Wykłady

Semestr II

Czwórniki Liniowe

1. Definicja i klasyfikacja.

Czwórnik jest o układ elektryczny, w którym wyróżnione są dwie uporządkowane pary zacisków (wejście, wyjście) i w którym jest spełniony warunek równości prądów na wejściu i równości prądów na wyjściu.

Warunek regularności

{
} - zespolone wartości skuteczne

Czwórnik nazywany jest elementem parametrycznym, jeżeli co najmniej jeden jego element {R, L, C} nie jest wielkością stałą, lecz jest funkcja czasu.

Czwórnik jest liniowy, jeżeli spełnia zasadę superpozycji:

Czwórnik jest pasywny, jeżeli w dowolnej chwili czasu energia pobierana przez układ jest nieujemna:

Definicja w odniesieniu do przebiegów sinusoidalnych (harmonicznych):

Czwórnik jest pasywny, jeżeli jego moc czynna tracona w układzie jest nieujemna. Przez moc czynną traconą w układzie rozumiemy różnicę między mocą czynną dostarczaną ze źródła energii do czwórnika i mocą czynną wydzielaną w obciążeniu:

Czwórnik, który nie spełnia powyższych definicji jest czwórnikiem aktywnym. Nie wszystkie czwórniki zawierające źródła sterowane są aktywne.

Czwórnik jest impedancyjnie symetrycznym, jeżeli impedancja wejściowa jest równa wyjściowej przy jednakowym obciążeniu strony przeciwnej.

Czwórnik jest energetycznie symetryczny (odwracalny), jeżeli spełnia zasadę wzajemności.

Zasada wzajemności dla czwórników:

Jeżeli idealne źródło napięcia przyłożone na wejściu czwórnika w zwartym wyjściu prąd I, to po przeniesieniu tego źródła na wyjście, w zwartym wejściu popłynie ten sam prąd I.

Czwórniki pasywne są odwracalne.

Niektóre czwórniki aktywne SA nieodwracalne.

Czwórnik jest symetryczny wtedy i tylko wtedy, jeżeli jest impedancyjnie i energetycznie symetryczny.

Jeżeli czwórnik jest symetryczny to po obrocie o 180^o wokół hipotetycznej osi, napięcia i prądy na zewnątrz czwórnika nie ulegną zmianie.

Czwórnik jest bilateralny, jeżeli sygnały elektryczne przenoszone są w dwóch kierunkach.

Czwórnik jest unilateralny, jeżeli sygnały przenoszone są tylko w jednym kierunku.

Czwórnik jest nielateralny, jeżeli w ogóle nie przenosi sygnałów elektrycznych..

2. Równania czwórników liniowych.

- współrzędne stanu czwórnika

Jeżeli czwórnik jest liniowy to zespolone współrzędne stanu są ze sobą związane algebraicznymi zależnościami liniowymi. Zależności te noszą nazwę równania czwórników. Spośród 4 zespolonych współrzędnych stanu można wybrać dwie jako istotnie niezależne. W zależności od wyboru niezależnych współrzędnych stanu wyróżnia się 6 typów równań czwórnika.

1. Równania impedancyjne

Jako zmienne niezależne wybiera się prądy.

Równania impedancyjne

Skalarne równania impedancyjne

[Z] - macierz impedancyjna

Impedancja wejściowa przy rozwarciu strony wtórnej (wyjściu)

Impedancja przenoszenia przy rozwarciu strony pierwotnej (wejściu)

Impedancja przenoszenia przy rozwartym wyjściu

Impedancja wyjściowa przy rozwartym wejściu

Symetria impedancyjna

Symetria energetyczna

=> odwracalny

Symetryczny

W przypadku czwórników symetrycznych tylko dwa elementy macierzy impedancyjnej są niezależne

Bezpośrednie schematy czwórników składają się z czterech elementów, z których każdy odpowiada jednemu i tylko jednemu wyrazowi równania.

Bezpośredni schemat zastępczy dla macierzy [Z]

Czwórnik nieodwracalny typu T

Równania z metody oczkowej.

2. 
   Równania admitancyjne.

Jako zmienne niezależne wybieramy napięcia

Równania admitancyjne

[Y] - macierz admitancyjna

Admitancja wejściowa przy zwarciu strony wtórnej (wyjściu)

Admitancja przenoszenia przy zwarciu strony pierwotnej (wejściu)

Admitancja przenoszenia przy zwartym wyjściu

Admitancja wyjściowa przy zwartym wejściu

Symetria impedancyjna:

Symetria energetyczna:

W przypadku czwórników odwracalnych spośród 4 elementów macierzy 3 można wyznaczyć niezależnie.

Symetryczny
i

Zastępcze schematy bezpośrednie zawierają tylko 4 elementy, z których każdy odpowiada tylko jednemu składnikowi równania.

