzywe zbiegające się w obrazie bieguna, symetryczne wzgl. prostoliniowego obrazu wybranego południka. Równanie ogólne: ρ = ρ(φ), δ = δ(λ,φ). RYS 34

5.Odwz.pseudowalcowe

Obrazem równika i wybranego południka środkowego są wzajemnie prostopadłe odcinki linii prostych. RYS 35

Obrazami równoleż. są odcinki linii prostych, równoległe do obrazu równika. Obrazami połudn. są odcinki krzywych tworzące obraz symetryczny względem obrazu południka środkowego. Obrazem bieguna jest punkt lub odcinek. Równanie ogólne: x = x(φ), y = y(φ,λ).

6.Odwz.pseudostożkowe

Obrazami połudn. są krzywe symetryczne wzgl. prostoliniowego obrazu połudn. środkowego, zbiegające się w obrazie bieguna. Obrazami równol. są łuki okręgów współśrodkowych, których środek leży na tej prostej, na której leży obraz połudn. środkowego. RYS 36

Równanie ogólne: q = const, ρ = ρ(φ), δ = δ(φ,λ). Mogą być traktowane jako szczególne przypadki odwz. pseudostożkowych, występujących wtedy, gdy pkt. W znajduje się w obrazie bieguna Pn.

7.Odwz.wielostożkowe.

Obrazami równol. są łuki okręgów niewspółśrodkowych. Środki tych okręgów leżą na prostej przechodzącej przez odcinek będący obrazem południka środkowego. Obrazem połudn. są łuki krzywych tworzące obraz symetryczny względem obrazu połudn. środkowego. RYS 37

Równanie ogólne: q = q(φ), ρ = ρ(φ), δ = δ(φ,λ).

8.Odwz.koliste.

Stosowane do przedst. w postaci koła obrazu całej powierzchni kuli ziemskiej lub obrazu powierzchni wybranej półkuli. Obrazem równika i południka środkowego są wzajemnie prostopadłe odcinki linii prostych. Obrazami południków są łuki okręgów tworzące obraz symetryczny względem obrazu obrazu południka środkowego. Obrazami równol. są łuki okręgów tworzące obraz symetryczny wzgl. obrazu równika. Środki okręgów znajdują się na tych prostych, na których leżą obrazy południka środkowego i równika. RYS 38

Równanie ogólne: ρ_x = ρ_x(φ), q_x = q_x(φ), ρ_y = ρ_y(λ), q_y = q_y(λ). ODWZOROWANIE POW.ELIPSOIDY OBROTOWEJ NA POW.KULI

OGÓLNE ZASADY ODWZOROWANIA Niektóre odwz.pow. elipsoidy na pł.można łatwo otrzymać , odwzorowując najpierw pow.elipsoidy na pow.kuli a potem pow.kuli na pł.Przy konstruowaniu map drobnoskalowych przyjmuje się że R=6371km W przypad odwz. niewielkiego fragmentu pow.elipsoidy obrot. na pow.kuli przyjmuje się że pr.kuli=śr.pr. krzywizny w pkt.P₀ leżącym w środku odwzorowawczego obszaru R=*M₀N₀ czyli R=(a*1-e² )/(1-e²sin²B₀)Odwz. pow.elipsoidy na pow. kuli wykonuje się tak aby równoleżniki odwzorowywały się na równoleżniki połud na południki λ=λ(L) ϕ=ϕ(B) Obrazem elementarnego czworoboku krzywoliniowego na elipsoidzie będzie elementarny czworobok na kuli RYS Kat θ na elipsoidzie i jego obraz na kuli=90⁰a zatem siatka południków i równolezników jest siatką krzywych gł. a kierunki tej siatki to kierunki gł.Skale dł. m_B i m_Lokreślamy m_B=ds₁/ds₁=Rdϕ/MdB m_L=ds₂/ds₂=Rcosϕdλ/NcosBdL

Odwzorowanie równokątne pow. elipsoidy na pow. kuli Pierwszy warunek równokątności odwz. o postaci θ=90⁰ jest spełniony dzięki przyjęciu f-cji odwzorowawczych λ=λ(L) ϕ=ϕ(B) drugi warunek ma postać m_B=m_lczyli Rdϕ/MdB =Rcosϕdλ/ NcosBdL

Szerokośćϕ zależy jedynie od B dlatego dλ/dL musi być wielk. stałąα α= dλ/dL Związek między λ i L przyjmuje postać λ=αL+c_λ stawiając war.aby południk początkowy na elips. L=0 się południk początkowy na kuli λ=0 otrzymamy c_λ=0 więc λ=αL wz.na skalę dł. w tym odwz. to m.=Rcosϕ/NcosB

