Одеський державний медичний університет

Кафедра біофізики, інформатики та медичної апаратури

Методичні вказівки

студентам 1 курсу щодо підготовки

до рубіжного контролю

“Елементи вищої математики”

Затверджено на методичній нараді кафедри Протокол № від “___” ___ 2009 р. Завкафедрою ___________________

Перезатверджено на методичній нараді кафедри Протокол № від “___” ___ 201_ р. Завкафедрою ___________________

Одеса 2009 р.

1. Рубіжний контроль знань №1: “Елементи вищої математики”.

2. Актуальність рубіжного контролю знань №1.

Методи математичного аналізу знайшли широке застосування в клінічній медицині та охороні здоров'я. Знайомство з ідеями та методами математичного аналізу є необхідним елементом професійної освіти кожного працівника охорони здоров'я. Швидке зростання ролі математичних методів опису та аналізу функціонування в останні роки пов'язане з стрімким розвитком комп'ютерної техніки і, особливо, відповідного програмного забезпечення. Все це накладає велику відповідальність на майбутніх лікарів за рівень засвоєння математичних методів аналізу медико-біологічної інформації та оволодіння необхідними практичними навичками. Усвідомити свій рівень підготовки, знайти слабкі місця, якщо вони є, для подальшої корекції та одержати відповідну оцінку своїх зусиль студентам допоможе рубіжний контроль за розділом, який за програмою проводиться у вигляді контрольної роботи.

3. Цілі заняття.

Загальною цілью заняття є перевірка досягнутого рівня теоретичних знань та практичних навичок студентів у свідомому використанні математичного апарату при обробці даних медико-біологічного профілю.

Конкретні цілі заняття - контроль вміння студентів обчислювати:

Конкретні цілі заняття - контроль вміння студентів обчислювати:

1. похідні функції однієї змінної;

2. диференціали функції однієї змінної;

3. частинні похідні;

4. повні диференціали функцій кількох змінних;

5. невизначені інтеграли;

6. визначені інтеграли;

7. диференціальні рівняння з розділяючимися змінними;

8. ймовірності подій у межах програми;

9. точкові та інтервальні оцінки;

10. похибки прямих вимірювань;

11. похибки посередніх вимірювань

4. Шляхи реалізації цілей заняття:

Для реалізації цілей заняття рубіжний контроль виконується у вигляді кон­трольної роботи, під час якої кожний студент одержить особисте завдання (варіант), що містить 6 задач - по одній з кожної теми розділу “Елементи вищої математики”.

Термін виконання завдання рубіжного контролю - 80 хвилин.

Користування конспектами та іншими матеріалами заборонено.

Перевірка досягнутого рівня теоретичних знань та практичних навичок студентів буде успішною тільки при виконанні відповідних вимог до підготовки перед рубіжним контролем. Основні вимоги такі.

Студент повинен знати (2 рівень):

1. означення похідної функції однієї змінної;

2. таблицю похідних;

3. означення диференціала функції однієї змінної;

4. таблицю диференціалів ;

5. означення частинної похідної функції кількох змінних;

6. означення повного диференціала функції кількох змінних;

7. означення невизначеного інтеграла;

8. таблицю невизначених інтегралів;

9. означення визначеного інтеграла;

10. формулу Ньютона-Лейбніца;

11. метод розв'язання диференціальних рівнянь з розділяючимися змінними;

12. теореми ймовірності подій у межах програми;

13. означення основних розподілів випадкових величин їх параметрів та вибіркових оцінок цих параметрів;

14. методи обчислення вибіркових оцінок;

15. методи обчислення похибок прямих вимірювань;

16. методи обчислення похибок посередніх вимірювань.

Студент повинен володіти навичками (3 рівень):

1. обчислення похідної функції однієї змінної;

2. обчислення диференціала функції однієї змінної;

3. обчислення частинної похідної функції кількох змінних;

4. обчислення повного диференціала функції кількох змінних;

5. обчислення невизначених інтегралів методом заміни змінної;

6. обчислення визначених інтегралів методом заміни змінної;

7. обчислення невизначених інтегралів методом інтегрування частинами;

8. обчислення визначених інтегралів методом інтегрування частинами;

9. обчислення визначених інтегралів;

10. розв'язання диференціальних рівнянь з розділяючимися змінними;

11. розв'язання диференціальних рівнянь з розділяючимися змінними з одержанням частинного розв'язку;

12. обчислення ймовірності подій ;

13. обчислення точкових та інтервальних оцінок;

14. обчислення коефіцієнтів регрессії;

15. обчислення кореляційного коефіцієнта

16. перевірки надійності кореляційного зв'язку;

17. обчислення похибок прямих вимірювань;

18. обчислення похибок посередніх вимірювань.

5. Типовий варіант завдання контрольної роботи.

Контрольна робота

“Елементи вищої математики”

Варіант №

1. Імпеданс Z ділянки біологічної тканини дорівнює

,

де R - активний опір, С - ємність, а ω - кругова частота.

На скільки зміниться імпеданс, якщо частоту збільшити на dω .

2. Реакція на визначену дозу ліків через
годин після її приймання задається величиною r (вираженою у відповідних одиницях)

.

Знайдіть величину сумарної реакції на задану дозу ліків.

3. При безперервному внутрішньосудинному введенні препарату з постійною швидкістю q зміни його кiлькості m у крові описується рівнянням

де k - стала виведення препарату з крові.

Знайти залежність
.

4. У відділенні 4 палати. Ймовірність того, що протягом ночі буде потрібна киснева подушка, для 1-ої та 3-ої палат становить 0,2, для 2-ої - 0,3, а 4-ої - 0,1. Відомо, що після використання кисневої подушки доводиться застосовувати ін'єкції, при цьому відповідні ймовірності для 1-ої та 4-ої палат дорівнюють 0,2, для 2-ої - 0,3, для 3-ої - 0,1.

