LABORATORIUM ELEKTRONIKI w EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM II		Rok akademicki 2004/2005
Środa 14^15 - 17^00	Szeszko Justyna Sala Filip	Ćwiczenie wykonano w dniu: 2.III.2005
Ćwiczenie 1	Obwody rezonansowe	Ocena:

0. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia było zapoznanie się z właściwościami obwodów rezonansowych, ich parametrami oraz odpowiedzią na pobudzenie sygnałami harmonicznymi i prostokątnymi.

1. Schemat układu pomiarowego i wykaz użytych przyrządów, opis

procedury pomiaru

Do przeprowadzenia ćwiczenia użyliśmy następujących przyrządów pomiarowych:

a) Generatora z wbudowanym częstościomierzem - HAMEG 8030-5

b) Woltomierza z sondą 10V - typ U722A

c) Oscyloskopu

Przed przystąpieniem do wykonania ćwiczenia „wyzerowaliśmy” woltomierz przy zwartych zaciskach.

Pierwsza część ćwiczenia polegała na zbadaniu zależności prądu od częstotliwości. W tym celu złożyliśmy obwód według poniższego schematu i mierzyliśmy napięcie na oporniku o znanej oporności.

W obwodzie tym użyliśmy kondensatora o pojemności
, cewki oraz opornika o oporze
a następnie
. Do układu za pomocą generatora wprowadzaliśmy sygnał sinusoidalny o określonej częstotliwości, który pracował jako źródło napięciowe.

Na wstępie wyznaczyliśmy przybliżoną wartość częstotliwości rezonansowej obwodu obserwując zmiany napięcia na woltomierzu w zależności od częstotliwości. Wiedząc, że częstotliwości rezonansowej odpowiada maksymalna wartość napięcia na oporniku mogliśmy podać przybliżoną wartość częstotliwości rezonansowej. Następnie zmieniając częstotliwość sygnału doprowadzanego do obwodu przez generator mogliśmy zapisywać poszczególne wartości napięcia na oporniku. Najpierw na oporniku
a następnie
.

Trzeba zaznaczyć tutaj, że mówiąc o napięciu na oporniku mówimy o wartości skuteczne tego napięcia (ponieważ jest to napięci zmienne) a nie o wartości chwilowej. Dlatego też na podstawie naszego pomiaru możemy wyznaczyć zależność modułu natężenia (a dokładniej wartości skutecznej) prądu płynącego przez opornik od częstotliwości.

Następnie odłączyliśmy woltomierz z sondą podłączając do opornika
wejście oscyloskopu. Obwód pobudzaliśmy doprowadzanym z generatora napięciem prostokątnym o wartościach częstotliwości odpowiednio równych f, f/2 oraz f/3 :gdzie f- częstotliwość rezonansowa.

Kolejnym etapem ćwiczenia było zbadanie równoległego obwodu RLC. W tym celu złożyliśmy następujący układ:

W obwodzie użyliśmy tego samego kondensatora co w poprzednim obwodzie
, cewki oraz opornika o dużej oporności
a następnie
. Dzięki dołączeniu tak dużego oporu generator mogliśmy traktować jaki źródło prądowe.

Dla tego obwodu zdjęliśmy zależność modułu napięcia skutecznego od częstotliwości w sposób analogiczny jak w dla poprzedniego obwodu.

Koleją częścią ćwiczenia było dołączenie w równoległym obwodzie rezonansowym dodatkowego kondensatora o nieznanej pojemności w sposób pokazany na poniższym schemacie w celu wyznaczenia jego pojemności. Wyznaczając częstotliwość rezonansową

w sposób analogiczny jak przy poprzednim obwodzie mogliśmy określić pojemność dołączonego kondensatora.

2. Podstawy teoretyczne

Jednym z najprostszych obwodów rezonansowych jest obwód składający się z jednej cewki, kondensatora oraz opornika. Dla obwodu takiego możemy zapisać, ze opór impedancja obwodu jest równa:

(1.0)

Natężenie prądu w obwodzie osiąga maksimum w przypadku pobudzania obwodu napięciem o częstotliwości równej częstotliwości rezonansowej ponieważ natężenie opisane jest poniższym wzorem:

(1.1)

stąd maksimum występuje dla:

(1.2)

(1.3)

gdzie
częstość rezonansowa, która wiąże się z częstotliwością rezonansową (f) następującą zależnością:

(1.4)

Gdy obwód pobudzany jest napięciem o częstotliwości rezonansowej napięcia na cewce oraz na kondensatorze są równe co do wartości lecz mają przeciwne fazy.