Odwzorowanie równopolowe pow. elipsoidy na pow. kuli. Załóżmy ,że promień R kuli obliczono według wzoru R=a√(1-e²)[1+2/3e²+3/5e⁴+4/7e⁶+...] =a[1-1/6e²-17/360e⁴-67/3024e⁶-...]. warunek równopolowości odwzorowania ma postać m_Bm_L=1 czyli R²/MN*cosφ/cosB*dφ/dB*dλ/dL=1. Aby zapewnić odwzorowanie całej powierzchni elipsoidy na powierzchnię kuli, należy przyjąć, że dλ/dL=1.Warunek równopolowości możemy przedstawić w postaci równania różniczkowego: R²cosφdφ=MncosBdB , po kolejnych przekształceniach i redukcjach otrzymujemy wzór na skalę dł. w kier. poł. : m_B=1+e²/6cos²B. Skalę m_L otrzymamy jako odwrotność skali m_B m_L=1/m­_B=1-e²/6cos²B. Największe zniekształcenie długości wystąpią na równiku.

ODWZ.AZYMUTALNE KULI

PERSPIKTYWICZNE ODWZ. AZYMUTALNE NORMALNE

Powstają one przez rzutowanie pkt. pow. kuli na pł. promienie rzutujące zbiegają się w jednym pkt. zwanym środkiem rzutów. RYS Dla określonego odwzorowania odl. D przybiera konkretną wartość, a promień ρ zależy tylko od szerokości geograficznej φ odwzorowywanych pkt. ρ=ρ(φ)

Umieszczając środek rzutów w środku kuli, otrzymujemy odwz. gnomoniczne, w którym promień ρ obrazu równoleżnika obliczamy: ρ=Rctg φ. Umieszczając śr. rzutów w przeciwległym, biegunie względem pkt. styczności-odwz stereograiczne ρ: ρ=2R cosφ/sinφ+1. Umieszcz. śr. rzut. na osi biegunowej w nieskończoności- odwz. ortograficzne- ρ: ρ=R cosφ RYS

OGOLNA TEORIA ODWZOROWAŃ AZYMUTALNYCH NORMALNYCH KULI W układzie wsp. biegunowych, którego początek to obraz bieguna, a oś podstawowa to obraz południka początkowego , funkcje odwzorowawcze wszystkich odwzorowań azymutalnych normalnych kuli mają następującą postać:

Szerokość geograficzną φ zastępujemy odległością biegunową б, liczoną od bieguna geograficznego: б=90^o-φ . A zatem promień ρ obrazu równoleżnika można wyrazić jako funkcję odległości biegunowej б : ρ=ρ(б) . W określonym przedziale [0, б_max] argumentu б funkcja ρ(б) powinna być ciągła i różniczkowalna. Dla argumentu б=0 funkcja ρ(б) powinna przyjmować wartość 0. Jakobian funkcji odwzorowawczych , mający postać

powinien być różny od zera, a więc pochodna dρ/dб nie może przyjmować wartości 0. W odwzorowaniach użytkowych funkcja ρ(б) jest rosnąca, dlatego dρ/dб >0 . Początek układu współrzędnych prostokątnych N'xy pokrywa się z obrazem bieguna geograficznego, a oś x pokrywa się z obrazem południka początkowego. Współ. prostokątne x,y pkt. P' wyraża się wzorami : x=ρ(б)cosλ, y=ρ(б)sinλ. RYS 39

Wielkości E,F,G oblicza się: E=(δx/δσ)²+(δy/δσ)²= (δρ/δσ)²cos²λ+(δρ/δσ)²sin²λ=(δρ/δσ)² F=(δx/δσ)(δx/δλ)+(δy/δσ)(δy/δλ)=(δρ/δσ)cosλ(-ρsinλ)+(δρ/δσ)sinλ (ρcosλ)=0 G=(δx/δλ)²+(δy/δλ)²= (-ρsinλ)²+(ρcosλ)²=ρ²

Wielkość F jest równa 0 dla wszystkich wartości б i λ, co prowadzi do wniosku, że linie parametryczne б,λ, a więc południki i równoleżniki są krzywymi głównymi, a kierunki południków i równoleżników są kierunkami głównymi.

Skale dł. w kierunkach głównych można obliczyć za pomocą wzorów : - w kierunku południków: m_б=(√E)/R, a w kierunku równoleżników: m_λ=(√G)/r

