Wyznaczanie pojemności kondensatora metodą drgań relaksacyjnych

Cel ćwiczenia:

Wyznaczenie pojemności kondensatorów metodą drgań relaksacyjnych.

Wstęp teoretyczny:

Wyładowania jarzeniowe w gazach rozrzedzonych:

Rodzaj samoistnego wyładowania w gazach rozrzedzonych przejawiającego się tzw. zimnym świeceniem, którego przebieg i rozkład zależą od rodzaju i ciśnienia gazu np. przy ciśnieniu rzędu kilkudziesięciu Pa w rurze lampy jarzeniowej występują obszary świecące (poświaty oraz zorza) i nieświecące (ciemne). Emisja światła jest rezultatem jonizacji cząsteczek gazu przez elektrony wybite z katody w wyniku uderzeń w nią rozpędzonych w polu elektrycznym dodatnich jonów gazu i wiąże się z powrotem atomów do stanu podstawowego. W gazie pod ciśnieniem rzędu kilkudziesięciu hPa następuje świecenie gazu w całym obszarze między elektrodami, które ma postać falującej wstęgi światła. Zjawisko wyładowań jarzeniowych wykorzystywane jest w lampach jarzeniowych, wskaźnikach literowych i cyfrowych oraz lampach wieloelektrodowych z łukiem przeskakującym między elektrodami, stosowanych do zliczania impulsów i przełączania.

Pojemność elektryczna przewodników i kondensatorów:

Wielkość skalarna charakteryzująca zdolność ciała przewodzącego do gromadzenia ładunku elektrycznego. Pojemność elektryczna odosobnionego przewodnika jest to stosunek ładunku zgromadzonego na tym przewodniku do potencjału tego przewodnika:

C =

Zależy ona od kształtu i rozmiarów przewodnika, przenikalności dielektrycznej ε, otaczającego ośrodka oraz od położenia innych przewodników. Układami przewodników o dużej pojemności są kondensatory np. pojemność elektryczna kondensatora płaskiego wynosi:

gdzie S - powierzchnia płyt kondensatora, d - odległość.

Pojemność elektryczna równolegle połączonych kondensatorów wynosi:

C = C₁ + C₂ + ... + C_n,

nastomiast dla kondensatorów połączonych szeregowo:

Jednostką pojemności elektrycznej w układzie SI jest farad F=
.

Energia pola elektrycznego kondensatorów:

Określa energię zgromadzoną w kondensatorze według wzoru:

gdzie:

C - pojemność kondensatora;
U - różnica potencjałów(napięcie);
Q - ładunek zgromadzony na okładkach kondensatora;
E - energia.

Ładowanie kondensatora w układzie RC:

Najprostszy układ ładowania kondensatora:

W powyższym układzie po zamknięciu wyłącznika w w chwili t=0, rozpocznie się ładowanie kondensatora C poprzez rezystor R. Kondensator C będzie ładowany prądem I ze źródła o napięciu U_we. Można to zapisać w postaci równań:

Ostatnie równanie jest równaniem różniczkowym, którego rozwiązaniem jest:

Jak widać ze wzoru kondensator C zostanie naładowany do wartości U_we dla t znacznie większego od RC, co jest uwidocznione w postaci krzywej ładowania kondensatora.
Wartość stałej A wylicza się uwzględniając warunki początkowe, czyli w chwili t=0. Wówczas U=0, a więc A=-U_we. Ostatecznie otrzymuje się wzór na ładowanie kondensatora w układzie RC:

Charakterystyki ładowania kondensatora:

a) zależność napięcia pomiędzy okładzinami kondensatora w funkcji czasu - U(t) przedstawia poniższa charakterystyka:

b) zależność prądu ładowania kondensatora i ładunku zgromadzonego na okładzinach kondensatora - I(t) i Q(t) w funkcji czasu przedstawia poniższa charakterystyka:

Rozładowywanie kondensatora w układzie RC:

Kondensator C został naładowany do napięcia U₀. Jeżeli do tak naładowanego kondensatora zostanie w chwili t=0 dołączony rezystor R (po zamknięciu wyłącznika W), to:

Jest to równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest:

Z powyższego wzoru widać, że naładowany kondensator, obciążony rezystorem zostanie rozładowany, a krzywa rozładowania obwodu RC będzie wyglądała następująco:

Pozostałe charakterystyki rozładowania kondensatora wyglądają następująco:

1. zależność natężenia prądu i ładunku w funkcji czasu podczas rozładowywania kondensatora

Iloczyn RC jest nazywany stałą czasową . Jeżeli R będzie podawane w omach, a C w faradach to jednostką stałej czasowej będzie sekunda. Stałą A można wyliczyć z warunków początkowych, czyli dla t=0 to U=U₀, z czego wynika, że A=U₀.
Wzór na rozładowanie kondensatora można więc zapisać następująco:

Przebieg ćwiczenia:

Przedmioty niezbędne do wykonania ćwiczenia:

- żarówka neonowa,

- kondensator dekadowy 1-10µF,

- opornik R=5MΩ,

- dwa kondensatory o nieznanej pojemności C₁ i C₂

- stoper

1.Łączymy układ pomiarowy według poniższego schematu :

2. Ustawiamy wartość opornika dekadowego na 5MΩ.

3. Zmieniając wartości pojemności kondensatora dekadowego w zakresie 110 F (zmiana co 1 F) mierzymy czas t₁₀ dziesięciu drgań relaksacyjnych dla każdej ustawionej wartości pojemności C.

