26. Podać zasady obliczania współrzędnych na podstawie odległości i azymutu na elipsoidzie (zadanie wprost).

Klasyczny problem obliczania współrzędnych geodezyjnych na pow. elipsoidy obrotowej oraz azymutów i długości linii geodezyjnej nosi nazwę przenoszenia współrzędnych lub podstawowego zadania geodezji wyższej. Wyróżniamy dwa rodzaje problemu:

• Zadanie wprost - dotyczy obliczenia wsp. geodezyjnych B₂,L₂ punktu P₂ i azymutu odwrotnego A₂₁ linii geodezyjnej mając dane: B₁,L₁ punktu P₁, s₁₂ -długość linii geod. oraz azymut A₁₂

• Zadanie odwrotne - dotyczy obliczenia długości linii geodezyjnej s₁₂ łączącej na pow. elipsoidy dwa punkty o znanych współrzędnych P₁(B₁,L₁) i P₂(B₂,L₂) oraz obliczenia azymutów (wprost i odwrotnego) A₁₂, A₂₁

W geodezji wyższej znane są liczne sposoby rozwiązywania podstawowych zadań. Najogólniej metody klasyczne obliczania współrzędnych można podzielić na cztery grupy:

1. Metody bezpośrednie polegające na rozwiązaniu trójkąta elipsoidalnego, którego dwa punkty są punktami początkowym i końcowym linii geodezyjnej P₁ i P₂, a punkt trzeci jest biegunem elipsoidy.

2. Metody wykorzystujące szeregi potęgowe Lagrandre'a polegają na rozwinięciu w szereg Maclaurina różnic dB,dL,dA względem długości linii geodezyjnej s.

Występujące w tych wzorach pochodne wyższych rzędów względem ds. wyznacza się przez różniczkowanie równań pierwszego rzędu. Powolna zbieżność szeregów ogranicza ich wykorzystanie do odległości nie przekraczających150 km oraz dla obszarów położonych w okolicach podbiegunowych.

3. Metody wykorzystujące punkt pomocniczy. (metoda Clarke'a)

4. Metoda obliczania współrzędnych za pomocą cięciw elipsoidy

Metoda Clarke'a dla niewielkich odległości (do 30 km) była powszechnie stosowana w polskiej sieci do rozwiązywania zadania wprost.

1^o Obliczenie średniego promienia krzywizny R₁=

2^o Obliczenie ekscesu sferycznego w ΔP₁P₂'P₂ oraz u i v.

u = s_12*cos(A₁₂-
ε) ; v = s_12*sins(A₁₂-
ε)

3^o Obliczenie B_m , B₂' oraz B₂

B_m = B₁+

B₂' = B₁+

B₂ =B₁+
-
tanB₂'

4^o Do wyznaczenia różnicy długości wykorzystuje się konstrukcje

pomocniczą - Δ ptb.

5^o Aby obliczyć azymut A₂₁ należy wyznaczyć najpierw wartość kąta zbieżności południków γ z Δ ptb (wzór sinusowy).

A₂₁ = A₁₂ ±180⁰- γ- ε

Zasady obliczania współrzędnych i azymutu na elipsoidzie - metoda całkowania numerycznego- Algorytm Kivioja

( szczegółowo omówiony Algorytm Kivioja - [1] str.57 )

Metoda ta jest jedną z wielu modyfikacji rozwiązania zadań obliczania współrzędnych za pomocą szeregów potęgowych. Metoda ta polega na wykorzystaniu równań różniczkowych pierwszego rzędu dla linii geodezyjnej oraz równania Clairauta linii geodezyjnej. Wykorzystanie tych związków dla niewielkich (np: jednokilometrowych) odcinków linii geodezyjnej pozwala rozwiązać zadanie wprost.

1^o Ustalenie długości elementu linii geod. ds =
. (ds.< (1÷1,5)km.

2^o Wyznaczenie głównych promieni krzywizny M,N dla punktu P₁ oraz stałą c z równania Clairauta

M_i =
, N_i =
, c =N₁cosBsinA₁₂

3^o Wyznaczenie pierwszego przybliżenia δB_i⁽¹⁾ i następnie B_i^m

δB_i⁽¹⁾ =
, B_i^m =B₁ + δB_i⁽¹⁾*0,5

4^o Obliczenie średnich wartości M_i ^m , N_i^m oraz wartość azymutu elementu ds_i

sinA_i^m =

5^o Wykorzystując wartości M_i ^m , N_i^m oraz A_i^m można uzyskać lepsze przybliżenie δB_i i wartość δL_i

δB_i^m =
, B_i+1 = B_i + δB_i^m

δL_i^m =
, L_i+1 = L_i + δL_i^m

Podstawiając za i = 2,3…n powtarzamy procedurę obliczeń aż osiągniemy punkt końcowy linii geodezyjnej P_2.

6^o Współrzędne geodezyjne punktu końcowego P₂ otrzymuje się przez zsumowanie:

B₂ = B₁ +
, L₂ = L₁ +

oraz azymut odwrotny: A₂₁ = A₂ ± 180⁰.

Więcej informacji na temat obliczania współrzędnych i azymutu na elipsoidzie (zadanie wprost) można znaleźć :

[1] Czarnecki K., Geodezja współczesna w zarysie.

[2] R. Hlibowicki , Geodezja wyższa i astronomia geodezyjna.

---