ODWZ. AZYM. NORM. RÓWNOODL EGŁOŚCIOWE KULI odwzorowanie równoodległościowe musi spełniać warunek: m_б=1 czyli 1/R*dρ/dб=1 Rozwiązując to równanie różniczkowe, otrzymujemy kolejno: dρ=R*dб , ρ=Rб+C. .Stała C przyjmuje wartość 0, ponieważ dla б=0 powinno zachodzić ρ(б)=0, ostatecznie ρ=Rб .Skala długości w kierunku równoleżników jest w tym odwzorowaniu określona jest wzorem: m_λ=ρ(б)/Rsinб=Rб/Rsinб=б/sinб Odwzorowanie równoodległościowe z kierunku równoleż musi spełniać warunek: m_λ=1 czyli ρ(б)/Rsinб=1. Rozwiązaniem tego równania jest ρ=Rsinб po uwzględnieniu ,że φ=90^o-б ,stwierdzamy że poszukiwane odwz. jest odwzorowanie ortograficznym. Skalę długości w kierunku południków w tym odwz. określa wzór: m_б=1/R*dρ/dб=cosб

ODWZ. AZYM. NORM. RÓWNOKĄTNE KULI Wyprowadzając funkcję odwzorowawczą ρ=ρ(б) odwz. równokątnego, korzystamy z warunków równokątności : pierwszy, mający postać θ=90^o,jest spełniony , ponieważ w odwzorow. azymutal. normalmych obrazy połud. i równoleżników przecinają się pod kątem prostym ; drugi , mający postać m_б=m_λ prowadzi do takiego równ. różniczkowego: 1/R*dρ/dб=ρ/Rsinб . Rozwiązanie tego równania wymaga rozdzielenia zmiennych dρ/ρ=dб/sinб oraz całkowania lewej i prawej strony ln ρ=ln tg б/2+ln C .Ostatecznie ρ=C tg б/2 .Wzór ten przedstawia rodzinę odwz. równokątnych, różniących się wartością stałej C. Korzystając ze wzorów na skalę dł. otrzymujemy wzór na skalę długości: m=C/2Rcos² б/2 .Skala dł przyjmuje dla bieguna (б=0) wartość C/2R .Stawiając warunek m(0)=1 otrzymujemy: C=2R .Po uwzględnieniu wartości stałej C w odpowiednich wzorach mamy: ρ=2R tg б/2 , m=1/cos² б/2 .Porównując wzory m=1/cos² б/2 i ρ=2R cosφ/sinφ+1 i uwzględniając, że φ=90^o-б, możemy stwierdzić, że odwz. stereograficzne jest odwz. równokątnym.

ODWZ. AZYMUT. NORM. RÓWNOPOLOWE KULI Odwzorowanie równopolowe musi spełniać warunek: m_бm_λ=1 czyli 1/R*dρ/dб*ρ/Rsinб=1. Rozwiązanie ego równania sprowadza si do uporządkowania zmiennych: ρ dρ=R²sinб dб i całkowania jego lewej i prawej strony: ρ²/2=-R² cosб+C , ρ²=-2R² cosб+2C .Stałą C należy dobrać tak, aby dla б=0 otrzymać ρ=0. A zatem C=R². Wobec tego ρ²=-2R² cosб+2R²(1-cosб)=4R²sin²б/2 i ostatecznie ρ=2Rsin б/2 .Skale długością są określone wz: m_ρ=cos б/2 , m_λ=1/cos б/2 ODWZ.AZYMUTALNE UKOŚNE I POPRZECZNE We wszystkich rozważanych odwz. azymutal. Normalnych skala dł.=1w biegunie geograficznym jest to pkt.styczności pł.i kuli (pkt. gł. odwz. azym) W miarę oddalania się od pkt. styczności skale dł. coraz bardziej odbiegają od 1.Odwz. azymut. Poprzeczne i normalne kuli można traktować jako szczególne przypadki odwz. ukośnych. Zastępujemy tu dł.geograficz. λ azymutem α oraz odl.biegunową σ odl. zenitalną ζ RYS Wsp. azymutalne α, ζ obl. cosζ=sin

ϕ₀sinϕ+cosϕ₀cosϕcos(λ-λ₀) sinα=[sin(λ-λ₀)cosϕ]/sinζ. Wsp prostokątne obl x=ρcosα y=ρsinα Krzywymi gł.w odwz. azymutalnych ukośnych i poprzeczn. Są koła wielkie przechodzące przez pkt. gł. odwz. zwane wertykałami oraz koła małe prostopadłe do wertykałów zwane almukantarami. Po zastąpieniu wsp.λ,σ przez wsp.α,ζ wprowadzono następ. wz.ρ=2Rsin(ζ/2) m_ζ=cos(ζ/2)-skala dł.w kierunku wertykałów m_α=1/cosζ/2-skala dł.w kier. almukantarów

ODWZ. WALCOWE KULI

OGÓLNA TEOTIA ODWZ. WALCOWYCH NORMALNYCH KULI Odwzorowania walcowe normalne kuli powstają przez rzutowanie punktów powierzchni kuli na powierzchnie boczną walca, którego oś pokrywa się z osią obrotu Ziemi. Środek rzutów zawsze znajduje się na osi walca, ale jego położenie na osi walca zależy od zastosowanych funkcji odwzorowawczych i od szerokości geograficznej rzutowanego pkt. Skale długości w kierunku połud. i równoleż. są wyrażone wzorami: m_φ=(E)^1/2/R=1/R*dx/dφ m_λ=(G)^1/2/Rcosφ=1/cosφ .