4. Dokonujemy pomiaru czasu t₁₀ dziesięciu drgań relaksacyjnych w sytuacji gdy kondensator dekadowy zostanie zastąpiony przez:

1. kondensator C₁

2. kondensator C₂

3. kondensatory C₁i C₂ połączone szeregowo

4. kondensatory C₁i C₂ połączone równolegle

5. Obliczamy wartości iloczynów RC, okresy T drgań badanych w pkt.3 oraz wartości okresów T₁, T₂, T_s, T_r drgań badanych w pkt.4 według następujących wzorów:

- stała czasowa τ = RC[s] :

Przykład:

R=5×10⁶Ω

C=2×10^-6F

τ = RC = 10[s]

- okres drgań T = t₅₀/50[s]:

Przykład:

T₁₀ = 49[s]

T = 49/10 = 4,9[s]

6. Wyznaczam parametry prostej regresji(a - współczynnik kierunkowy, b - wyraz wolny) na podstawie wartości y =T, x =RC:

Stąd:

T = aRC + b

Przykład:

dla C = 2µF:

y₁ = T = 2,45[s]

x₁ = RC = 10[s]

dla C = 3µF:

y₁ = T = 3, 25[s]

x₁ = RC = 15[s]

Rozwiązujemy układ równań:

2,45 = 10a + b

3,25 = 15a + b

……………..

a = 0,16 - współczynnik K

b = 0,85[s] - stała czasowa T₀

7. Wyznaczam pojemności badanych kondensatorów C₁ i C₂ według wzoru:

Przykład obliczeń:

T_C1 = 7,9[s]

T₀ = 0,85[s]

K = 0,16

R = 5MΩ

Analogicznie wyznaczamy pojemność kondensatora C₂ oraz pojemności zastępcze C_r i C_s podstawiając odpowiednie wartości okresu 10 drgań T[10].

Wyniki pomiarów z pkt. 3 i 4 oraz obliczone wartości: RC, T , K, T₀, C₁, C₂ w punktach 5, 6, 7 przedstawiam w poniższej tabeli:

8. Obliczamy wartości pojemności zastępczych kondensatorów C₁ i C₂ połączonych szeregowo (C_zs) i połączonych równolegle (C_zr).

C₁ = 8,81×10^-6F

C₂ = 0,25×10^-6F

C_zs =
=
0,24×10^-6F = 0,24 µF

C_zr = C₁ + C₂ = 8,81×10^-6 + 0,25×10^-6 = 9,05×10^-6F = 9,05 µF

9. Obliczamy względne różnice δ= |C_s-C_zs|/C_zs i δ= |C_r-C_zr|/C_zr wyrażone w procentach pomiędzy wartościami C_s i C_zs oraz C_r i C_zr.

C_zs = 0,24 µF

C_zr = 9,05 µF

C_s = 0,125 µF

C_r = 10,125 µF

δ= |C_s-C_zs|/C_zs = |0,125×10^-6 - 0,24×10^-6 |/0,24×10^-6 = 0,49×10^-6 F = 0,49 µF

δ= |C_r-C_zr|/C_zr = |10,125×10^-6 - 9,05×10^-6 |/9,05×10^-6 = 0,12×10^-6 F = 0,12 µF

Zestawienie wyników obliczeń z punktów 8 i 9 przedstawia poniższa tabela:

C1[uF]	C2[uF]	Cs[uF]	Czs[uF]	δ[%]	Cr[uF]	Czr[uF]	δ[%]
8,81	0,25	0,125	0,24	0,49	10,125	9,05	0,12

Do sprawozdania dołączam wykres zależności T=f(RC) wraz prostą kalibracji oraz naniesionymi punktami odpowiadającymi wynikom pomiarów z pkt.4.

Wnioski:

Z przeprowadzonego ćwiczenia jednoznacznie wynika, że czas ładowania kondensatora jest proporcjonalny do stałej czasowej układu ładowania kondensatora. Im większa stała czasowa układu tym dłuższy czas ładowania kondensatora, tak więc w danym układzie RC czas ładowania kondensatora możemy swobodnie ustalać poprzez odpowiedni dobór wartości rezystancji opornika.

										C1	C2	Cs	Cr
C [uF]	2	3	4	5	6	7	8	9	10	8,81	0,25	0,125	10,125
RC [s]	10	15	20	25	30	35	40	45	50	44	1,25	0,625	50,625
T10	10	6,8	4,7	3,3	2,2	1,5	1,0	680	470	330	21	19	179
T[50]	2,45	3,25	3,8	5,8	6,6	6,7	8,85	9,8	10,2	7,9	1,05	0,95	8,95
K	0,16	0,16	0,16	0,16	0,16	0,16	0,16	0,16	T0	0,85	0,85	0,85	0,85

---