(1.5)

przekształcając równanie (1.3) otrzymujemy :

(1.6)

Wstawiając (1.6) do (1.5) otrzymujemy :

(1.7)

gdzie
nazywane jest dobrocią obwodu:

(1.8)

Możemy rozpatrzyć napięcia na cewce, kondensatorze oraz rezystorze dla trzech przypadków:

napięcie na kondensatorze przewyższa napięcie na cewce

napięcie na kondensatorze jest równe napięciu na cewce i może nawet kilkakrotnie przewyższać wartość napięcia E doprowadzane z generatora.

napięcie na cewce przewyższa napięcie na kondensatorze

Amplitudy napięć na poszczególnych elementach obwodu RLC w funkcji częstości można przedstawić przy pomocy współczynnika dobroci obwodu w postaci:

(1.9)

W przypadku laboratoryjnym, w którym mamy do czynienia z rzeczywistymi elementami, zarówno źródła sygnału jak i cewki posiadają swoją oporność wewnętrzną. Opór (rzeczywisty) zatem będzie teraz równy sumie oporów opornika, oporności wewnętrznej cewki oraz oporności wewnętrznej generatora.

(1.10)

gdzie
jest nazywane dobrocią cewki, podstawiając mamy zatem:

(1.11)

Do opisu zależności natężenia od częstotliwości można wprowadzić równanie krzywej (zwanej krzywą lorentzowską). Jest to funkcja postaci:

(1.12)

gdzie
rozstrojenie względne.

Dla częstości bliskich częstości rezonansowej:

(1.13)

Możemy zatem zapisać :

(1.14)

Jednym z parametrów krzywej rezonansowej jest jej szerokość B, zdefiniowana jako różnica częstotliwości, dla których moduł natężenia prądu maleje
razy, co odpowiada spadkowi mocy o połowę, wtedy:

skąd otrzymujemy następującą zależność:

(1.15)

Równie prostym obwodem rezonansowym jest „równoległy” obwód RLC

Dla obwodu tego możemy zapisać :

(1.16)

gdzie G- przewodność, Y- admitancja

Maksimum napięcia opisane jest wzorem;

(1.17)

Widać zatem, że maksimum napięcia występuje, gdy :

(1.18)

Częstość rezonansowa jest więc tak samo określona jak dla szeregowego obwodu rezonansowego.

W obwodzie tym jednak zależność napięcia od częstotliwości nie może być w ogólności opisywana krzywą lorentzowską .Możemy jednak zrobić takie przybliżenie, zastępując układ cewki z opornością RL za pomocą obwodu zastępczego obejmującego równoległe połączenie tak jak na poniższym schemacie. Dla cewek o dużych dobrociach można przyjąć następujące przybliżenia:

(1.19a)

(1.19b)

Związek pomiędzy dobrocią obwodu Q oraz dobrocią cewki
jest następujący:

(1.20)

gdzie
- przewodność cewki,
- przewodność generatora,
dobroć cewki.

W obwodzie służącym do wyznaczenia pojemności badany kondensator podłączony był równolegle do kondensatora C zatem możemy powiedzieć, że oporność zastępcza takiego układu jest równa sumie pojemności tych kondensatorów a co za tym idzie wzór na częstotliwość rezonansową układu przyjmuje postać:

znając częstotliwość rezonansową przed dołączeniem kondensatora

możemy obliczyć nieznaną pojemność:

(1.21)

Rozkład przebiegu prostokątnego na szereg Fouriera

składowa stała (wartość średnia sygnału):

składowe harmoniczne:

rozwinięcie sygnału w szereg Fouriera ma zatem następującą postać:

(1.22)

na podstawie otrzymanego rozwinięcia możemy obliczyć amplitudy trzech pierwszych składowych harmonicznych:

stosunki amplitud 2 i 3 składowej harmonicznej do amplitudy składowej podstawowej:

3. Wyniki pomiarów

- pomiar zależności modułu natężenia prądu w funkcji częstotliwości dla obwodu szeregowego

dla R=33Ω

f [kHz]	U [V]	I [mA]	∆I [mA]
12	0,06	1,8	0,3
13,2	0,08	2,3	0,3
13,9	0,10	2,9	0,3
14,1	0,10	3,0	0,3
14,5	0,12	3,6	0,4
14,8	0,14	4,1	0,4
15	0,15	4,5	0,4
15,2	0,17	5,2	0,4
15,4	0,20	5,9	0,5
15,6	0,22	6,7	0,5
15,8	0,25	7,6	0,6
16	0,27	8,2	0,6
16,7	0,30	9,1	0,6
17	0,29	8,6	0,6
18	0,22	6,7	0,5
19	0,16	4,9	0,4
20	0,13	3,8	0,4
22	0,09	2,6	0,3
25	0,06	1,8	0,3
29	0,05	1,5	0,3

dla R=130Ω

f [kHz]	U [V]	I [mA]	∆I [mA]
10	0,05	0,38	0,07
11	0,06	0,42	0,07
12	0,07	0,54	0,07
13	0,08	0,62	0,08
14	0,10	0,77	0,08
14,5	0,12	0,88	0,09
15	0,14	1,04	0,10
15,5	0,17	1,27	0,11
16	0,20	1,54	0,12
16,5	0,25	1,92	0,14
17	0,29	2,23	0,16
17,65	0,30	2,31	0,16
18	0,29	2,19	0,16
18,5	0,25	1,92	0,14
19	0,22	1,69	0,13
19,5	0,19	1,46	0,12
20	0,16	1,23	0,11
20,5	0,15	1,12	0,10
21	0,13	1,00	0,10
22	0,11	0,85	0,09
23	0,09	0,69	0,08
24	0,08	0,62	0,08
25	0,07	0,54	0,07
26	0,07	0,50	0,07
29	0,06	0,42	0,07
30	0,05	0,38	0,07

Błąd pomiaru częstotliwości wynosi
dla każdego z zakresów,

W zakresie kHz błąd ten wynosi ∆f =0,01kHz

Błąd systematyczny pomiaru napięcia zmiennego: ± 2% wartości końcowej podzakresu pomiarowego;

Przy pomiarach na zakresie 0,3V: ∆U=6mV

uwzględniając tolerancję 5% użytych w doświadczeniu oporników błąd ∆I obliczamy z różniczki logarytmicznej:

- pomiar zależności modułu napięcia na obwodzie w funkcji częstotliwości dla obwodu równoległego:

dla R=27kΩ dla R=10kΩ

f [kHz]	U [mV]
12,5	50
14	65
14,5	75
15	90
15,5	105
16	130
16,2	145
16,5	170
16,6	180
16,8	200
17	230
17,2	255
17,5	290
17,86	300
18	290
18,2	270
18,5	235
18,6	220
18,8	200
19	180
19,5	140
20	120
21	90
22	70
23	60
24	55
25,5	50

f [kHz]	U [mV]
9,23	5
11	6
12	7
13	9
13,5	10
14	11
14,5	13
15	15
15,5	17
16	20
16,5	24
17	28
17,68	30
18,5	28
19	25
19,5	22
20	19
20,5	17
21	15
21,5	14
22	12
22,5	11
23	10
24	9
25	8
27	7
33,3	5

Przy czym błędy systematyczne wynikające z niedokładności użytych przyrządów pomiarowych wynoszą odpowiednio:

∆f =0,01kHz

∆U=6mV dla R=27kΩ

i ∆U=0,6mV dla R=10kΩ

- pomiar napięcia na oporniku R w funkcji czasu dla obwodu szeregowego pobudzanego napięciem prostokątnym

Na oscyloskopie otrzymaliśmy następujący obraz:

Rysunek1. Układ pobudzany napięciem prostokątnym o częstotliwości równej częstotliwości rezonansowej

Skala:

Napięcie wejściowe: 0,5V

Napięcie na oporniku: 0,1V

Podstawa czasu:

Rysunek2.

Układ pobudzany napięciem prostokątnym o częstotliwości równej połowie częstotliwości rezonansowej

Skala:

Napięcie wejściowe: 0,5V

Napięcie na oporniku 10 mV

Podstawa czasu:

Rysunek3.

Układ pobudzany napięciem prostokątnym o częstotliwości równej jednej trzeciej częstotliwości rezonansowej

Skala:

Napięcie wejściowe: 0,5V

Napięcie na oporniku 20 mV

Podstawa czasu:

- wyznaczenie nieznanej pojemności C

po dołączeniu równolegle do obwodu równoległego (z R=10kΩ) pojemności C,

zmierzona częstotliwość rezonansowa wynosiła:

f=(12,63±0,01) kHz

4. Opracowanie wyników

1.Na podstawie pomiarów wykreślamy zależność modułu natężenia prądu w funkcji częstotliwości dla obwodu szeregowego dla dwóch wartości R:

ze względu na to, iż amplitudy mierzonych napięć różniły się o rząd wielkości dla różnych wartości R, wykresy możemy unormować, co pozwoli na dokładniejsze wyznaczenie częstotliwości, którym odpowiada spadek mocy o połowę.

