3. Wyprowadzenie równania Bernouliego.

Do uzyskania algebraicznych zależności między prędkością przepływu płynu, a jego ciśnieniem trzeba wykorzystać równanie Eulera (1).

(1)

Równanie to należy przekształcić do takiej postaci gdzie w sposób jawny otrzymamy rot
. Biorąc pod uwagę składowe pochodnej substancjalnej dla prędkości (2) i do jednej z nich dodamy odejmiemy te same człony to przekształcenia te będą miały postać:

(2)

przekształcając mamy postać:

(3)

Ostatni wyraz wyliczono w oparciu o relację:

podobnie czynimy z pozostałymi czynnikami otrzymując następujący związek wektorowy:

(4)

podstawiając do równania Eulera otrzymamy:

(5)

Równanie nosi nazwę równania Eulera w formie Lamba-Gromeki.

Następnym elementem przekształcenia tego wzoru jest jego scałkowanie. Można tego dokonać gdy:

1. Pole sił masowych
   (x, y, z, t) jest polem potencjalnym, czyli istnieje potencjał U (x, y, z, t) który spełnia równanie:

= grad U (6)

2. Płyn jest barotropowy czyli istnieje jednoznaczny związek między ciśnieniem i gęstością płynu:

grad p = grad P (7)

Jeżeli będziemy rozpatrywać ruch bezwirowy rot
= 0 przy czym potencjał prędkości
spełnia równania:

(8)

to wtedy równanie (5) możemy napisać:

(9)

Oznacza to, że różniczkowanie względem współrzędnych w całym obszarze płynu znika, czyli

(10)

suma zawarta w nawiasach (9) jest zależna tylko od czasu. Równanie to nosi nazwę całki Cauchy-Lagrange'a dla równania Eulera i stosuje się do nieustalonego przepływu bezwirowego, z dodatkowymi założeniami 1) i 2).

Gdy weźmiemy pod uwagę ruch ustalony czyli
=0 to równanie (5) można napisać w postaci

=
(11)

Oznacza to, że suma zawarta w nawiasach po lewej stronie może się zmienić tylko w kierunku prostopadłym do wektora
i jednocześnie do wektora rot
, gdyż wektor gradientu jest do nich prostopadły. Rzut wektora
na kierunku toru elementu płynu, a w tym przypadku linii prądu, jest równy zeru. Wynika stąd, że wzdłuż linii prądu zachodzi zależność

(12)

Dla ustalonego ruchu płynu wzdłuż dowolnej linii prądu wymnożymy skalarnie równanie Eulera przez element tej linii
, a więc

(13)

Biorąc pod uwagę, że

d
oraz, że dla ustalonego rzutowanie gradientu jakiejś funkcji na kierunek linii prądu daje przyrost tej funkcji wzdłuż linii prądu, piszemy

(14)

Równanie to nosi nazwę różniczkowej formy równania Bernouliego. Dla cieczy, gdzie
=const.

(15)

Równanie (15) jest równaniem Bernouliego dla cieczy. Oznacza ono, że wzdłuż linii prądu suma energii kinetycznej członu
i pracy sił masowych jest stała. Dla gazu wykorzystujemy założenie o przepływie izentropowym i bierzemy pod uwagę znany z termodynamiki związek obowiązujący dla przemian izentropowych

(16)

Podstawiając to do równania (14) uzyskamy równanie Bernouliego dla gazów (17)

(17)

Z równaniem Bernouliego wiążę się bardzo ważne określenia dotyczące ciśnienia płynącego czynnika. Gdy rozważymy równanie (15) dla cieczy w ziemskim polu grawitacyjnym, kiedy oś z skierowana jest pionowo do góry potencjał

U= -gz,

Przyjmie ono formę

(18)

W ten oto sposób doszliśmy do ostatecznej formy równania Bernouliego dla płynów.

---