ODWZ. WALC. NORMALNE RÓWNOODLEGŁOŚCIOWE KULI Podstawiając warunek m_φ=1 otrzymamy odwz. równoodległościowe w kierunku południków. Gdy uwzględnimy : m_φ=(E)^1/2/R=1/R*dx/dφ ,wówczas otrzymamy równanie różniczkowe: 1/R*dx/dφ=1 ,które należy rozwiązać następująco: dx=Rdφ ; x=Rφ=C_x . Jeżeli przyjmiemy, że obraz równika ma leżeć na osi y to stała C_x przyjmie wartość 0. Ostatecznie funkcje odwzorowawcze przyjmują następującą postać: x=Rφ , y=Rλ .W tym odwzorowaniu siatka kartograficzna na postać siatki kwadr. Skala pól: p=1/cosφ ; zniekształcenie kątowe: sin_ω/2=m_λ-1/m_λ+1=1-cosφ/1+cosφ=tg² φ/2 Odwz.walcowe normalne równoodległ. kuli w kierunku równoleżników nie istnieje, ponieważ m_λ=1 tylko na równiku .RYS

ODWZ. WALC. NORMALNE RÓWNOKĄTNE KULI Obrazy połud. przecinają się z obrazami równoleż. pod kątem prostym we wszystkich odwz. walcowych normalnych, spełniony jest pierwszy warunek równokątności. Drugi staje się, po uwzględnieniu m_φ=(E)^1/2/R=1/R*dx/dφ m_λ=(G)^1/2/Rcosφ=1/cosφ równ. różniczkowym: 1/R*dx/dφ=1/cosφ .Rozwiązanie tego równania wymaga uporządkow zmiennych: dx=R*dφ/cosφ i scałkowania obu stron: x=R ln tg(π/4+φ/2)+C_x .Aby obraz równika (φ=0) leżał na osi y (x=0), to stała C_x musi przyjąć wartość 0.Ostatecznie x=R ln tg(π/4+φ/2) , y=Rλ .Takie funkcje nazywamy funkcjami odwzorowawczymi odwzorow. Merkatora. Odwz. to jest szeroko stosowane w nawigacji, bo odcinek linii prostej łączącej dwa pkt. na mapie tworzy z obrazami połudn. stały kąt równy azymutowi trasy. Odcinek ten to obraz linii krzywej na oryginale tzw. loksodromą. Loksodroma nie jest najkrótszą linią łączącą dwa wybrane pkt. ale azymut w każdym jej pkt. jest stały. Ortodroma-wycinek łuku koła wielkiego nie ma tej ważnej cechy. Skala dłg. w odwz. Merkatora: m=1/cosφRYS

ODWZ.WALC. NORMALNE RÓWNOPOLOWE KULI. Warunek równopolowości odwz. ma postać: mφmλ=1, postać równania różniczkowego: 1/R*dx/dφ*1/cosφ=1.Rozwiązanie dx=Rcosφdφ, x=Rsinφ+C_x. Ostatecznie funkcje odwz. mają postać: x=Rsinφ, y=Rλ. Skala dłg. m_φ=1/R*dx/dφ=cosφ. Zniekształcenie kątowe: sinω/2=sin²φ/1+cos²φ.

ODWZ.WALC. UKOŚNE. Funkcje odwz. walcowego ukośnego równokątnego x=Rlntg(π/4+π/4-ζ/2), y=Rln tg(π/4+π/4-ζ/2), y=Rά. Skala dłg. m=1/cos(90^o-ζ)=1/sinζ. Odwz. walcowe ukośne równokątne stosowane są podczas tworzenia map tras lotniczych.

ODWZ.WALC.POPRZECZNE traktuje się jako przypadki szczególne odwz. walcowych ukośnych. Obrazami południków są odcinki lub proste prostopadłe do osi x,a obrazami równoleżn. odcinki równoległe do osi x. Skala dłg. w kierunku połud.: m₁=1/R*dy/dh, w kierunku równoleż.: m₂=1/cosh, gdzie: g,h- wsp. prostokątne sferyczne.

Odwz. walcowe poprzeczne równoodległościowe kuli jedynie w kierunku równoleż. (m₁=1). Funkcje odwzorowaw: x=Rg, y=Rh.Te odwz. zwane odwz. Cassiniego, a wsp. x,y zwane wsp. prostokątnymi sferycznymi Soldnera. Skala dłg. w kierunku południków: m₂ =sech=secy/R=1+1/2(y/R)²+5/24(y/R)⁴+..