Schemat zastępczy dla macierzy [Y]

Nieodwracalny czwórnik typu

Równania z metody potencjałów węzłowych

Macierze [Z] i [Y] są związane zależnościami [Z][Y]=1

3. Równania łańcuchowe.

Jako zmienne niezależne wybieramy sygnały wyjściowe

f, g - funkcje liniowe

Równania łańcuchowe pozwalają odpowiedzieć na następujące pytania:

• Jakie muszą być napięcie i prąd na wejściu, aby otrzymać z góry zadane sygnały wyjściowe.

Takiemu sformułowaniu odpowiada przepływ energii w prawo, zatem ze względów fizycznych prąd na wyjściu czwórnika powinien być zastrzałkowany od czwórnika (przelotowo).

Równania łańcuchowe

[A] - macierz łańcuchowa

Symetria impedancyjna

Symetria energetyczna
det[A]=1

Symetria
i det[A]=1

Schematy zastępcze dla macierzy [A] nie istnieją.

Przekładnia napięciowa przy rozwartym wyjściu

Impedancja przenoszenia przy zwartym wyjściu

Admitancja przenoszenia przy rozwartym wyjściu

Przekładnia prądowa przy zwartym wyjściu

[A] -> [Z]

= det[A]

4. Odwrotne równanie łańcuchowe.

Jako zmienne niezależne wybieramy sygnały wejściowe.

f,g - funkcje liniowe

Ponieważ równania odwrotne łańcuchowe opisują przepływ energii w lewo zmieniamy zwrot prądu wyjściowego

Równania odwrotne łańcuchowe

[B] - macierz odwrotna łańcuchowa

Wzmocnienie napięciowe przy rozwartym wejściu

Impedancja przenoszenia przy zwartym wejściu

Admitancja przenoszenia przy rozwartym wyjściu

Wzmocnienie prądowe przy zwartym wejściu

Bezpośredni schemat zastępczy macierzy [B] nie istnieje.

Jeżeli nie istnieją obie macierze łańcuchowe to czwórnik jest nielateralny - nie przenosi sygnałów. Jeżeli istnieje tylko jedna macierz łańcuchowa ([A] lub [B]) to czwórnik jest unilateralny - przenosi sygnały w jedną stronę. Jeżeli istnieją dwie macierze łańcuchowe ([A] lub [B]) to czwórnik jest bilateralny - przenosi sygnały w obie strony.

[B] -> [Z]

Symetria impedancyjna

Symetria energetyczna
det[B]=1

Symetria
i det[B]=1

5. Równania hybrydowe.

[H] - macierz hybrydowa

Równania hybrydowe

Impedancja wejściowa przy zwartym wyjściu

Przekładnia napięciowa przy rozwartym wejściu

Wzmocnienie prądowe przy zwartym wyjściu

Admitancja wyjściowa przy rozwartym wejściu

[H] -> [Z]

- det[H]

Symetria impedancyjna
det[H]=1

Symetria energetyczna

Symetryczny det[H]=1 i

Bezpośredni schemat zastępczy macierzy [H]

6. Odwrotne równania hybrydowe.

[G] - macierz odwrotna hybrydowa

Równania odwrotne hybrydowe

Admitancja wejściowa przy rozwartym wyjściu

Przekładnia prądowa przy zwartym wejściu

Wzmocnienie napięciowe przy rozwartym wyjściu

Impedancja wyjściowa przy zwartym wejściu

[G] -> [Z]

Symetria impedancyjna
det[G]=1

Symetria energetyczna

Symetryczny det[G]=1 i

Bezpośredni schemat zastępczy dla macierzy [G]

[G][H]=1

Jeżeli czwórnik posiada wszystkie 6 macierzy charakterystycznych to nazywamy go prawidłowym. Jeżeli czwórnik nie ma wszystkich macierzy to charakterystycznych, lecz posiada, co najmniej jedną to jest zdegenerowany.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym prawidłowości czwórnika jest nieosobliwość jednej macierzy i nierówność zeru jej elementów.

Jeżeli jest prawidłowy to na podstawie jednej macierzy można wyznaczyć wszystkie pozostałe.

3. Połączenia czwórników.

Wymagamy, aby układ powstały po połączeniu był czwórnikiem. Oznacza to, ze musza być spełnione warunki regularności, tj. równość prądów na wejściu oraz prądów na wyjściu.

I₁=I₁^' i I₂=I₂^'

1. Połączenie łańcuchowe.

Wyjście jednego czwórnika jest obciążone wejściem następnego.

Zastępcza macierz łańcuchowa kaskadowego (łańcuchowego) połączenia czwórników równa się iloczynowi macierzy łańcuchowych czwórników składowych. Wziętych w kolejności ich łączenia.

Połączenie łańcuchowe jest zawsze regularne.

