Rozkład zmiennej losowej - c.d.
Np.: |
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że strzałka zatrzyma się na wyróżnionym łuku A. |
|
zbiór punktów okręgu;
określimy później
- prawdopodobieństwo geometryczne
Rozcinamy okrąg i nanosimy na oś: |
|
współrzędna punktu na osi liczbowej
-ciało na R
zbiory, które są przeciwobrazami zbiorów borelowskich
, gdzie
spełnia własności funkcji gęstości zmiennej losowej
|
|
Tw: Niech
i
są rozkładami,
miary prawdopodobieństwa,
oraz
, to
też jest miarą, prawdopodobieństwem.
Def: Jeżeli
rozkład ciągły,
rozkład dyskretny,
wówczas mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład mieszany.
część ciągła rozkładu mieszanego
część dyskretna rozkładu mieszanego
Uwaga:
,
to
jest rozkładem mieszanym jeżeli
.
DYSTRYBUANTA ZMIENNEJ LOSOWEJ
Tw:
(ciąg wstępujący)
Tw:
(ciąg zstępujący)
Def: Funkcję
taką, że
nazywamy dystrybuantą miary
Def: Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy dystrybuantę jej rozkładu, tzn.
(
- bo zna zmiennej losowej X, ale dla uproszczenia skrót:
!)
1)
Szczególny przypadek:
|
|
|
|
2)
Aby
była funkcja gęstości
, czyli
|
|
|
|
Jeżeli zmienna losowa ma rozkład ciągły, to dystrybuanta zmiennej losowej jest funkcją ciągłą
3) rozkład mieszany
|
|
|
Jeżeli zmienna losowa ma rozkład mieszany, to dystrybuanta nie jest funkcją ciągłą i nie jest funkcją schodkową.
Tw: Jeżeli
jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X, to:
jest funkcją niemalejącą
ma co najwyżej przeliczalną ilość punktów nieciągłości
jest funkcją lewostronnie ciągłą
Tw: Jeżeli funkcja
spełnia warunki
, to może być dystrybuantą pewnej zmiennej losowej (czyli zawsze znajdziemy zm. los. dla tej funkcji)
Dow:
Ad1)
Ad2)
jest punktem nieciągłości dystrybuanty
punkty nieciągłości
i
są rozłączne
ponieważ funkcja t jest różnowartościowa, to punktów nieciągłości może być co najwyżej tyle, ile jest liczb wymiernych (
), czyli skończona lub przeliczalna ilość.
Ad3)
;
jest ciągiem malejącym
;
ciąg zstępujący
∅
∅
Ad4)
;
jest ciągiem rosnącym
;
ciąg wstępujący
R
Ad5) z tw. że każda funkcja ograniczona i monotoniczna posiada granicę jednostronną
Wystarczy pokazać, że
ciąg zstępujący (
)
a zatem ciąg przedziałów
jest ciągiem wstępującym, czyli
stąd:
3
Luke Rachunek prawdopodobieństwa-wykład 19.3.2k+1