ODWZOROWANIE GAUSSA-KRUGERA jest odwz. równokątnym powierzchni elipsoidy obrotowej na pł. Odwzorowanie to jest odwzor. walcowym poprzecznym równokąt. pow. elips. obrotowej. Charakteryzuje się występow. niewielkich zniekształceń w wybranym, wąskim pasie południkowym. Powierzchnie elipsoidy obrotowej należy podzielić na wąskie pasy południkowe i każdy z nich odwzorować oddzielnie na płaszczyznę. Szerokość pasa południkowego (ΔL) zależy od przyjętych dopuszczalnych zniekształceń długości lub zniekształceń pól. Odwzorowanie Gaussa- Krugera spełnia następujące 3 warunki: jest odwzorowaniem równokątnym, obrazem południka środkowego danego pasa jest odcinek linii prostej, a obrazami pozostałych południków są linie krzywe symetrycznie rozłożone względem obrazu południka środkowego, południk środkowy pasa odwzorowuje się bez zniekształceń (m₀= 1).

Funkcje odwzorowawcze w postaci funkcji B, l. Wprowadźmy układ współrzędnych prostokątnych x, y w następujący sposób: oś odciętych x pokrywa się z obrazem południka środkowego L₀ i jest skierowana na północ, oś rzędnych y pokrywa się z prostoliniowym obrazem równika i jest skierowana na wschód. RYS 40

Skoro południk L₀ ma tak duże znaczenie będziemy się posługiwać różnicą długości geodezyjnych l= L-L₀. funkcje odwzorowawcze można zapisać następująco: x=F₁(B,l), y=F₂(B,l); Podczas wyprowadzania funkcji odwzorowaw. będziemy się posługiwać wsp. izometrycznymi q, l. *Pierwszy warunek, jaki musi spełniać odwzorowanie G-K, czyli warunek równokątności, będzie spełniony, jeżeli związek współrzędnych prostokątnych x, y i wsp. izometrycznych q, l będzie miał postać funkcji analitycznej f: x+iy=f(q+ il);x=S-d²S/dq²* l²/2+ d⁴S/d q⁴* l⁴/24...;y=dS./dq*l- d³S/d q³* l³/6

*Drugi warunek- funkcja f ma następującą cechę: dla l= 0 musi wystąpić y= 0. Współrzędna x_m punktu leżącego na południku środkowym będzie określona za pomocą wzoru: x_m= f (q).*Trzeci warunek będzie spełniony, jeżeli dla l=0 będzie zachodzić następująca równość: x_m= S= ₀∫^B M dB, gdzie S oznacza długość południka liczoną od równika do danego punktu o szerokości elipsoidalnej B. Porównując te wzory, widzimy, że f (q)= S. W wąskich pasach południkowych funkcję analityczną f (z), gdzie z= q+ il, rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu z₀= q. Ostatecznie otrzymujemy: x=S+l²/2*NsinBcosB+l⁴/24*NsinBcos³B*(5t²+9η²+4η⁴)+l⁶/720*NsinBcos⁵B(61_58t²+t⁴)

y=lNcosB+l³/6*Ncos³B(1-t²+η²)+l⁵/120*Ncos⁵B(5-18t²+t⁴+14η²-58η²t²) Funkcje odwzorowawcze występują również wpostaci : -funkcji B₀,b,l ; -wybieramy punkt P₀(B₀,L₀)na południku środkowym:x₀=S(B₀) y₀=0, b=B-B₀punkt ten ma leżeć w pobliżu szukanego punktu ;f odwzorowawcze: x=(a₀₀+ a₀₁b+ a₀₂b²+ a₀₃b³)+ (a₂₀+ a₂₁b+...)+(a₄₀+ a₄₁b+.....);y==(a₁₀+ a₁₁b+ a₁₂b²+ a₁₃b³)+ (a₃₀+ a₃₁b+...)+(a₅₀+ a₅₁b+.....);do obliczenia wsp.x_m leżącego na pd. Środkowym(1) x_m=a₀₀+ a₀₁b+ a₀₂b²+ a₀₃b³+...,zgodnie z 3. Warunkiem odwzorowania x_m=S(B) rozwijamy w Taylora: x_m=S(B₀)+dS./db*(B-B₀)+d²S/dB²*(B-B₀)²/2!+ d³S/dB³*(B-B₀)³/3!+...;(2) x_m=S(B₀)+f₁b¹+f₂b²+f₃b³+f₄b⁴+...;porównujemy (1)z(2) i ...:a_n+1,r=(-1)ⁿ/(n+1){k_ra_n,l+ 2k_r-1a_n,2+ 3k_r-2a_n,3+...+(r+1) k₀a_n,r+1;wszystkie potrzebne a_ij możemy obliczyć znając B₀ :f=1/3(B-B₀); g=1/3(L-L₀);f i g wyrażone są w stopniach, wsp. a_ij umożliwiają obliczenie wsp. x,y,z z bł. Mniejszym niż 1mm, gdy IfI ≤ 1^st, IgI ≤ 1.1^st

Odwzorowanie odwrotne:także równokątne między wsp.płaskimi x,y, a q i l, zachodzi zależność q + il=f(x + iy);po rozwinięciu tej funkcji w szereg Taylora otrzymamy q i l, a żeby otrzymać B iL , musimy pamiętać, że q jest funkcją B,obliczamy B i L z dokładnością do 0,0001sek. Przy (L-L₀)<3⁰,30`

B=F(q₀)+dF/dq(q-q₁)+ d² F/dq² (q-q₁)²/2!+...

