logika, logika


LOGIKA I METODOLOGIA NAUK #6

Elementy teorii relacji

Relacje są zawsze zbiorami, obiektami abstrakcyjnymi.

0x08 graphic
x kocha y-a

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Ważna jest kolejność!

Relacja to zbiór par (możemy mówić o konkretnej parze).

Relacje - zbiory dystrybutywne, w środku są pary uporządkowane a obiekty są abstraktami

- para (n-tka) uporządkowana x y <x,y> <y,x>

- iloczyn kartezjański

Symbol - …x…

X x Y = {<x,y>: x 0x01 graphic
X 0x01 graphic
y 0x01 graphic
Y}

Przykłady:


{a,b,c} x {b,d} = {<a,b>, <a,d>, <b,b>, <b,d> <c,b>, <c,d>}

L={ x: x jest człowiekiem} Mamy: LxL = {<x,y>: x,y 0x01 graphic
L}

*Pojęcie pary uporządkowanej można rozszerzyć na pojęcie n-tki uporządkowanej.

<x1, x2, …, xn>

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
a b para 0x01 graphic
do iloczynu kartezjańskiego

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Relacja: x bezpośrednio poprzedza y w alfabecie języka polskiego.

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
Rozważana relacja poprzedzania jest następującym zbiorem: {<a,b>, <c,d>}

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Każda relacja jest podzbiorem określonego iloczynu kartezjańskiego.

Definicja

0x08 graphic
0x08 graphic
R jest relacją 2-argumentową w zbiorze x wtedy, gdy y1, y2 (Y1, Y2 x oraz R Y1 x Y2)

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
{ } x { } = { < , >}

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
{ , } { < , >}

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Ø {< , >}

Dziedzina (lewa dziedzina) relacji R:

Dl (R) = {x: y x Ry}

Przeciwdziedzina (prawa dziedzina) relacji R:

Dp (R) = {y: x x Ry}

Pole relacji

P (R) = Dl (R) 0x01 graphic
Dp (R)

Przykłady:

{a,c,e}, {b,d}

R = {<a,b>, <c,d>} Mamy:

  1. Dl (R) = {a,c}

  2. Dp (R) = {b,d}

  3. P (R) = {a,c} 0x01 graphic
    {b,d} = {a,b,c,d}

Zbiory: M = mężczyźni, L = ludzie, relacja: x jest synem y-a:

S = {<y> 0x01 graphic
M x L: x jest synem y-a} Mamy:

  1. Dl (S) = M

  2. Dp (S) =ludzie mający syna

  3. P (S) = M 0x01 graphic
    ludzie mający syna

Relacje można odwracać (konwers relacji)

R -1 (zbiór par, tylko odwrotnych)

R -1 = {<y,x>: x Ry}

Przykłady:

  1. R = {<a,b>, <c,d>}
    R -1 = {<b,a>, <d,c>}

  2. S = { <x,y> 0x01 graphic
    M x L: x jest synem y-a}
    S -1 = {<x> 0x01 graphic
    L x M: y jest matką lub ojcem mężczyzny}

  3. W = relacja bycia zwierzchnikiem
    W -1 = relacja bycia podwładnym

W = {a,b,c}

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
S(W) = {<x,y>: x jest starszy od y-a} = {<b,a>, <c,b>, <c,a>}

relacja ojcostwa w zbiorze ludzi

x jest nauczycielem y -a

konwers relacji S

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

S-1 (W) = {<a,b>, <b,c>, <a,c>}

Konwers i dopełnienie to coś różnego!

Relacje można „składać” - otrzymujemy iloczyny względne - symboliczne R ; S

R ; S = {<x,y>: z (x Rz 0x01 graphic
zSy)}

0x08 graphic

Np.:

R ; R = relacja bycia dziadkiem ze strony ojca

S = relacja bycia ofiarą (przemocy)

R ; S = relacja bycia terapeutą ofiary (przemocy)

L

Ar P

<K,J>

<M,J>

<J,M>

<K,M>

<Ar,P>

a

b

c

e

d

a

b

c

d

e

L

K

M

P

J

M

A

a

b

c

a

b

c

a

b

c



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Metodologia badań z logiką dr Karyłowski wykład 7 Testowalna w sposób etycznie akceptowalny
Logika koll3
logika mat
Logika W2 2013 14 ppt
logika wyklad 02
LOGIKA wyklad 5 id 272234 Nieznany
Logika RachunekZdan
logika rozw zadan v2
Analiza Wyklad 01 Logika id 59757 (2)
logika wyklad 07
logika test przykladowy
LOGIKA POJECIA, PRAWO, Logika
do zdań ściąga wyjątki, Logika Prawnicza
logika egzamin(1), Studia Pedagogika, Logika
logika, logika

więcej podobnych podstron