WYMIAROWANIE PRĘTÓW SKRĘCANYCH

Wymiarowanie prętów skręcanych wykonujemy w oparciu o stan graniczny nośności i stan graniczny użytkowania.

Stan graniczny nośności wymaga aby największe naprężenia styczne w przekroju były mniejsze od wytrzymałości na ścinanie (naprężeń obliczeniowych przy ścinaniu) Rt

W przypadku pręta o stałym przekroju poprzecznym na całej jego długości największe naprężenia styczne wystąpią w przekroju maksymalnego momentu skręcającego we wszystkich punktach na obwodzie i warunek stanu granicznego nośności przyjmie formę:

Warunek wytrzymałościowy przyjmuje następującą postać

lub

ks - dopuszczalne naprężenia na skręcanie(wg teorii naprężeń dopuszczalnych)

Rt oznacza wytrzymałości na ścinanie (skręcanie) (wg teorii stanów granicznych)

.

PRZYKŁAD 1

Określić średnicę wałka kołowego, jeżeli moment skręcający wynosi Ms.

Przekształcając warunek wytrzymałościowy, uzyskujemy zależność określającą wartość średnicy wałka

stąd

Stan graniczny użytkowania to warunek zapewniający brak przekroczenia pewnej dopuszczalnej wartości jednostkowego kąta skręcenia. Warunek ten jest najczęściej podyktowany względami technologicznymi (np. bezpieczna praca wału w maszynie)

Stan graniczny użytkowania nie dopuszcza zbyt dużego kąta skręcenia w konstrukcji i związany z nim warunek stawia wymóg, by największy jednostkowy kąt skręcenia był mniejszy od dopuszczalnego

Drugim warunkiem, który podlega sprawdzeniu przy obliczaniu elementów skręcanych jest warunek sztywności.

Sprowadza się on do określenia wartości kąta skręcenia wałka i porównania jej z wartością dopuszczalnego kąta skręcenia

W przypadku pręta pryzmatycznego wykonanego z jednego materiału największy jednostkowy kąt skręcenia wystąpi w przekroju maksymalnego momentu skręcającego i warunek stanu granicznego użytkowania na długości 1m przyjmuje postać:

PRZYKŁAD 2

Określić średnicę wałka kołowego, jeżeli dopuszczalny kąt skręcenia wynosi φ_dop= 0,25^o/1m.

Przekształcając warunek sztywności, uzyskujemy zależność określającą wartość średnicy wałka

UWAGA!!!

do wzoru podstawiamy l = 1m

φdop zamieniamy na radiany

360^o=2Π rad

ZADANIE

Wyznaczyć potrzebną średnicę pręta skręcanego obciążonego jak na rysunku ze względu na stan graniczny nośności i użytkowania jeśli R t = 130MPa, G=80 GPa,ၪ dop = 0,3o/m.

Po przyjęciu średnicy wykonać wykres katów skręcenia poszczególnych przekrojów względem przekroju A.

Rozwiązanie

1.wykres momentów skręcających w rozważanym pręcie pokazuje rysunek poniżej:

2.Maksymalny moment skręcający odczytujemy z wykresu max Ms = 10,0 kNm

3.Wyznaczenie średnicy pręta.

a) Potrzebny wymiar ze względu na stan graniczny nośności (warunek

wytrzymałościowy) :

b) Potrzebny wymiar ze względu na stan graniczny użytkowania:

W warunku stanu granicznego użytkowania  dop podane w °/m należy wyrazić w 1/m ponieważ 180° =  - stąd forma zapisu tego warunku.

Przyjęto do wykonania d = 12,5 cm .

4. Biegunowy moment bezwładności pręta przy takiej średnicy wynosi:

Kąty skręcenia względem przekroju utwierdzenia wyznaczymy sumując kąty skręcenia poszczególnych przekrojów charakterystycznych względem siebie.

Ponieważ we wszystkich przedziałach charakterystycznych momenty skręcające są stałe, to kąty skręcenia możemy liczyć według wzoru:

Obliczone kąty pozwalają narysować wykres katów skręcenia, który został pokazany na

rysunku poniżej.

---