Dla B₀, x, y:x=x-x₀/300000; y=y-y₀/300000;rozwiązanie macierzowe:

B=[1 x⁶][A][1 y⁶]^T ;L=[1 x⁷][A][y y⁷]^T

Rys.:

Zbieżność południków w odwzorowaniu Gaussa-Krugera.

Zbieżnością południków w odwzorowaniu nazywamy kąt zawarty między styczną do obrazu południka w danym punkcie a linią prostą przechodzącą przez ten punkt

równolegle do osi x.

Rys.

Zbieżnością południków γ mierzona jest od stycznej do obrazu południka w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. We wszystkich punktach odwzorowania G-K, leżących na północ od obrazu równika i na wschód od obrazu południka jest dodatnia. Obierzmy na obrazie punkt P' o współrzędnych B,L oraz punkt P₁' o współrzędnych B,L+dL, przy założeniu, że dL jest wielkością nieskończenie małą. Punkty P' i P₁' leżą zatem na obrazie równoleżnika o szerokości elipsoidalnej B.

(rys.10.4).

Przyrosty współrzędnych prostokątnych dx=δx/δl*dl i dy=δy/dl*dl. Różniczki te wykorzystujemy do obliczania zbieżności południków,gdyż tgγ=dx/dy=[δx/dl*dl]:[δy/δl*dl] po podzieleniu licznika i mianownika przez dl otrzymamy prosty wzór: tgγ=δx/δl:δy/δl. Kąt γ nie przekracza 3⁰ w wąskich pasach południków, możemy go więc wyrazić bez stosowania funkcji tangens. Po przekształceniach otrzymujemy wzór na zbieżność południków w odwzorowaniu G-K w radianach:γ=lsinB+l³/3sinBcos²B(1+3η²)+1⁵/15sinBcos⁴B(2-t²) i wzór w sekundach γ”=l”sinB{1+1/3[l”/ρ”]²cos²B(1+3η²)+1/15[l”/ρ”]⁴cos^4-B(2-t²)}

Elementarna skala dł. i pól. W odwzorowaniach równokątnych elementarną skalę dł można obliczać w dowolnym kierunku. W kierunku równoleżników wg. wzoru: m=m_λ=√G /r=√(δx/δl)²+(δy/δl)² /NcosB . Elementarna skalapól jest równa kwadratowi elementarnej sk. dł.: p=m²= (δx/δl)²+(δy/δl)² /N ²cos ²B

ODWZOROWANIE QUASI-STEREOGRAFICZNE odwzorowanie quasi-stereograficzne jest odwz. równokątnym elipsoidy obrotowej. Siatka kartograficzna w tym odwzorowaniu jest podobna do siatki w odwzorowaniu stereograficznym kuli. Odwzorowanie q-s charakteryzuje się występow. niewielkich zniekształceń w pobliżu punktu głównego, który odpowiada punktowi styczności płaszczyzny i kuli w odwzorowaniu stereograficznym. Odwzorowanie q-s jest zatem szczególnie przydatne do przedstawiania obszarów, które granice mają kształt regularny, zbliżony do okręgu. Punkt główny P₀ (B₀ , L₀) odwzorowania powinien się znajdować w pobliżu punktu środkowego odwzorowywanego obszaru. Południk przechodzący przez punkt główny będziemy nazywać południkiem środkowym, który odwzorowuje się jako odcinek linii prostej. Wprowadźmy układ współrzędnych płaskich x, y w następujący sposób: początek ukł. znajduje się w obrazie punktu głównego, oś x pokrywa się z obrazem południka środkowego i jest skierowana do obrazu bieguna północnego, oś y jest prostopadła do osi x i wraz z nią tworzy układ prawoskrętny. Odwzorowanie q- s musi spełniać następujące warunki: odwzorowanie jest równokątne,

RYS41

obrazem południka środkowego jest odcinek linii prostej, a obrazami innych południków są krzywe symetryczne względem południka środkowego, odcięte x punktów leżących na południku środkowym oblicza się wg wzoru: x_m= 2R₀ tg (s/2R₀ ), gdzie R₀ oznacza średni promień krzywizny powierzchni elipsoidy obrotowej w punkcie głównym odwz., s oznacza długość łuku południka od punktu głównego P₀ do równoleżnika odwz-ego punktu P.