2. 
   Połączenie szeregowe.

Regularne:

Zastępcza macierz impedancyjna szeregowego połączenia czwórników równa się sumie macierzy impedancyjnych czwórników składowych pod warunkiem, że połączenia są regularne.

Układ do testowania regularności połączenia szeregowego po stronie pierwotnej.

Jeżeli przed dokonaniem połączenia napięcia poprzeczne

i
są sobie równe to po zamknięciu połączenia w nowo powstałym oczku nie popłynie żaden prąd wyrównawczy i tym samym warunki regularności zostaną zachowane.

Układ do testowania regularności połączenia szeregowego po stronie wtórnej.

Jeżeli oba warunki są spełnione tzn. U_a=U_b=0 to całe połączenie jest regularne.

Warunek regularności będzie też spełniony, jeżeli napięcia wzdłużne U₁₂^' oraz U₁₂^'' będą sobie równe. Wynika stąd, ze połączenie szeregowe dwóch czwórników o strukturze czwórnikowej połączonych podstawami zawsze będzie regularne.

3. Połączenie równoległe.

Regularne:

Zastępcza macierz admitancyjna równoległego połączenia czwórników jest równa sumie macierzy admitancyjnych czwórników składowych pod warunkiem, że połączenie jest regularne.

Układ do testowania regularności połączenia równoległego po stronie pierwotnej.

Układ do testowania regularności połączenia równoległego

po stronie wtórnej.

=0 => regularne

4. 
   Połączenie szeregowo-równoległe.

regularne:

Zastępcza macierz hybrydowa szeregowo-równoległego połączenia czwórników równa się sumie macierzy hybrydowych pod warunkiem, że połączenie jest regularne.

Połączenie szeregowe po stronie pierwotnej jest regularne, jeżeli odpowiednie napięcie po stronie wtórnej spełnia warunek regularności połączenia szeregowego

Połączenie równoległe po stronie wtórnej jest regularne, jeżeli odpowiednie napięcie po stronie pierwotnej spełnia warunek regularności połączenia równoległego

Jeśli oba warunki są spełnione to całe połączenie jest regularne.

Połączenie szeregowo-równoległe po stronie pierwotnej jest regularne, jeżeli spełniony jest test regularności połączenia szeregowego po stronie pierwotnej. Połączenie szeregowo-równoległe jest regularne po stronie wtórnej, jeżeli spełniony jest test połączenia równoległego po stronie wtórnej. Jeżeli obydwa testy są spełnione, to całe połączenie jest regularne.

5. Połączenie równoległo-szeregowe.

regularne:

Zastępcza odwrotna macierz hybrydowa równoległo-szeregowego połączenia czwórników równa jest sumie odwrotnych macierzy hybrydowych czwórników składowych, pod warunkiem, ze połączenie jest regularne.

Połączenie równoległe po stronie pierwotnej jest regularne, jeżeli odpowiednie napięcie po stronie wtórnej spełnia warunek regularności połączenia równoległego

Połączenie szeregowe po stronie wtórnej jest regularne, jeżeli odpowiednie napięcie po stronie pierwotnej spełnia warunek regularności połączenia równoległego

Jeśli oba warunki są spełnione to całe połączenie jest regularne

Połączenie jest regularne, jeżeli spełnione są testy regularności połączenia równoległego po stronie pierwotnej oraz połączenia szeregowego po stronie wtórnej.

4. Parametry robocze czwórników.

a)
- IMPEDANCJA WEJŚCIOWA

b)
- IMPEDANCJA WYJŚCIOWA

c)
- WZMOCNIENIE NAPIĘCIOWE

d)
- WZMOCNIENIE PRĄOWE

e)
- SKUTECZNE WZMOCNIENIE NAPIĘCIOWE

f)
- SKUTECZNE WZMOCNIENIE PRĄDOWE

g)

- WZMOCNIENIE MOCY

Obwody prądu odkształconego

1. Pojęcia podstawowe i szeregi Fouriera.

Wszystkie przebiegi okresowe niesinusoidalne nazywamy odkształconymi.

Przyczyny powstawania przebiegów niesinusoidalnych:

• niesinusoidalne źródło energii

• nieliniowość charakterystyk elementów obwodów.

Twierdzenie Fouriera

Dowolną funkcję okresową, niesinusoidalną spełniającą warunki Dirichlet'a o częstotliwości
można przedstawić w postaci sumy składowej oraz szeregu funkcji sinusoidalnych o częstotliwości
gdzie
.

Warunki Dirichlet'a

1° funkcja jest jednoznaczna

2° w dowolnym ograniczonym przedziale zmiennej niezależnej t, funkcja może mieć skończoną liczbę minimów i maksimów

3° w dowolnym ograniczonym przedziale zmiennej niezależnej t, funkcja może mieć skończoną liczbę punktów nieciągłości, przy czym w punktach tych istnieją granice lewo i prawostronne, zaś wartość funkcji równa się średniej arytmetycznej obu granic

Poszczególne wyrazy szeregu nazywamy harmonicznymi rzędu odpowiadającemu indeksowi k.

