Rozkład zmiennej losowej - c.d.

Np.:

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że strzałka zatrzyma się na wyróżnionym łuku A.

zbiór punktów okręgu;
określimy później

- prawdopodobieństwo geometryczne

Rozcinamy okrąg i nanosimy na oś:

współrzędna punktu na osi liczbowej

-ciało na R

zbiory, które są przeciwobrazami zbiorów borelowskich

, gdzie

spełnia własności funkcji gęstości zmiennej losowej

Tw: Niech
i
są rozkładami,
miary prawdopodobieństwa,
oraz
, to
też jest miarą, prawdopodobieństwem.

Def: Jeżeli
rozkład ciągły,
rozkład dyskretny,
wówczas mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład mieszany.

część ciągła rozkładu mieszanego

część dyskretna rozkładu mieszanego

Uwaga:

,
to
jest rozkładem mieszanym jeżeli
.

DYSTRYBUANTA ZMIENNEJ LOSOWEJ

Tw:

(ciąg wstępujący)

Tw:

(ciąg zstępujący)

Def: Funkcję
taką, że
nazywamy dystrybuantą miary

Def: Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy dystrybuantę jej rozkładu, tzn.

(
- bo zna zmiennej losowej X, ale dla uproszczenia skrót:
!)

1)

Szczególny przypadek:

2)

Aby
była funkcja gęstości
, czyli

Jeżeli zmienna losowa ma rozkład ciągły, to dystrybuanta zmiennej losowej jest funkcją ciągłą

3) rozkład mieszany

Jeżeli zmienna losowa ma rozkład mieszany, to dystrybuanta nie jest funkcją ciągłą i nie jest funkcją schodkową.

Tw: Jeżeli
jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X, to:

1. 
   jest funkcją niemalejącą

2. 
   ma co najwyżej przeliczalną ilość punktów nieciągłości

3. 
   

4. 
   

5. 
   jest funkcją lewostronnie ciągłą

Tw: Jeżeli funkcja
spełnia warunki
, to może być dystrybuantą pewnej zmiennej losowej (czyli zawsze znajdziemy zm. los. dla tej funkcji)

Dow:

Ad1)

Ad2)
jest punktem nieciągłości dystrybuanty

punkty nieciągłości

i
są rozłączne

ponieważ funkcja t jest różnowartościowa, to punktów nieciągłości może być co najwyżej tyle, ile jest liczb wymiernych (
), czyli skończona lub przeliczalna ilość.

Ad3)
;
jest ciągiem malejącym

;
ciąg zstępujący

∅

∅

Ad4)
;
jest ciągiem rosnącym

;
ciąg wstępujący

R

Ad5) z tw. że każda funkcja ograniczona i monotoniczna posiada granicę jednostronną

Wystarczy pokazać, że

ciąg zstępujący (
)

a zatem ciąg przedziałów
jest ciągiem wstępującym, czyli

stąd:

3

Luke Rachunek prawdopodobieństwa-wykład 19.3.2k+1

---