Funkcje odwzorowawcze jako funkcje wielkości B₀, b, l. Odwzorowanie będzie równokątne, jeżeli zależność między wsp. prostokątnymi płaskimi x, y i izometrycznymi q, l będą funkcją analityczną: x+ iy= f (q+ il). Początek układu współrzędnych płaskich znajduje się w punkcie głównym odwzorowania P₀ (B₀, L₀), dlatego dla q=q₀ (B₀) współrzędna x musi być równa 0. Zależność możemy zastąpić wzorem: x+ iy =f (Δq+ il), w której Δq =q-q₀.

Kolejne funkcje odwzorowawcze : -jako f. wielkości B₀,u,s ; -f. odwzor. odwzorowania odwrotnego

x=(a₀₁b+a₀₂b²+a₀₃b³+a₀₄b⁴+a₀₅b⁵ )+ (a₂₀+a₂₁b+a₂₂b²+a₂₃b³...)l²+(a₄₀+ a₄₁b)l⁴;y==(a₁₀+a₁₁b+ a₁₂b²+ a₁₃b³+ a₁₄b⁴)l+(a₃₀+a₃₁b+a₃₂b²)l³+a₅₀l⁵

Współczynnik a_ij można obliczyć jednorazowo dla danego odwzorowania po ustaleniu wsp. B₀ pkt. Głównego odwzorowania. Podane szeregi potęgowe ograniczają się najwyżej do 5-tej potęgi argumentów b i l. Zapewniają dokładność obliczenia wsp. x i y równą 1cm, w przypadku pkt. leżących w pobliżu granicy Polski, pod warunkiem, że pkt. główny odwzorowania będzie umieszczony w pobliżu środka geometrycznego Polski.

Funkcje odwzorowawcze B₀, u, s:

Każdemu punktowi odwzorowywanego obszaru można jednoznacznie przyporządkować parę liczb u i s.(z rys. wyżej), u- jest długością łuku równoleżnika przechodzącego przez dany punkt, obliczoną wg. Wzoru:u=lr=lNcos B, a s to długość łuku południka środkowego, którą oblicza się:s=f₁b¹+ f₂b² + f₃b³+ f₄b⁴+...;wsp. prostokątne można przedstawić jako f wielkości u i s:x=F₁(u, s), y=F₂(u, s),założenie:F1-parzysta wzgl. u, F2-nieparzysta wzgl. u.

x=(w₀₀+ w₀₁s¹+ w₀₂s²+ w₀₃s³+ w₀₄s⁴+ w₀₅s⁵_+...)+( w₂₀+ w₂₁s¹+ w₂₂s²+ w₂₃s³+...)u²+( w₄₀+ w₄₁s¹+...)u⁴+...; y=(_w10+ w₁₁s¹+ w₁₂s²+ w₁₃s³+ w₁₄s⁴+ w₁₅s⁵_+...)u+( w₃₀+ w₃₁s¹+ w₃₂s²+ w₃₃s³+...)u³+( w₅₀+ w₅₁s¹+...)u⁵+...;wynika z nich, że wsp. prostokątne pkt. leżącego na pd środkowym będą opisane następującymi równaniami:

x_m= w₀₀+ w₀₁s¹+ w₀₂s²+ w₀₃s³+...; y_m=0;Zgodnie z trzcim war. Odwz. x_m obliczamy: x_m=s+s³/12R²₀+ s⁵/120R⁴₀+ 17s⁷/20160R⁶₀+...;Ogólny wzór służący do sekwencyjnego obliczenia wsp.:(-1)ⁿ⁺¹w_n+1,r=n/n+1[k_rw_n,0+k_r-1w_n,1+...+k₀w_n,r]-r+1/n+1*w_n,r+1.

Odwzorowanie odwrotne:

Równokątne, zatem związek wso\p. izometrycznych Δq i l oraz x i y ma postać funkcjianalitycznej F:

Δq +il=F(x +iy);x,y→q,l(u, s)

Zbieżność południków:

Jest kąt zawarty między styczną do obrazu południka w danym punkcie, a linią prostą przechodzącą przez ten punkt, rwnolegle do oX. tgγ=δx/δl:δy/δl, po wielu bardzo, ale to bardzo skomplikowanych przekształceniach γ=sinB₀l+1/2*cosB₀bl-5/4*sinB₀η²₀ b² l +1/12*sinB₀cos²B₀(1+9η²₀)l³+1/24*cosB₀b³l- 1/24*cos³B₀(2t₀²-1)bl³,wielkości b i l powinny być w tym wzorze wyrażone w radianach.