Źródło napięcia odkształconego o częstotliwości f może być zastąpione układem szeregowym składającym się ze źródła napięcia stałego oraz ze źródła napięć sinusoidalnie zmiennych o częstotliwościach kf.

jeżeli zmienną niezależną jest czas t to okresem jest

jeżeli zmienną niezależną jest kąt x to okresem jest

2. Współczynniki szeregu Fouriera.

Chociaż szereg Fouriera nie jest jednostajnie zbieżny to matematycy udowodnili, że można go scałkować wyraz po wyrazie.

Składowa stała jest równa wartości średniej za okres przebiegu odkształconego.

Definicja ciągu ortogonalnego.

Ciąg funkcji {f_n(x)} całkowalnych z kwadratem w przedziale od a do b jest ortogonalny w tym przedziale, jeżeli jest spełnione:

3. Klasyfikacja przebiegów odkształconych.

Zmiana znaku argumentu harmonicznej sinusoidalnej powoduje zmianę znaku harmonicznej

Zmiana znaku argumenty harmonicznej cosinusoidalnej nie powoduje zmiany znaku harmonicznej

Po upływie połowy okresu zmienna harmoniczna nieparzysta zmienia swój znak

Po upływie połowy okresu zmienna harmoniczna parzysta nie zmienia swojego znaku

A) Przebiegi naprzemienne

W jednym okresie pola ograniczone krzywą przebiegu SA takie same nad i pod osia argumentów.

Szereg trygonometryczny będący analitycznym wyrażeniem przebiegu przemiennego nie zawiera składowej stałej.

B) Przebiegi symetryczne względem osi rzędnych (OY)

Oś rzędnych jest osią symetrii przebiegów (lustrzane odbicie względem osi rzędnych).

Szereg trygonometryczny będący analitycznym wyrażeniem przebiegu symetrycznego względem osi rzędnych zawiera tylko składową stalą i harmoniczną cosinusową.

C) Przebiegi symetryczne względem osi odciętych (OX)

Dowolna sieczna prostoliniowa poprowadzona przez początek układu przecina krzywą przebiegu w punktach symetrycznych względem początku układu.

Szereg trygonometryczny będący analitycznym wyrażeniem przebiegu symetrycznego względem początku układu współrzędnych zawiera tylko harmoniczną sinusoidalną.

D) Przebieg asymetryczny względem osi odciętych

Powtarza się, co pół okresu z przeciwnym znakiem.

Szereg trygonometryczny będący analitycznym wyrażeniem przebiegu antysymetrycznego względem osi odciętych zawiera tylko harmoniczne rzędu nieparzystych.

Dodatkowo:

E) Przebieg asymetryczny wyprostowany całofalowo

Powtarza się, co pół okresu z tym samym znakiem.

Szereg trygonometryczny będący analitycznym wyrażeniem przebiegu antysymetrycznego całofalowo zawiera tylko składową stałą i harmoniczne parzystych rzędów.

Przebieg odkształcony może jednocześnie wykazywać więcej niż jedną z wyżej wymienionych właściwości.

4. Rozwinięcie fali trapezowej w szereg trygonometryczny

5. Wartość skuteczna przebiegu odkształconego.

Wartość skuteczna prądu okresowego jest to taka równoważna wartość prądu stałego, który przepływając przez ten sam rezystor w tym samym czasie równym okresowi (lub też jego całkowitej wielokrotności) powoduje wydzielenie się takiej samej ilości ciepła.

Wartość skuteczna prądu okresowego jest to pierwiastek kwadratowy z wartości średniej za okres z kwadratu prądu.

Wartość skuteczna przebiegu odkształconego jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów składowej stałej i wartości skutecznych wszystkich harmonicznych bez względu na ich fazę początkową.

6. Współczynniki charakteryzujące przebiegi odkształcone.

1. Współczynnik odkształcenia - stosunek wartości skutecznych składowej odkształconej do wartości skutecznej całego przebiegu.

dla sygnału sinusoidalnego k_od = 1

B) Współczynnik wartości k - tej harmonicznej - stosunek wartości skutecznej k - tej harmonicznej do wartości skutecznej harmonicznej podstawowej.

C) Współczynnik zawartości harmonicznych - miara zawartości wszystkich harmonicznych za wyjątkiem harmonicznej podstawowej.

sygnał sinusoidalny

bez pierwszej harmonicznej

D) Współczynnik szczytu - stosunek wartości maksymalnej do wartości skutecznej przebiegu.

sygnał sinusoidalny

E) Współczynnik kształtu - stosunek wartości skutecznej przebiegu do wartości średniej wyprostowanej za okres.

sygnał sinusoidalny

7. 
   
