13.a) Szereg potęgowy zespolony i tw. Cauchy-Hadamarda.

Szereg zespolony postaci
nazywamy szeregiem potęgowym zespolonym. Liczby zespolone a_n (n=0,1,2...) nazywamy współczynnikami tego szeregu. Liczbę z₀ nazywamy środkiem koła zbieżności danego szeregu.

tw. Cauchy-Hadamarda - dany jest szereg potęgowy
oraz istnieje granica

. Wtedy 1.) jeżeli λ=0 to szereg jest bezwzględnie zbieżny w całym C, 2.) jeżeli λ=∞ to szereg jest zbieżny tylko w z=z₀, 3.) jeżeli λ∈(0,∞) to szereg jest bezwzględnie zbieżny w kole K⁰(z₀;R) gdzie R=1/λ.

13.b) Wymienić znane rozwinięcia w szereg potęgowy funkcji e^z, sin z , itd. Wskazać koła zbieżności odpowiednich rozwinięć.

---