PRZEGLĄD METOD NUMERYCZNYCH

(rozwiązywania zagadnień brzegowych)

PLAN WYSTĄPIENIA

1. O METODACH NUMERYCZNYCH

2. RODZAJE SFORMUŁOWAŃ ZAGADNIEŃ BRZEGOWYCH

2.1. Klasyczne sformułowanie zagadnienia brzegowego

2.2. Metoda residuów ważonych (WRM)

2.3. Idea wariacyjnych sformułowań zagadnień brzegowych

2.4. Sformułowania wariacyjne ze złożonymi warunkami brzegowymi

3. KLASYFIKACJA METOD

3.1. Rozwiązanie przybliżone

3.2. Funkcje wagowe, wersje metod numerycznych

3.3. Kryteria podziału metod numerycznych, podział ogólny

1. O METODACH NUMERYCZNYCH

,

(2.1.1)

− rozwiązanie klasyczne (gładkie);

lub

− rozwiązanie przybliżone;

− funkcje niegładkie, nieciągłe, dystrybucje

− Sobolewa

− Hilberta

− funkcji całkowalnych z kwadratem:

2. RODZAJE

SFORMUŁOWAŃ ZAGADNIEŃ BRZEGOWYCH

2.1. Klasyczne sformułowanie zagadnienia brzegowego

,

(2.1.1)

lub

(2.1.2)

gdzie

(2.1.3)

(a)	(b)
Rys. 2.1.1. Grafika zagadnienia sformułowanego klasycznie: (a) − (2.1.1), (b) − (2.1.2)

Sformułowanie klasyczne ze złożonymi warunkami brzegowymi

,

warunek Dirichleta

,
warunek Neumanna

,
warunek Robina

,

lub

(2.1.11)

(a)	(b)
Rys. 2.1.2. Grafika zagadnienia CF ze złożonymi warunkami brzegowymi: (a) − (2.1.6), (b) − (2.1.11)

Rozwiązanie przybliżone w sformułowaniu klasycznym

(2.1.12)

, (2.1.13)

lub

,

(2.1.14)

(a)	(b)
Rys. 2.1.3. Rozwiązanie przybliżone i idea metod numerycznych w CF: (a) − (2.1.13), (b) − (2.1.16)

Idea metod numerycznych w sformułowaniu klasycznym

, (2.1.16)

2.2. Metoda residuów ważonych (WRM)

WRM jest narzędziem, które przekształca klasyczne sformułowanie zagadnienia z dowolnymi warunkami brzegowymi w wariacyjne sformułowania.

Residuum

(2.2.4)

(2.2.2)

Residuum ważone

(2.2.5)

Całka residuum ważonego

(2.2.6)

Idea WRM − całka residuum ważonego jest równa zero

(2.2.7)

2.4. Sformułowania w. ze złożonymi warunkami brzegowymi

Sformułowanie wariacyjne a'priori

(2.4.1)

na poszczególnych elementach brzegu wagę
można dobrać dowolnie

sformułowanie wariacyjny silne z wszczepionymi warunkami brzegowymi

(a)	(b)
Postać w sformułowaniu wariacyjnym: (a) − a'priori, (b) − z wszczepionymi w. b.

Procedura wszczepiania warunków brzegowych

Silne

(2.4.3)

II wzór Greena (2.4.3)

(2.4.5)

Całka po brzegu

(2.4.6)

(2.4.6) (2.4.3) sformułowanie słabe

(2.4.7)

Zestawienie i symboliczny zapis równań

Silne

(2.4.16)

Słabe

(2.4.17)

Odwrotne

(2.4.18)

Symboliczny zapis (2.4.16) − (2.4.18)

(2.4.23)

lub

(2.4.24)

3. KLASYFIKACJA METOD

Uwzględnia:

rodzaju sformułowania

postaci

postaci wagi
lub
−wagi

3.1. Postać rozwiązania

(3.1.19)

1 zbiór punktów dyskretnych

(3.1.1)

2 szereg

(3.1.2)

− nieznane stałe,

−
-baza:

I grupa: przekształca grupę metod mieszanych w grupę metod brzegowych

(3.1.4)

− spełnia równanie różniczkowe, jest osobliwa dla

− spełnia równanie różniczkowe, jest nieosobliwa dla

− funkcje własne; spełnia specyficzne zagadnienie brzegowe

II grupa: dokładność

(3.1.5)

− wielomiany Serendipa,

− wielomiany Hermite'a,

− funkcje sklejane,

3 całka

(3.1.8)

,
− nieznane funkcje na brzegu obszaru

− potencjał warstwy pojedynczej

− potencjał warstwy podwójnej

− potencjał (p) − warstwy

Tabela 3.1.1. Porównanie rozwiązań

Postać rozwiązania		Numer wzoru
całka	szereg
		(3.1.16)
		(3.1.17)
...	…

3.2. Postać funkcji wagowych

I grupa: przekształca grupę metod mieszanych w grupę metod brzegowych

(3.2.1)

II grupa: generuje wersje metod numerycznych

Tabela 3.1. Wersje metod numerycznych w sformułowaniach wariacyjnych

Wersja/Metoda	−waga
Galerkina (GM)
Najmniejszych kwadratów (LSM)
Momentów (MM)
Kolokacja na podobszarach (DCM)
Kolokacja punktowa (PCM)