   Zjawisko tłumienia i uwypuklenia wyższych harmonicznych w elementach R, L, C.

A) Rezystancja

Z prawa Ohma wynika, że na elemencie rezystancyjnym kształt napięcia i prądu jest taki sam. Zatem w tym przypadku zawartość wyższych harmonicznych napięciu i prądzie jest taka sama.

B) Indukcyjność

- k-ta harmoniczna w postaci czasowej

- impedancja k-tej harmonicznej

Prąd pobierany przez idealną cewkę jest mniej odkształcony niż napięcie na jej zaciskach.

C) Kondensator

- Impedancja k-tej harmonicznej

Dla k-tej harmonicznej reaktancja kondensatora k razy maleje.

Prąd pobierany przez kondensator jest bardziej odkształcony niż napięcie na jego zaciskach.

D) Gałąź RLC

• k > k_r = > x_k > 0 => gałąź ma charakter indukcyjny, prąd jest tłumiony

• k < k_r => x_k < 0 => uwypuklenie prądu

|Z₁| < |Z_k| => h_ki < h_ku tłumienie harmonicznych prądu

|Z₁| > |Z_k| => h_ki > h_ku uwypuklenie harmonicznych prądu

W gałęzi RLC pewne harmoniczne prądu są tłumione i jednocześnie inne harmoniczne prądu SA uwypuklone. Decyduje o tym rząd harmonicznych.

Podsumowanie do a, b, c, d:

W obwodach prądu niesinusoidalnego napięcie i prąd odkształcone są odmiennie.

Dwójnik nieodkształcony spełnia następujące warunki:

1) dla wszystkich harmonicznych stosunek wartości skutecznych napięcia do prądu jest stały.

2) dla wszystkich harmonicznych kąt przesunięcia pomiędzy napięciem a prądem jest zerowy.

3) moc odkształceń jest zerowa. T=0

7. Analiza obwodów prądu odkształconego na podstawie twierdzenia Fouriera i zasady superpozycji.

W stanie ustalonym odpowiedź obwodu liniowego na wymuszenie odkształcone jest innym przebiegiem odkształconym, lecz o tym samym okresie, czyli tej samej pulsacji podstawowej.

A)

……..

Źródło napięcia odkształconego o częstotliwości f zastępuje się układem szeregowym składającym się ze źródeł napięć sinusoidalnie zmiennych o częstotliwościach k·f.

2. Na podstawie zasady superpozycji obwód zastępuje się szeregiem obwodów składowych, przy czym w każdym z nich działa tylko jedna harmoniczna.

3. W obwodzie dla składowej stałej zawiera się idealne cewki zawiera idealne kondensatory. Obwód obliczmy jako rezystancyjny prądu stałego. W obwodzie dla k-tej harmonicznej razy zwiększa się reaktancję cewek i zmniejsza się reaktancję kondensatorów. Obwód rozwiązuje się rachunkiem liczb zespolonych, wykorzystuje się wszystkie znane metody analizy sieci np. prądów oczkowych, Northona itd.

4. Całkowity przebieg czasowy odpowiedzi obwodu wyznacza się jako sumę czasowych odpowiedzi obwodów składowych.

5. Ponieważ zespolone napięcia i prądy różnych harmonicznych wirują jako wektory z różnymi prędkościami kątowymi, nie wolno przedstawiać ich na jednym wykresie wskazowym, ani też dodawać ich do siebie. Dodawać do siebie wolno tylko przebiegi czasowe.

Całkowitą odpowiedź układu wyznaczamy sumując algebraicznie wartości chwilowe odpowiedzi obwodów cząstkowych.

• Moc prądu odkształconego.

Okres mocy chwilowej w ogólnym przypadku jest taki sam jak okres przebiegów odkształconych.

Antysymetryczne:

W szczególnym przypadku przebiegów antysymetrycznych względem osi odciętych okres mocy chwilowej zmienia się o połowę.

Moc czynna - wartość średnia za okres mocy chwilowej

Moc czynna pobierana przez dwójnik zasilana wymuszeniem odkształconym równa się sumie mocy dostarczonej przez składową stałą oraz mocy czynnych wszystkich harmonicznych.

Moc bierna:

Moc pozorna:

1. moc bierna i pozorna prądu odkształconego nie posiadają bezpośredniej interpretacji fizycznej

2. moc czynna i bierna jest wytwarzana tylko przez harmoniczne napięcia i prądu tego samego rzędu

3. zakłada się, że następuje zwiększenie zawartości harmonicznych tylko w jednym przebiegu np. prądzie. Nowo dodane harmoniczne prądu nie mają swojego odpowiednika w napięciu. Moc czynna i bierna pozostaną niezmienione, bowiem są wytworzone tylko przez harmoniczne napięcia i prądu tego samego rzędu. Wzrośnie jednak wartość skuteczna prądu i tym samym moc pozorna.