Elementarne skale dł. i pól. W odwzorowaniach równokątnych elementarną skalę dł można obliczać w dowolnym kierunku. Skalę m możemy obliczyć w kierunku równoleżników wg. wzoru : m=√(δx/δl)²+(δy/δl)² /NcosB po przekształceniach otrzymujemy wzór uproszczony: m=1+ x²+y²/4R²₀-2t₀η²/R³₀*xy²,ostatni człon osiąga wart. 0.0000006 dla B₀=52^st. Oraz x=250km i y=300km,może być zatem pomijany przy wyk.wielu prac geod.,zatem taki uproszczony wzór wskazuje,że liniami jednakowych skal dł.są okręgi współśrodkowe,których środek znajduje się w pkt. głównym odwzorowania. Skalę pól p obliczamy ze wzoru: p=m²=1+ x²+y²/2R²₀ - 4t₀η²₀/R³₀*xy² TRANSFORMACJA RÓWNOKĄTNA WSP. PROSTOKĄTNYCH PŁASKICH. Do tworzenia ukł. wsp. prostokątnych płaskich stosowane są wyłącznie odwzorow. równokątne elipsoidy. Jeżeli oba ukł. wsp. płaskich powstały w wyniku zastosowania odwz. równokątnych elipsoidy to musimy zastosować taką transformację, która nie deformuje kątów. Transformacja taka może być rozważana jako odwz. równokątne płaszczyzny na płaszcz. Wsp. punktów w ukł. pierwotnym- U,W, a wsp. pkt. w ukł. wtórnym- X,Y. Obie te pary są wsp. izometrycznymi zatem funkcję odwzorowawczą, która zapewni równokątność odwz. możemy napisać w postaci szeregu potęgowego:

X+iY=(a_o+ib_o)+(a₁+ib₁)(U+iW)+(a₂+ib₂)(U+iW)²+(a₃+ib₃)(U+iW)³+...+(a_n+ib_n)(U+iW)ⁿgdzie: a_o,b_o,a₁,b₁,a₂,b₂...współczynniki liczbowe, n - najwyższy wykładnik potęgi, czyli stopień transformacji.

Wykonując działania matematyczne można oddzielić część rzeczywistą od urojonej. Po uporządkowaniu wyrażeń mamy: X=a_o+a₁U-b₁W+a₂(U²-W²)-b₂(2UW)+a₃(U³-3UW²)-b₃(3U²W-W³) +...

Y=b_o+a₁W+b₁U+a₂(2UW)+b₂(U²-W²) +a₃(3U²W-W³)+b₃(U³-3UW²)...

Zwykle współczynnik a₁ jest zbliżony do 1,bo oś U tworzy niewielki kąt z osią X, a jednostki długości stosowane w obu ukł. są prawie identyczne. W takim przypadku, po wprowadzeniu wyrażenia 1+a^­­₁ w miejsce a₁, otrzymujemy następujące funkcje odwzorowawcze:

X=a_o+U+a₁^'U-b₁W+a₂(U²-W²)-b₂(2UW)+a₃(U³-3UW²)-b₃(3U²W-W³)+...

Y=b_o+W+a₁^'W+b₁U+a₂(2UW)+b₂(U²-W²)+a₃(3U²W-W³)+b₃(U³-3UW²)+...

Kłopot w tym ,że kolejne iloczyny współczynników a₁ lub b₁ i wyrażeń znajdujących się w nawiasach będą iloczynami liczb bardzo dużych, żeby tego uniknąć wprowadzamy dwa nowe układy współrzędnych- u,w i x,y gdzie: u=(U-U_o)k, w=(W-W_o)k, U_o,W_o - współrzędne wybranego punktu w ukł. pierwotnym,

k -współczynnik liczbowy dobrany tak, aby |u| i |w| była zbliżona do jedności. x=X-X_o, y=Y-Y_o, X_o,Y_o - współrzędne wybranego punktu w układzie wtórnym. Punkt o współrzędnych X_o,Y_o nie musi być odpowiednikiem punktu o współrzędnych U_o,W_o. Związek współrzędnych x,y i u,w ma postać macierzowa.

Do obliczenia współczynników liczbowych a_o,b_o,a₁^',b₁,...są wykorzystywane punkty łączne, które mają znane współrzędne w układzie wtórnym (X,Y).Dla każdego punktu łącznego można ułożyć dwa równania, w których niewiadomymi będą poszukiwane współczynniki. Jeżeli liczba punktów łącznych jest większa niż (n+1)*2,gdzie n jest symbolem transformacji, to obliczane współczynniki przeprowadza się metodą najmniejszych kwadratów. Stopień transformacji zwykle jest dobierany doświadczalnie na podstawie wielkości błędu średniego pojedynczej „obserwacji” m_o. Stopień transformacji jest zazwyczaj większy, im większy jest obszar, na którym są rozrzucone transformowane punkty.

---