na podstawie uzyskanych krzywych doświadczalnych wyznaczamy ich szerokość i obliczamy dobroć każdego z układów:

	B [kHz]	Q
R=33Ω	2,8±0,2	6,0±0,4
R=130Ω	3,0±0,2	5,9±0,4

błąd odczytu szerokości krzywej rezonansowej przyjmujemy:

błąd ∆Q obliczamy z różniczki zupełnej:

2.Znając parametry krzywych rezonansowych możemy obliczyć parametry cewki przy częstotliwości rezonansowej(1.10-1.11):

	L [mH]	QL	rL [Ω]
R=33Ω	16,2±0,8	8±1	202±35
R=130Ω	14,5±0,7	17±2	94±16

Błędy obliczamy za pomocą różniczki logarytmicznej

przy czym przyjmujemy, że tolerancja dla użytej przez nas pojemności C wynosi 5%

3.Wykreślamy zależność modułu napięcia w funkcji częstotliwości dla obwodu równoległego

dla dwóch wartości R:

podobnie jak w poprzednio dla wygody odczytu możemy unormować oba wykresy:

parametry krzywych rezonansowych:

	B [kHz]	Q
R=27kΩ	1,8±0,2	9±1
R=10kΩ	3,0±0,2	6±0,4

Indukcyjność cewki L i L_p:

	L [mH]	Lp [mH]
R=27kΩ	14,2±0,7	14,6
R=10kΩ	14,5±0,7	14,9

Jak widać w granicach błędu obie wartości pokrywają się, zatem równoległy schemat zastępczy jest równoważny, dzięki czemu możemy do wyznaczenia oporności strat i dobroci cewki wykorzystać wzory jak dla obwodu szeregowego..

Parametry cewki przy częstotliwości rezonansowej:

	QL	rL [Ω]
R=27kΩ	24±4	67±14
R=10kΩ	103±12	16±3

4.Na podstawie wzoru (1.14) dla danego zakresu częstotliwości obliczamy unormowany moduł natężenia prądu w obwodzie szeregowym dla R=130 Ω, wyniki obliczeń zestawiamy z wynikami pomiarów

x=
y=

f [kHz]	x	y		∆y	∆x
						teoretyczne	doświadczalne
10	-0,433	0,19	0,17	0,04	0,001
11	-0,377	0,22	0,18	0,04	0,001
12	-0,320	0,26	0,23	0,05	0,001
13	-0,263	0,31	0,27	0,05	0,001
14	-0,207	0,38	0,33	0,06	0,001
14,5	-0,178	0,43	0,38	0,07	0,001
15	-0,150	0,49	0,45	0,07	0,001
15,5	-0,122	0,57	0,55	0,09	0,001
16	-0,093	0,67	0,67	0,10	0,001
16,5	-0,065	0,79	0,83	0,12	0,001
17	-0,037	0,92	0,97	0,14	0,001
17,65	0,000	1,00	1,00	0,14	0,001
18	0,020	0,97	0,95	0,13	0,001
18,5	0,048	0,87	0,83	0,12	0,001
19	0,076	0,74	0,73	0,11	0,001
19,5	0,105	0,63	0,63	0,10	0,001
20	0,133	0,54	0,53	0,08	0,001
20,5	0,161	0,47	0,48	0,08	0,001
21	0,190	0,41	0,43	0,07	0,001
22	0,246	0,33	0,37	0,06	0,001
23	0,303	0,27	0,30	0,06	0,001
24	0,360	0,23	0,27	0,05	0,001
25	0,416	0,20	0,23	0,05	0,001
26	0,473	0,18	0,22	0,05	0,001
29	0,643	0,13	0,18	0,04	0,001
30	0,700	0,12	0,17	0,04	0,002

Błędy wyznaczamy z różniczki logarytmicznej:

na podstawie powyższej tabeli wykreślamy zależność unormowanego modułu natężenia prądu w funkcji rozstrojenia względnego y=y(x), czyli uniwersalną krzywą rezonansową :

- Dla danej dobroci układu możemy, korzystając z wyprowadzonych wcześniej zależności teoretycznych (1.9), wykreślić zależność modułów napięć na poszczególnych elementach obwodu:

Jak widać z otrzymanych wykresów amplituda napięcia na indukcyjności osiąga maksimum dla częstości większej od częstości rezonansowej, zaś amplituda napięcia na pojemności - dla częstości mniejszej. Obie te wartości są równe i większe Q razy od maksymalnej amplitudy na oporniku.

