1. Zagadnienia teoretyczne

Atomy znajdujące się w ciele stałym oddziałują na siebie , co powoduje przesunięcie poziomów energii , tworzących tzw. pasma .Odległości między poziomami w paśmie są bardzo małe . Szerokość pasma w skali energii jest zwykle rzędu 1 eV . Przy N równym około 10²³ atomów w krysztale w paśmie tym jest 10²³ poziomów odległych od siebie o około 10^-23 eV. Przy tak znikomej odległości poziomów można traktować pasmo jako ciągłe . Szerokości pasm i ich odstępy w skali energii zależą tylko od odległości między atomami w sieci.

Na każdym poziomie energii mogą się znajdować najwyżej dwa elektrony (zasada Pauliego) . Wobec tego , przy N atomach , w każdym paśmie mamy 2N dostępnych stanów . Zależnie od liczby elektronów w atomach tworzących kryształ najwyżej położone pasmo odpowiadające elektronom walencyjnym będzie zapełnione całkowicie lub tylko częściowo . Jeśli pasmo to nie jest całkowicie zapełnione , tzn. są w nim poziomy nie obsadzone przez elektrony , to nazywamy je pasmem przewodnictwa . Jeśli natomiast jest ono zapełnione , to nazywamy je pasmem walencyjnym.

Jeżeli k będzie wektorem sieci odwrotnej to zależność E od k jest postaci:

Linie ciągłe przedstawiają pasma w których energia zmienia się w sposób kwaziciągły, które są oddzielone pasmami wzbronionymi. Pasma dozwolone składają się z leżących blisko siebie dyskretnych poziomów, równych liczbie atomów w próbce.

Jeżeli najwyżej położone pasmo jest całkowicie wypełnione (jest to więc pasmo walencyjne) , to substancja taka jest dobrym izolatorem . Elektrony uzyskujące pod wpływem pola dodatkową energię musiałyby przejść na wyżej położone poziomy . Ale wszystkie poziomy w paśmie są już całkowicie zapełnione , a możliwość , aby elektron z pasma walencyjnego przeszedł do wyżej położonego (pustego) pasma przewodnictwa , jest mało prawdopodobna . W substancjach które są półprzewodnikami , struktura pasm jest podobna do tej w izolatorach z tą jednak istotną różnicą , że przerwa energetyczna E_g między pasmem walencyjnym i pasmem przewodnictwa jest dużo mniejsza (np. 0,7 eV dla germanu , 1,1 eV dla krzemu). W tym wypadku elektrony - przy wzroście temperatury - mogą przejść z większym prawdopodobieństwem do pasma przewodnictwa , gdzie stają się swobodnymi nośnikami prądu (podobnie jak w metalach) . Dodatkowo jednak , w paśmie walencyjnym pozostają przy tym nie obsadzone poziomy (dziury) , na które mogą przechodzić elektrony z sąsiednich poziomów .

Przewodnictwo półprzewodników można zwiększyć wprowadzając do nich pewne domieszki , które mogą występować jako tzw. donory lub akceptory . Przypuśćmy , że atomy domieszki mają więcej elektronów walencyjnych niż atomy półprzewodnika . Na przykład krzem ma 4 elektrony walencyjne , natomiast wprowadzany jako domieszka fosfor - 5 elektronów . Dodatkowe elektrony nie mieszczą się w paśmie walencyjnym sieci krystalicznej krzemu i zajmują osobne poziomy (poziomy donorowe) między pasmem walencyjnym i pasmem przewodnictwa .

Odległość tych poziomów od dna pasma przewodnictwa może być bardzo niewielka , toteż przy niewielkim wzbudzeniu termicznym elektrony z tych poziomów przechodzą łatwo do pasma przewodnictwa i stanowią nośniki prądu. Mówimy w tym wypadku o półprzewodnikach typu n , gdyż nośnikami prądu są ujemnie naładowane elektrony .

Można także domieszkować półprzewodnik atomami , które mają mniej elektronów walencyjnych (np. krzem - domieszką boru który wnosi tylko 3 elektrony ). Taki półprzewodnik nazywamy półprzewodnikiem typu p .

1. Zjawisko Halla:

Jeżeli płytkę z metalu lub półprzewodnika włączymy w obwód prądu stałego i umieścimy w polu magnetycznym, którego wektor H jest prostopadły do płytki i do kierunku prądu elektrycznego, to między punktami A i B powstanie różnica potencjałów U_H zwana napięciem Halla. Zjawisko to jest znane od bardzo dawna, odkrył je w 1879 r. E. H. Hall. Wkrótce też zaobserwowano, ze znak napięcia Halla jest w jednych przewodnikach normalny - tzn. taki jaki można by przewidzieć opierając się na założeniu, że nośnikami prądu są ujemnie naładowane elektrony - a w innych przewodnikach ma znak przeciwny, czyli anormalny. Trudności interpretowania anormalnego znaku napięcia Halla zostały usunięte przez przyjęcie założenia, że nośniki prądu mogą być zarówno ujemne, jak dodatnie.