W obwodach prądu odkształconego nie jest spełniony trójkąt mocy

Różnica wartości prawej i lewej strony nierówności nazywa się kwadratem mocy odkształcenia:

Moc odkształcenia jest miarą zawartości harmonicznych jednocześnie napięcia i prądu.

kąt θ nie ma prostej interpretacji fizycznej kąta przesunięcia fazowego

• Widmo amplitudowe i fazowe przebiegu odkształconego.

Jest to jego reprezentacja w dziedzinie częstotliwości.

Widmo amplitudowe jest to wykres amplitud (lub tez połowy amplitud) poszczególnych harmonicznych funkcji ich rzędów.

12

6

3

1 3 5 6 k

Ponieważ rząd harmonicznej zamienia się w sposób dyskretny to widmo przebiegu odkształconego jest prążkowe.

Widmo amplitudowe jest niezależne od chwili początkowej.

Widmo amplitudowe jest parzyste.

Widmo fazowe przebiegu odkształconego jest to wykres kątów fazowych poszczególnych harmonicznych funkcji ich rzędu.

Widmo fazowe zależy od wyboru chwili początkowej.

Widmo fazowe jest funkcją parzystą.

Stany nieustalone

1. Powstawanie stanów nieustalonych, prawa komutacji, schematy zastępcze elementów R, L, C w chwili komutacji.

Stan obwodu elektrycznego, w którym wszystkie napięcia i prądy, a także energia SA stałe lub też okresowo zmienne w czasie nazywamy stanem ustalonym.

Wszystkie zmiany łączeniowe nazywamy komutacją.

Fałszywe założenie => W(0^-) = W(0⁺)

Jeżeli w obwodzie istnieje, co najmniej 1 element gromadzący energię (L lub C) to energia nie może zmienić się skokowo, gdyż w takim wypadku moc obwodu byłaby nieskończona.

Wynika stąd wniosek, ze energia obwodu musi zmieniać się w sposób ciągły. Zatem jeżeli w obwodzie są elementy zachowawcze (L lub C), to niemożliwe jest natychmiastowe przejście z jednego stanu nieustalonego w drugi.

Wynika stąd istnienie stanu pośredniego, czyli stanu nieustalonego.

I PRAWO KOMUTACJI

Prąd płynący w gałęzi zawierającej cewkę musi spełniać postulat ciągłości.

Natomiast napięcie na zaciskach cewki może zmieniać się skokowo, ponieważ nie wpływa ono na energię pola magnetycznego cewki.

II PRAWO KOMUTACJI

Napięcie na zaciskach kondensatora musi spełniać postulat ciągłości.

Natomiast prąd płynący przez kondensator może się zmieniać skokowo, ponieważ nie wpływa na energię pola elektrycznego kondensatora.

III PRAWO KOMUTACJI

Ponieważ rezystory nie gromadzą energii (tylko rozpraszają ją) napięcia i prądy oporników mogą zmieniać się skokowo.

Schematy elementów RLC w momencie komutacji

Element przed komutacją	Element w chwili komutacji	Element dla Stan ustalony

W analizie stanów nieustalonych pomijamy zjawisko łuku elektrycznego. Zakłada się, że rezystancja wyłącznika jest zerowa, zaś czas jego zamknięcia i otwarcia jest również zerowy.

2. Operatorowe schematy opornika, cewki i kondensatora.

1. Rezystor

2. Cewka

Dia-, paramagnetyk

Operatorowa siła elektromotoryczna wchodzi do schematu zastępczego. Jej biegunowość jest zgodna ze zwrotem prądu początkowego.

3. 
   Kondensator

Operatorowa siła elektromotoryczna
, wchodzi w skład schematu operatorowego.

Jej biegunowość jest zgodna ze wstępnym naładowaniem kondensatora (zwykle przeciwnie do prądu).

3. Prawo Ohma w postaci operatorowej. Operatorowa immitancja i jej podstawowe własności.

Rozpatrujemy gałąź szeregowego RLC. W gałęzi tej nie ma warunków początkowych, czyli:
.

impedancja zespolona:

impedancja operatorowa:

Element
	R	R

Impedancja operatorowa dwójnika pasywnego liniowego jest to stosunek transformaty napięcia na zaciskach dwójnika do transformaty prądu płynącego przez układ przy zerowych warunkach początkowych we wszystkich zachowawczych elementach dwójnika.

• 
  Zastosowanie pojęcia immitancji operatorowej do analizy układów aktywnych i z niezerowymi warunkami początkowymi.

Transformujemy:

Pojęcie impedancji operatorowej można również stosować w układach aktywnych z niezerowymi warunkami początkowymi.

• Prawa Kirchhoffa w postaci operatorowej.

