20.a) Podać twierdzenia „ o wzorach całkowych Cauchy'ego”

tw. Jeżeli f-cja ƒ(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D, zaś CЄD jest kawałkami gładką krzywą Jordana, która zawiera punkt z₀ w swym wnętrzu, to

tw. Jeżeli f-cja jest holomorficzna w obszarze D, to ma w tym obszarze pochodną każdego rzędu, przy czym dla każdego naturalnego n i dla każdego z₀ należącego do D

gdzie K oznacza dowolny okrąg o środku z₀ leżący wraz ze swym wnętrzem w obszarze D

Uzupełnienie:

Krzywa Jordana - (def.) to zwykła krzywa zamknięta w przestrzeni R² (np. okrąg elipsa, łamana będąca brzegiem wielokąta wypukłego). Dzieli ona płaszczyznę na dwa obszary. Obszar ograniczony krzywą nazywany jest wnętrzem krzywej Jirdana. Drugi obszar jest niepgraniczony.

Obszar jednospójny- (def) jest obszar, do którego należy wnętzre każdej leżącej w nim krzywej Jordana.

20.b) Obliczyć

Punkty osobliwe *1:
- biegun 2-krotny

Punkty osobliwe *2:
- biegun 5-krotny

Na podstawie wzoru całkowego Cauchy`ego:

---