010319 rachunek prawdopodobieństwa wykład


Rozkład zmiennej losowej - c.d.

Np.:

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że strzałka zatrzyma się na wyróżnionym łuku A.

0x01 graphic

0x01 graphic
zbiór punktów okręgu; 0x01 graphic
określimy później

0x01 graphic
- prawdopodobieństwo geometryczne

Rozcinamy okrąg i nanosimy na oś:

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
współrzędna punktu na osi liczbowej

0x01 graphic

0x01 graphic
-ciało na R

0x01 graphic
zbiory, które są przeciwobrazami zbiorów borelowskich0x01 graphic

0x01 graphic
, gdzie0x01 graphic

0x01 graphic
spełnia własności funkcji gęstości zmiennej losowej 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Tw: Niech 0x01 graphic
i 0x01 graphic
są rozkładami, 0x01 graphic
miary prawdopodobieństwa, 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
też jest miarą, prawdopodobieństwem.

Def: Jeżeli 0x01 graphic
rozkład ciągły, 0x01 graphic
rozkład dyskretny, 0x01 graphic
wówczas mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład mieszany.

0x01 graphic
część ciągła rozkładu mieszanego

0x01 graphic
część dyskretna rozkładu mieszanego

Uwaga: 0x01 graphic
0x01 graphic
, 0x01 graphic
to 0x01 graphic
jest rozkładem mieszanym jeżeli 0x01 graphic
.

DYSTRYBUANTA ZMIENNEJ LOSOWEJ

Tw: 0x01 graphic
0x01 graphic
(ciąg wstępujący) 0x01 graphic
0x01 graphic

Tw: 0x01 graphic
0x01 graphic
(ciąg zstępujący) 0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Def: Funkcję 0x01 graphic
taką, że 0x01 graphic
nazywamy dystrybuantą miary 0x01 graphic

Def: Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy dystrybuantę jej rozkładu, tzn. 0x01 graphic
0x01 graphic

(0x01 graphic
- bo zna zmiennej losowej X, ale dla uproszczenia skrót: 0x01 graphic
!)

1) 0x01 graphic

0x01 graphic

Szczególny przypadek:

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

  1. 0x01 graphic
    0x01 graphic

  2. 0x01 graphic
    0x01 graphic

  3. 0x01 graphic
    0x01 graphic

  4. 0x01 graphic
    0x01 graphic

  5. 0x01 graphic
    0x01 graphic

0x01 graphic

2) 0x01 graphic

0x01 graphic
Aby 0x01 graphic
była funkcja gęstości 0x01 graphic
, czyli

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

  1. 0x01 graphic
    0x01 graphic

  2. 0x01 graphic
    0x01 graphic

  3. 0x01 graphic
    0x01 graphic

0x01 graphic

Jeżeli zmienna losowa ma rozkład ciągły, to dystrybuanta zmiennej losowej jest funkcją ciągłą

3) rozkład mieszany 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

  1. 0x01 graphic
    0x01 graphic

  2. 0x01 graphic
    0x01 graphic

  3. 0x01 graphic
    0x01 graphic

  4. 0x01 graphic
    0x01 graphic

  5. 0x01 graphic
    0x01 graphic

0x01 graphic

Jeżeli zmienna losowa ma rozkład mieszany, to dystrybuanta nie jest funkcją ciągłą i nie jest funkcją schodkową.

Tw: Jeżeli 0x01 graphic
jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X, to:

  1. 0x01 graphic
    jest funkcją niemalejącą

  2. 0x01 graphic
    ma co najwyżej przeliczalną ilość punktów nieciągłości

  3. 0x01 graphic

  4. 0x01 graphic

  5. 0x01 graphic
    jest funkcją lewostronnie ciągłą

Tw: Jeżeli funkcja 0x01 graphic
spełnia warunki 0x01 graphic
, to może być dystrybuantą pewnej zmiennej losowej (czyli zawsze znajdziemy zm. los. dla tej funkcji)

Dow:

Ad1) 0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Ad2) 0x01 graphic
jest punktem nieciągłości dystrybuanty0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
punkty nieciągłości

0x01 graphic
i 0x01 graphic
są rozłączne

0x01 graphic
ponieważ funkcja t jest różnowartościowa, to punktów nieciągłości może być co najwyżej tyle, ile jest liczb wymiernych (0x01 graphic
), czyli skończona lub przeliczalna ilość.

Ad3) 0x01 graphic
; 0x01 graphic
jest ciągiem malejącym

0x01 graphic
; 0x01 graphic
ciąg zstępujący

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Ad4) 0x01 graphic
; 0x01 graphic
jest ciągiem rosnącym

0x01 graphic
; 0x01 graphic
ciąg wstępujący

R0x01 graphic

0x01 graphic

Ad5) z tw. że każda funkcja ograniczona i monotoniczna posiada granicę jednostronną

Wystarczy pokazać, że 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
ciąg zstępujący (0x01 graphic
)

a zatem ciąg przedziałów 0x01 graphic
jest ciągiem wstępującym, czyli 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

stąd: 0x01 graphic

3

Luke Rachunek prawdopodobieństwa-wykład 19.3.2k+1



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Statystyka dzienne wyklad1, Rachunek prawdopodobie˙stwa
Statystyka dzienne wyklad4, Rachunek prawdopodobie˙stwa
Lista zadan do wykladu z Rachunku prawdopodobienstwa
Z Wykład 01.03.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Rachunek prawdopodobieństwa
Z Wykład 06.04.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Rachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, wykład 2
Z Wykład 26.04.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Rachunek prawdopodobieństwa
Statystyka dzienne wyklad2, Rachunek prawdopodobie˙stwa
Kordecki W, Jasiulewicz H Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Przykłady i zadania
(Rachunkowosc podatkowa wyklad 4 5 [tryb zgodności])
Matematyka - rachunek prawdopodbieństwa - ściąga, szkoła

więcej podobnych podstron