I PRAWO KIRCHHOFFA w postaci operatorowej.

- rozpatrujemy oczko składające się z n-gałęzi z których każda zawiera szeregowo połączone elementy RLC oraz siłę elektromotoryczną.

II PRAWO KIRCHHOFFA w postaci operatorowej.

WNIOSKI:

Struktura operatorowych praw Kirchhoff'a i operatorowego prawa Ohma jest taka sama jak w teorii obwodów prądu stałego. Zatem przy rozwiązywaniu schematów operatorowych można wykorzystać te same zasady przekształcania obwodów, metody i twierdzenia znane w teorii obwodów prądu stałego. Dotyczy to zwłaszcza metody potencjałów węzłowych, prądów oczkowych, twierdzenia Thevenina i Hortona o wzajemności i zasadę superpozycji.

• Załączenie układu liniowego na wymuszenie stałe.

1°

2° ułamek jest nieskracalny

3°

4° Admitancja dwójnika nie ma biegunów zerowych i wielokrotnych

do (*)

Odpowiedź dwójnika liniowego na wymuszenie stałe (skokowe) zawiera dwie składowe:

1. składową ustaloną, która jest wymuszoną odpowiedzią obwodu na działające w nim źródła napięcia i prądu

2. składową przejściową, która jest swobodną odpowiedzią układu na zaburzenie spowodowane komutacją

W obwodach stabilnych bieguny immitancji są położone w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej „s”.

Do 3°

W układach stabilnych składowa przejściowa zanika do zera wraz z upływem czasu.

• Układy pierwszego rzędu i ich charakterystyka skokowa.

Układ pierwszego rzędu jest opisany następującym równaniem różniczkowym

wymuszenie

odpowiedź

Charakterystyka skokowa jest to odpowiedz układu na wymuszenie skokiem jednostkowym przy założeniu zerowym warunków początkowych w elemencie zachowawczym.

- odpowiedź skokowa układu I rzędu

WNIOSEK:

Odpowiedź skokowa układu pierwszego rzędu jest narastającą krzywą wykładniczą.

• Stała czasowa jej interpretacja fizyczna i geometryczna.

Stała czasowa jest to czas, po którym składowa przejściowa maleje e-krotnie względem swojej wartości początkowej.

Czas trwania stanu nieustalonego szacujemy od 3 do 5 stałych czasowych.

Im większa stała czasowa tym dłuższy czas trwania stanu nieustalonego.

Def.:

Odwrotnością stałej czasowej jest stała tłumienia

Geometryczna interpretacja pochodnej.

Współczynnik kierunkowy stycznej do krzywej w danym punkcie jest równy wartości pochodnej tej funkcji w tym punkcie.

Stała czasowa jest to odcięta punktu przecięcia się asymptoty i stycznej do krzywej wykładniczej w początkowej chwili czasu.

Stała czasowa jest to podstyczna krzywej wykładniczej w chwili początkowej równej zero.

Def.:

Stała czasowa jest to czas, po którym zostanie osiągnięty stan ustalony, gdyby prędkość zmian składowej przejściowej była stała i równa jej szybkości w początkowej chwili czasu.

• Układy drugiego rzędu - załączenie szeregowej gałęzi rezonansowej na napięcie stałe.

- ogólne równanie różniczkowe

układu II rzędu

x(t) - przebieg wejścia

y(t) - przebieg wyjścia

i=1,2,3,4,5,…..

(*)

(**)

A) Przypadek aperiodyczny - zachodzi, gdy wyróżnik mianownika jest dodatni.

Z (*)

- opór charakterystyczny

W przypadku aperiodycznym tłumienie jest dostatecznie duże (R>2
), zaś dobroć jest bardzo mała (Q<0.5)

Z (*)


- tłumienie

- kwadrat pulsacji rezonansowej

Rozkład biegunów w przypadku aperiodycznym

z (**)

Dla
prąd narasta, co oznacza wzrost energii pola magnetycznego cewki do wartości maksymalnej
. Dla
prąd maleje, co oznacza, że indukcyjny zbiornik energii opróżnia się. W tym samym czasie narasta napięcie na kondensatorze, czyli napełnia się indukcyjny zbiornik energii. Duże tłumienie sprawia, że omawiane procesy przebiegają monotonicznie.

B) Przypadek krytyczny

Z (*)

- opór charakterystyczny

W przypadku aperiodycznym tłumienie pozostaje duże (R=2
), zaś dobroć mała (Q=0.5)

Z (*)


- tłumienie

Rozkład biegunów w przypadku krytycznym

W przypadku krytycznym przebieg zjawisk jest podobny jak w aperiodycznym, jednak czas trwania stanu nieustalonego przypadku krytycznym jest najkrótszym z możliwych. Możliwych.

