FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ

Mówimy, że w zbiorze X została określona funkcja, jeżeli każdemu elementowi zbioru X został przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru Y.

Zbiór wartości funkcji f nazywamy przeciwdziedziną funkcji, zbiór X natomiast nazywamy dziedziną funkcji, a jej elementy argumentami.

Wykresem funkcji nazywamy zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych (x, f(x)).

Określeniem funkcje monotoniczne obejmujemy następujące rodzaje funkcji:

jest ściśle rosnąca

jest ściśle malejąca

jest niemalejąca

jest nierosnąca

Funkcję
nazywamy parzystą, jeżeli

Funkcję
nazywamy nieparzystą, jeżeli

Funkcję
nazywamy różnowartościową, jeżeli

Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y i jest różnowartościowa. Możemy określić na zbiorze Y funkcję
,
, która nazywamy funkcją odwrotną do funkcji y=f(x).

Niech dane będą funkcje
oraz
. Dla każdego elementu
istnieje dokładnie jeden taki element
, że
. Funkcje f i g wyznaczają nową funkcję
określoną następująco:
dla każdego
. Funkcję h nazywamy funkcją złożoną z funkcji f i g. Funkcję g nazywamy funkcją zewnętrzną funkcji złożonej, a funkcje f funkcją wewnętrzną funkcji złożonej.

Funkcje trygonometryczne:

-

• okresowe ( istnieje taka liczba k, nazywana okresem funkcji), że dla każdego x zachodzi równość
  

• y=sinx okres
  , nieparzysta

• y=cosx okres
  , parzysta

• y=tgx
  ,
  , okres
  , nieparzysta

• y=ctgx
  ,
  , okres
  , nieparzysta

Funkcje cyklometryczne

• odwrotne do trygonometrycznych

funkcja	przedział	Funkcja odwrotna
y=ctgx

Funkcja wykładnicza

-
funkcja wykładnicza
określona dla wszystkich


-
funkcja ściśle niemalejąca

-
funkcja ściśle rosnąca

-


Funkcja logarytmiczna

• funkcja odwrotna do wykładniczej

• 
  

• określona dla x>0

• 
  ściśle rosnąca

• 
  ściśle malejąca

• 
  

GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

Funkcja określona na pewnym sąsiedztwie
, czyli na zbiorze
.

Granica według Heinego:

Liczbę g nazywamy granica funkcji f w punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu
o wyrazach
, zbieżnego do
, ciąg
jest zbieżny do g:


Uwagi:

1. jeżeli w powyższej definicji sąsiedztwo
zastąpimy sąsiedztwem lewostronnym
lub prawostronnym
, to otrzymamy definicje granicy lewostronnej lub prawostronnej w punkcie
:



2. jeżeli w powyższej definicji ciąg
jest zbieżny do
lub do
, to mówimy, ze funkcja w punkcie
ma granice niewłaściwą

3. jeżeli w definicji granicy ciąg
jest rozbieżny do
lub do
, to mówimy o granicy funkcji w nieskończoność i piszemy:



Twierdzenia ułatwiające obliczanie granic:

TWIERDZENIE 1. ( o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji)

Jeżeli
i
, to:

1)


2)


3)
przy zalożeniu


TWIERDZENIE 2. (o granicy funkcji złożonej)

Jeżeli
 i  
 oraz
 dla każdego x z pewnego sąsiedztwa punktu
, to 


 

Wzory:

1)


2)
 , 


3)


 Funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy


TWIERDZENIE 3.

Suma, różnica, iloczyn i iloraz funkcji ciągłych w punkcie
 jest funkcją ciągła w punkcie
, przy założeniu, że w przypadku ilorazu mianownik jest różny od zera w punkcie
.

 

TWIERDZENIE 4. (o ciągłości funkcji złożonej)

Jeżeli funkcja g(x) jest ciągła w punkcie
i funkcja f(t) jest ciągła w punkcie
, to funkcja złożona f(g(x)) jest ciągła w punkcie
.

TWIERDZENIE 5. (o ciągłości funkcji odwrotnej)

Funkcja odwrotna do funkcji f ciągłej i rosnącej (malejącej) na przedziale X jest ciągła i rosnąca (malejąca) na przedziale f(X)

TWIERDZENIE 6.

Jeżeli istnieje granica właściwa
i funkcja f(t) jest ciągła w punkcie
, to


To twierdzenie pozostaje prawdziwe również dla granic jednostronnych oraz dla


 

 

4

---