5.

Na podstawie otrzymanych na ekranie oscyloskopu wykresów obliczamy amplitudy napięcia na oporniku dla kolejnych częstotliwości:

możemy teraz obliczyć stosunki poszczególnych amplitud (błąd obliczamy stosując metodę różniczki logarytmicznej)

gdzie
-stosunek amplitud

gdzie
-stosunek amplitud

6. Na podstawie pomiarów częstotliwości rezonansowej przed i po dołączeniu kondensatora
korzystając ze wzoru (1.21) możemy wyznaczyć jego pojemność:

przy czym błąd tak wyznaczonej wartości obliczamy z różniczki zupełnej:

jak widać taka metoda wyznaczenia pojemności jest dość dokładna - względny błąd pomiaru jest porównywalny z tolerancją kondensatora -5%

5. Podsumowanie

Otrzymane na podstawie pomiarów krzywe rezonansowe mają przebieg zgodny z teoretycznymi przewidywaniami.

Z wykresów wynika, że obwód rezonansowy ma właściwości selektywne - dla częstotliwości sygnału pobudzającego bliskich częstotliwości rezonansowej amplituda prądu (lub napięcia w przypadku obwodu równoległego) gwałtownie rośnie, natomiast w miarę oddalania się od tej częstotliwości jej wartości są znacznie mniejsze od wartości maksymalnej. W praktyce oznacza to, że sygnały o częstotliwościach bliskich częstotliwości rezonansowej są przenoszone, podczas gdy sygnały o częstotliwościach odległych od częstotliwości rezonansowej są tłumione (filtrowane) przez ten obwód.

Selektywność obwodu jest tym lepsza, im zakres przenoszonych częstotliwości jest mniejszy.

Kształt krzywej rezonansowej zależy od parametrów R,L,C obwodu - w naszym przypadku, przekonaliśmy się o tym zmieniając wartości oporów R. Dobroć układu zmniejsza się przy większym tłumieniu (większy opór R w obwodzie szeregowym i mniejsza wartość R dla obwodu równoległego), co oznacza gorsze właściwości selektywne obwodu. Zmianie tłumienia towarzyszy też nieznaczne przesunięcia krzywej rezonansowej.

Dla obwodu RLC z opornikiem 33Ω obserwujemy nieznaczne zmniejszenie częstotliwości rezonansowej. Jest to spowodowane faktem, iż w modelu rzeczywistym opornika powinniśmy uwzględnić takie jego cechy jak pojemność i indukcyjność, przy czym efekt pojemnościowy zwiększa się dla małych oporności.

Obliczywszy dobroć cewki oraz oporność strat dla każdego z obwodów stwierdziliśmy, iż parametry te zależą od warunków pracy - w ogólności są złożoną funkcją częstotliwości.

Pobudzanie obwodu RLC sygnałem prostokątnym

Na podstawie twierdzenia Fouriera sygnał prostokątny rozłożyliśmy na nieskończenie wiele składowych harmonicznych o częstotliwościach będących wielokrotnościami częstotliwości rezonansowej.

Dzięki właściwościom selektywnym obwodu RLC przy pobudzaniu go takim sygnałem o częstotliwości równej 1, 1/2 i 1/3 częstotliwości rezonansowej na wyjściu otrzymujemy odpowiednie składowe harmoniczne - sygnał sinusoidalny.

Jak widać stosunki ich amplitud obliczone na podstawie obserwacji na oscyloskopie w granicach błędu pokrywają się z teoretycznymi przewidywaniami.

Druga składowa harmoniczna nie jest zerowa, jak wynikałoby z rozwinięcia sygnału prostokątnego Jest to spowodowane faktem, iż sygnał na wyjściu generatora nie jest sygnałem prostokątnym, jego kształt różni się od prostokąta z powodu istnienia skończonych czasów narastania i opadania. Na zniekształcenie sygnału ma jednak w naszym przypadku głównie wpływ spadek napięcia na oporności wewnętrznej generatora ( w rezultacie na ekranie oscyloskopu obserwujemy
).

Dlatego też odpowiedz układu na taki zniekształcony sygnał nie jest zgodna z teorią, ponadto właściwości selektywne samego układu nie są idealne (niezerowa szerokość krzywej rezonansowej).

17

---