Sposób pomiaru napięcia Halla polega na umieszczeniu prostopadłościennej płytki o grubości d, długości l i szerokości b w polu magnetycznym o natężeniu H prostopadłym do jej największej powierzchni. Jeżeli przez płytkę przepuszczamy prąd elektryczny o natężeniu i to między elektrodami A i B powstanie różnica potencjałów której pomiar jest celem doświadczenia. Przyjmijmy, że nośnikami prądu są elektrony. W polu elektrycznym E_X o kierunku zgodnym z wektorem i elektrony poruszają się w krysztale w kierunku przeciwnym polu. Na poruszające się w polu magnetycznym elektrony dział siła Lorentza, której kierunek wyznacza reguła lewej ręki i której wielkość zapisuje się przy pomocy wzoru wektorowego:

(1)

Otóż każdy elektron w krysztale nabierający prędkości w skutek przyspieszenia go prze pole elektryczne zostaje odchylony od swego początkowego kierunku ruchu. Wskutek takiej zmiany torów elektrony gromadzą się na jednej powierzchni kryształu, a brak ich na drugiej. Proces odchylania elektronów od ich pierwotnego kierunku trwa tak długo, aż powstałe poprzeczne pole elektryczne E_Y = U_H/B zrówna się z siłą Lorentza i zacznie przeciwdziałać dalszemu odchylaniu się elektronów. W krysztale wytworzy się pewien stan równowagi, który możemy zapisać:

(2)

Składowa v_X prędkości elektronu wynosi:

V_X = μE_X (3)

Gdzie μ jest ruchliwością elektronu, E_X - natężeniem pola elektrycznego warunkującego przepływ prądu wzdłuż próbki.

Ze wzorów (2) i (3) otrzymujemy:

(4)

Natężenie prądu i płynącego przez próbkę możemy zapisać:

i = j d b = σ E_X d b = μ e n E_X d b (5)

gdzie j jest gęstością prądu. Gdy obliczone stąd μ wstawimy do wzoru (4), to po prostych przekształceniach otrzymamy:

(6)

Wprowadzoną tu wielkość:

nazywamy współczynnikiem Halla. Jak widzimy jego wielkość określają dwie stałe fizyczne i jeden parametr charakteryzujący półprzewodnik, a mianowicie koncentracja nośników prądu elektrycznego. Tak więc pomiar napięcia Halla pozwala określić liczbę elektronów biorących udział w przewodzeniu prądu.

2. Efekty towarzyszące pomiarom współczynnika Halla i sposoby eliminowania

tych efektów.

Wyprowadzenie wzoru na napięcie Halla opiera się na równości (2). Równanie to jest słuszne tylko dla elektronów o pewnej średniej prędkości v_x . Odchylenia elektronów o prędkości większej od v_x nie będą skompensowane działaniem pola E_γ , skutkiem czego elektrony te będą skupiały się przy jednym brzegu płytki.

Elektrony o prędkości mniejszej od v_x będą pod wpływem pola E_γ dążyły do przeciwległego brzegu. Nagromadzone przy jednym brzegu płytki szybkie elektrony będą, poprzez zderzenia z atomami sieci, przekazywały swoją energię cieplną kryształowi, powodując ogrzewanie tego brzegu. Elektrony powolne, będą w analogiczny sposób ochładzały przeciwny brzeg płytki. Tak więc równocześnie z napięciem Halla powstanie poprzeczny gradient temperatury. Zjawisko to nazywamy efektem Ettingshausena.

Przy pewnej różnicy temperatur ustali się pewien stan równowagi, w którym poprzeczny przepływ ciepła, uwarunkowany przewodnictwem cieplny materiału i różnicą temperatur, będzie zrównoważony ilością ciepła przenoszonego przez prędkie elektrony.

Efekt Halla i efekt Ettingshausena są dwoma nierozłącznie występującymi poprzecznymi efektami galwanometrycznymi. Obok nich występują efekty termomagnetyczne, jak efekt Ettingshausena-Nernsta i efekt Righi-Leduca.

Efekt Ettingshausena-Nernsta powstaje wówczas, gdy wzdłuż płytki przepływa strumień ciepła.

Elektrony przemieszczające się pod wpływem gradientu temperatur mają pewną wypadkową prędkość i dzięki działaniu poprzecznego pola magnetycznego są odchylane do jednego z brzegów płytki. Powstaje przy tym poprzeczne pole elektryczne.

Odchylanie ”gorących” elektronów ku jednemu brzegowi płytki spowoduje powstanie nie tylko poprzecznego pola elektrycznego, lecz także poprzecznego gradientu temperatury. Zjawisko to nazywa się efektem Righi-Leduca.

Poprawne zmierzenie współczynnika Halla wymaga zastosowania różnych metod eliminujących wpływ efektów towarzyszących.

Najczęściej spotykanym i najłatwiejszym sposobem pomiaru R jest posługiwanie się stałym prądem sterującym płytkę i stałym polem magnetycznym H.

Sondy hallowskie mierzą różnicę potencjałów U pochodzącą nie tylko od efektu Halla, lecz także od wszystkich efektów towarzyszących. Można więc napisać:

U = U_H + U_E + U_E-N + U_R-L + U_ρ

gdzie U_ρ jest napięciem wynikającym ze złego ustawienia sond.

Po przeprowadzeniu czterech pomiarów przy wszystkich możliwych

kombinacjach kierunków prądu i pola magnetycznego otrzymamy:

U₁ (+i, +H) = + U_H + U_E + U_E-N + U_R-L + U_ρ

U₂ (-i, +H) = - U_H - U_E + U_E-N + U_R-L - U_ρ

U₃ (+i, -H) = + U_H + U_E - U_E-N - U_R-L - U_ρ

U₄ (-i, -H) = - U_H - U_E - U_E-N - U_R-L + U_ρ

Dodając te równania stronami otrzymamy:

U_H + U_E = ¼ (U₁ - U₂ + U₃ - U₄)

Wyeliminowaliśmy więc wszystkie efekty z wyjątkiem efektu Ettingshausena, który jest nierozłącznie związany z efektem Halla.

---