W przypadku aperiodycznym i krytycznym całkowity ładunek zgromadzony na kondensatorze jest liczkowo równy polu pod krzywą prądu..

C) Przypadek Oscylacyjny

Z (*)

- opór charakterystyczny

W przypadku aperiodycznym tłumienie jest dostatecznie duże (R<2
), zaś dobroć jest bardzo mała (Q>0.5)

Z (*)

- tłumienie

- kwadrat pulsacji rezonansowej

Im mniejsze tłumienie tym bardziej pulsacja drgań własnych zbliża się do pulsacji rezonansowej.

Rozkład biegunów w przypadku oscylacyjnym

(**)

(***)

Przebieg zjawisk jest podobny jak w przypadku aperiodycznym. Zasadnicze różnice zachodzą dla
. Obserwuje się zjawisko przelewania energii polegające na tym, że energia pola magnetycznego cewki przechodzi w energię pola magnetycznego kondensatora i na odwrót. W wyniku tego powstają drgania elektryczne. Ponieważ przejście energii odbywa się przez rezystor, który zamienia ją na ciepło, to amplituda kolejnych drgań jest coraz mniejsza.

Liczba oscylacji w czasie trwania stanu nieustalonego przybliżeniu jest równa dobroci układu.

D) Obwód bez strat

R=0

Rozkład biegunów w przypadku obwodu bez strat

Z (***)

W obwodzie bez strat amplituda jest stała zaś pulsacja drgań własnych jest równa pulsacji rezonansowej.

• Załączenie wymuszeń dowolnego kształtu. Metoda bezpośrednia, całki splotowej i rozkładu na wymuszenia na proste składowe.

a) Metoda bezpośrednia

Przejście stoku przez układ RC

Odpowiedz układu RC na stok jest dla dostatecznie dużych czasów, również prostą o tym samym współczynniku kierunkowym, co stok, lecz opóźnioną w czasie o stała czasową RC.

B) Metoda całki splotowej

Transmitancja operatorowa jest to stosunek transformaty sygnału wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego przy założeniu zerowych warunków początkowych.

W chwili początkowej t=0, sygnał wejściowy zmienia się skokowo od 0 do E. Natomiast sygnał wyjściowy zmienia się w sposób ciągły, zaś jego max nie osiąga wartości E. Czas trwania sygnału wyjściowego jest dłuższy niż czas trwania sygnału wejściowego.

C) Metoda rozkładu wymuszenia na sygnały standardowe

Transformata odpowiedzi układu na i-ty sygnał standardowy.

W układach liniowych spełniona jest zasada superpozycji sygnałów.

Najczęściej spotykane sygnały standardowe:

1. Sygnał skoku jednostkowego.

2. Skok jednostkowy z opóźnieniem czasowym

3. 
   Sygnał wyłączenia

4. Sygnał włączenia z przesunięciem czasowym

5. Sygnał skoku

6. Impuls wykładniczy

3

wyjście

wejście

U₂

U₁

I'₂

I₂

I'₁

I₁

I₁

I'₁

I₂

I'₂

Z₂=Z

Z_we

1

1'

2

2'

I₁

I'₁

I₂

I'₂

Z₁=Z

Z_wy

1

1'

2

2'

E

1

1'

2

2'

I

E

1

1'

I

2

2'

2'

2

I

1'

1

J

I

2'

2

1'

1

J

U(x)

x

A

B

φ(x)

0

π

2π

x

π

2π

x α П/2 П

A

U (t)

R

I (t)

u (t)

i (t)

L

L

U

I

L

k

U

I

1

1

k

k

k









→







1

i (t)

u (t)

C

u (t)

i (t)

L

i (t)

u (t)

C

L

E

L

R

L

R

R

i (t)

L

C

R

i (t)

e(t)

L

C

R

L

C

R

u(t)

i(t)

θ

|S|

P

Q

Prostopadłościan mocy

R

R

R

L

L

C

C

u(t)

i(t)

U(s)

I(s)

i(t)

u(t)

sL

U(s)

I(s)

u(t)

i(t)

U(s)

I(s)

u(t)

R

L

C

i(s)

C

L

R

sL

I(s)

R

U(s)

R

i(t)

L

C

u(t)

E(s)

Y(s)

I(s)

SLSB

t

E

1

T

x(t)

y(t)

t

t

T

t

T

E

R

L

R

sL

Im(s)

Re(s)

i(t)

t

Im(s)

Re(s)

i(t)

t

Im(s)

Re(s)

i(t)

t

Im(s)

Re(s)

i (t)

t

E

e (t)

t

e (t)

R

u (t)

C

E (s)

R

u (s)

RC

RC

E

t

U (t)

1I(t)

1

t

t

1

1I(t-t₀)

t₀

t

t

f(t)1I(t)

f(t- t₀)1I(t- t₀)

t₀

t

t

t1I(t)

T 2T 3T

1