26. Podać zasady obliczania współrzędnych na podstawie odległości i azymutu na elipsoidzie (zadanie wprost).
Klasyczny problem obliczania współrzędnych geodezyjnych na pow. elipsoidy obrotowej oraz azymutów i długości linii geodezyjnej nosi nazwę przenoszenia współrzędnych lub podstawowego zadania geodezji wyższej. Wyróżniamy dwa rodzaje problemu:
Zadanie wprost - dotyczy obliczenia wsp. geodezyjnych B2,L2 punktu P2 i azymutu odwrotnego A21 linii geodezyjnej mając dane: B1,L1 punktu P1, s12 -długość linii geod. oraz azymut A12
Zadanie odwrotne - dotyczy obliczenia długości linii geodezyjnej s12 łączącej na pow. elipsoidy dwa punkty o znanych współrzędnych P1(B1,L1) i P2(B2,L2) oraz obliczenia azymutów (wprost i odwrotnego) A12, A21
W geodezji wyższej znane są liczne sposoby rozwiązywania podstawowych zadań. Najogólniej metody klasyczne obliczania współrzędnych można podzielić na cztery grupy:
Metody bezpośrednie polegające na rozwiązaniu trójkąta elipsoidalnego, którego dwa punkty są punktami początkowym i końcowym linii geodezyjnej P1 i P2, a punkt trzeci jest biegunem elipsoidy.
Metody wykorzystujące szeregi potęgowe Lagrandre'a polegają na rozwinięciu w szereg Maclaurina różnic dB,dL,dA względem długości linii geodezyjnej s.
Występujące w tych wzorach pochodne wyższych rzędów względem ds. wyznacza się przez różniczkowanie równań pierwszego rzędu. Powolna zbieżność szeregów ogranicza ich wykorzystanie do odległości nie przekraczających150 km oraz dla obszarów położonych w okolicach podbiegunowych.
Metody wykorzystujące punkt pomocniczy. (metoda Clarke'a)
Metoda obliczania współrzędnych za pomocą cięciw elipsoidy
Metoda Clarke'a dla niewielkich odległości (do 30 km) była powszechnie stosowana w polskiej sieci do rozwiązywania zadania wprost.
1o Obliczenie średniego promienia krzywizny R1=
2o Obliczenie ekscesu sferycznego w ΔP1P2'P2 oraz u i v.
u = s12*cos(A12-
ε) ; v = s12*sins(A12-
ε)
3o Obliczenie Bm , B2' oraz B2
Bm = B1+
B2' = B1+
B2 =B1+
-
tanB2'
4o Do wyznaczenia różnicy długości wykorzystuje się konstrukcje
pomocniczą - Δ ptb.
5o Aby obliczyć azymut A21 należy wyznaczyć najpierw wartość kąta zbieżności południków γ z Δ ptb (wzór sinusowy).
A21 = A12 ±1800- γ- ε
Zasady obliczania współrzędnych i azymutu na elipsoidzie - metoda całkowania numerycznego- Algorytm Kivioja
( szczegółowo omówiony Algorytm Kivioja - [1] str.57 )
Metoda ta jest jedną z wielu modyfikacji rozwiązania zadań obliczania współrzędnych za pomocą szeregów potęgowych. Metoda ta polega na wykorzystaniu równań różniczkowych pierwszego rzędu dla linii geodezyjnej oraz równania Clairauta linii geodezyjnej. Wykorzystanie tych związków dla niewielkich (np: jednokilometrowych) odcinków linii geodezyjnej pozwala rozwiązać zadanie wprost.
1o Ustalenie długości elementu linii geod. ds =
. (ds.< (1÷1,5)km.
2o Wyznaczenie głównych promieni krzywizny M,N dla punktu P1 oraz stałą c z równania Clairauta
Mi =
, Ni =
, c =N1cosBsinA12
3o Wyznaczenie pierwszego przybliżenia δBi(1) i następnie Bim
δBi(1) =
, Bim =B1 + δBi(1)*0,5
4o Obliczenie średnich wartości Mi m , Nim oraz wartość azymutu elementu dsi
sinAim =
5o Wykorzystując wartości Mi m , Nim oraz Aim można uzyskać lepsze przybliżenie δBi i wartość δLi
δBim =
, Bi+1 = Bi + δBim
δLim =
, Li+1 = Li + δLim
Podstawiając za i = 2,3…n powtarzamy procedurę obliczeń aż osiągniemy punkt końcowy linii geodezyjnej P2.
6o Współrzędne geodezyjne punktu końcowego P2 otrzymuje się przez zsumowanie:
B2 = B1 +
, L2 = L1 +
oraz azymut odwrotny: A21 = A2 ± 1800.
Więcej informacji na temat obliczania współrzędnych i azymutu na elipsoidzie (zadanie wprost) można znaleźć :
[1] Czarnecki K., Geodezja współczesna w zarysie.
[2] R. Hlibowicki , Geodezja wyższa i astronomia geodezyjna.