Визначити ймовірність застосування ін'єкцій у відділенні протягом ночі.

5. Тривалість захворювання (у днях) у 16 випадках грипу склала:

10, 11, 16, 7, 12, 15, 8, 9, 10, 11, 12, 7, 8, 12, 14, 13.

Визначити моду.

6. Границя вимірювань міліамперметра в апараті гальванізації дорівнює 50 мА, клас точності 1,5, ціна поділки 2 мА. Пацієнта лікували струмом 15 мА.

Провести обробку прямого вимірювання струму при 95% надійній імовірності.

6. Завдання для самостійної підготовки студентів до проміжного контролю.

Завдання 1

1. Основна формула дифракційної решітки

,

встановлює зв'язок між довжиною хвилі λ, спадаючого на решітку світла та кутом дифракції α. Константи c та k - період решітки та порядок спектру.

Знайти кутову дисперсію D решітки, що визначається формулою

.

2. Яка робота здійснюється при розтягуванні м'яза на l мм, якщо відомо, що при навантаженні
м'яз розтягується на
мм. Вважати силу, що розтягує м'яз, прямо пропорційною його видовженню.

3. Вицвітання зорового пурпуру під дією світла належить до числа простих фотохімічних реакцій. Протягом перших 0,01 - 0,1 с кінетика такої реакції описується рівнянням

.

де R - концентрація родопсину, t - час, відрахований від моменту включення світла, k - константа швидкості реакції, α - частка спадаючого світла, захопленого родопсином, I - інтенсивність спадаючого світла.

Одержати загальний розв'язок.

4. Для лікаря ймовірність захворіти після контакту з деяким інфекційним хворим дорівнює 2%, залишаючись здоровим, стати носієм цієї інфекції 5%.

Яка ймовірність того, що після контакту з інфекційним хворим, лікарь не стане носієм інфекції?

5. Вирахувати коефіцієнт корреляції
між зростом людини та об'ємом циркулюючої крові, використовуючи значення вибіркових коефіцієнтів регрессії
=0,04 та
=16.

6. За даними 5 вимірювань частота пульсу пацієнта склала

71, 68, 70, 69, 72

ударів за хвилину.

Провести обробку цього прямого вимірювання при 95% надійній імовірності

Завдання 2

1. Інтенсивність поляризованого світла I, що вийшло з аналізатора, залежить від кута ϕ між головними площинами поляризатора та аналізатора за законом Малюса:

,

де
- інтенсивність світла, що вийшло з поляризатора.

Як вплине на інтенсивність світла мале зміни кута dϕ?

2. Швидкість зміни концентрації n препарату з ізотопним індикатором у момент часу t (год.) дається формулою

.

Визначити концентрацію препарату через 2 години після введення, якщо початкова концентрація становить 30 мкг на літр.

3. Розв'язати рівняння Ферхюльста, що описує зріст чисельності дуже великих популяцій,

,

де k та l -сталі.

4. Протягом 10 хвилин на диспетчерський пункт швидкої допомоги може поступити: 4 виклики з імовірністю 0,1, 3 виклики з імовірністю 0,3, 2 виклики з імовірністю 0,3, 1 виклик з імовірністю 0,2 та не поступити жодного виклику з імовірністю 0,1.

Визначити математичне сподівання дискретної випадкової величини.

5. Тривалість захворювання (у днях) у 17 випадках пневмонії склала:

10, 11, 6, 16, 7, 13, 15, 8, 9, 10, 11, 13, 7, 8, 13, 15, 9

Визначити медіану.

6. Площа поверхні тіла S (кв. м) пов'язана із зростом H (см) та масою W (кг) співвідношенням

.

Написати формулу для відносної похибки.

Завдання 3

1. При вливанні глюкози її вміст С у крові хворого (виражений у відповідних одиницях) через t годин становить

Визначити залежність швидкості зміни вмісту глюкози у крові хворого від часу.

2. Зв'язок між зміною dp надлишкового тиску у кровоносній судині та зміною dr її радіуса (при великих значеннях модуля пружності E) виражається формулою

,

де b - const.

Визначити залежність Δp(r) .

3. Сила струму I при розмиканні кола з індуктивністю L та опором R описується рівнянням

.

Знайти залежність
при відключенні апарату від кола.

4. У відділенні 5 палат. Імовірність того, що протягом ночі буде потрібна киснева подушка, для 1-ої та 5-ої палат становить 0,25, для 2-ої - 0,3, для 2-ої та 4-ої- 0,1.

Визначити ймовірність того, що протягом ночі буде потрібна киснева подушка в 1-у та 4-у палати.

5. Знайти емпіричне рівняння лінійної регрессії об'єму циркулюючої крові V(л) на зріст H(см), використовуючи значення вибіркових середніх
= 5,
= 170 та вибіркового коефіцієнта регрессії
= 0,04.

6. Секундний викид лівого шлуночка
пов'язан прямо пропорційною залежністю з тиском
у лівому передсерді

,

де - коефіцієнт функціонального стану лівого шлуночка.

Написати формулу для відносної похибки.

7. Інформацію для закріплення вихідних знань-вмінь можна знайти у посібниках:

• Жуматій П.Г. “Математична обробка медико-біологічних даних. Задачі та приклади”. Одеса, 2009.

• Жуматій П.Г., Сеницька Я. Р. Елементи вищої математики. Методичні вказівки для студентів медичного інститута. Одеса, 1981

Методичну розробку склав доц. П.Г.Жуматій.

1

2

---