3.3. Kryteria podziału metod numerycznych

1− rodzaj sformułowania zagadnienia brzegowego

Tabela 3.3.1. Rodzaje sformułowań zagadnień brzegowych

Sformułowania	Warunek
Klasyczne (CF)
Silne (OF)
Słabe (WF)
Odwrotne (IF)

2 − sposób spełnienia wzorów wyjściowych

Tabela 3.3.2. Grupy metod w poszczególnych sformułowaniach zagadnienia

Sformułowanie	Metody mieszane	Metody brzegowe	Metody obszarowe
Klasyczne (CF)
Silne (OF)
Słabe (WF)
Odwrotne (IF)

3 − postać rozwiązania przybliżonego

Metody dyskretne

Metody szeregów

I

(3.1.5)

II

(3.1.2)

Metody całkowe

(3.1.8)

4 − postać funkcji wagowej

I
(3.2.1)

II

5 − klasyfikacja inżynierska

metoda różnic skończonych (FDM)

metoda elementów skończonych (FEM)

metoda elementów brzegowych (BEM)

metoda Trefftza (TM)

_____________________________________________

{ [C]lasic, [O]riginal, [W]eak, [I]nverse }

{ [D]ifference, [S]eries, [I]ntegral }

Tabela 3.3.8. Klasyfikacja inżynierska metod mieszanych i obszarowych

Sformułowanie	Metody mieszane / obszarowe
				Nazwa
	*Klasyczne (CF)		PCM	FDM−CD
			PCM	FEM−CS
	Silne (OF)			FDM−OD
				FEM−OS
	Słabe (WF)			FDM−WD
				FEM−WS
Odwrotne (IF)			FEM−IS
(*) − inne wersje, po uprzednim sformułowaniu wariacyjnym a'priori

Tabela 3.3.9. Klasyfikacja inżynierska metod brzegowych

Sformułowanie	Metody brzegowe
			/	/	Nazwa
	*Klasyczne (CF)		PCM		TH−CS
			PCM		BEM−CS
			PCM		TK−CS
			PCM		BEM−CI
			PCM		TK−CI
	Silne (OF)				TH−OS
					BEM−OS
					TK−OS
					BEM−OI
					TK−OI
Słabe (WF)
Odwrotne (IF)				TH−IS
					BEM−IS
					TK−IS
					BEM−II
					TK−II
(*) − inne wersje, po uprzednim sformułowaniu wariacyjnym a'priori

(a)	(b)
(c)	Rys. 3.1.1. Postać rozwiązania: (a) − dyskretna, (b) − szereg II grupy, (c) − całka

TH−IS

Tabela 3.3.9. Klasyfikacja inżynierska metod brzegowych

Sformułowanie	Metody brzegowe
			/	/	Nazwa
	*Klasyczne (CF)		PCM		TH−CS
			PCM		BEM−CS
			PCM		TK−CS
			PCM		BEM−CI
			PCM		TK−CI
	Silne (OF)				TH−OS
					BEM−OS
					TK−OS
					BEM−OI
					TK−OI
Słabe (WF)
Odwrotne (IF)				TH−IS
					BEM−IS
					TK−IS
					BEM−II
					TK−II
(*) − inne wersje, po uprzednim sformułowaniu wariacyjnym a'priori

Tabela. Klasyfikacja wersji metody brzegowej TH−IS

				Uwagi
I				- są już współczynniki - − jako wagi - = − metoda Galerkina - ta wersja odpowiada TH−OS (GM); inne równania !!!
II−1	−const			- PCM układ równań - wersje: , , ,
II−2					- PCM układ równań - wersje:
III−1					- spełniają rolę - wersje wynikają z
III−2

Metoda Rayleigh − Ritza

Metodę tą przeanalizowano w [864]. Najpierw wychodząc ze sformułowania wariacyjnego silnego (metoda Rayleigha), w wersji LSM, otrzymano układ równań algebraicznych. Okazuje się, że można otrzymać identyczny układ równań algebraicznych metodą wariacyjną (metoda Ritz'a).

Metoda wariacyjna / metoda Ritza

W tej metodzie definiuje się funkcjonał / funkcjonał „energetyczny” / energię

(w.17)

gdzie
− residuum.

Ponieważ residuum
jest funkcją rozwiązania przybliżonego
, a to z kolei zależy od stałych parametrów, np.
żąda się, aby pierwsza wariacja funkcjonału (w.17) była równa zero

(w.18)

Podstawiając (w.5) do (w.18) jest

(w.19)

Jeżeli założy się, że

(w.20)

to otrzyma się wzór (w.8). A więc, metoda wariacyjna jest równoważna metodzie w sformułowaniu wariacyjnym silnym w wersji LSM.

[864] A.W. Leissa, The historical bases of the Rayleigh and Ritz methods, J.S.V., 287, 961−978, 2005.

Radial Basis Functions

Tabela. RBF [1248]

Nazwa RBR	Postać	Uwagi
Gaussians
Multiquadratic
Thin-plate spline (Duchon spline [1129])		− nieparzyste − parzyste
Wendlanda		− wielomian

- 25 -

---