Lista 1, Rachunek prawdopodobieństwa, I rok ZI, IiE

Zad. 1. W pudełku znajdują się jednakowe kartki z numerami od 1 do 4. Losujemy jedną kartkę, zapisujemy jej numer i wkładamy z powrotem do pudełka. Losujemy drugi raz. Niech zdarzenie A polega na wylosowaniu liczby dwucyfrowej podzielnej przez trzy, B - liczby dwucyfrowej, w której liczba dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności.

1. Opisać zbiór zdarzeń elementarnych.

2. Opisać zbiory zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniom A∪B, A∩B, A-B, B', A-B'.

3. Podać przykład zdarzenia niemożliwego i pewnego, opisanego na przestrzeni zdarzeń elementarnych.

4. Sprawdzić, czy zdarzenia A i B' są wykluczające.

Zad. 2. Wśród kwiatów znajdujących się w kwiaciarni są: róże, goździki, frezje, tulipany i żonkile. Wybieramy jeden kwiat. Niech A oznacza zdarzenia, że będzie to róża lub goździk, B - tulipan, C - żonkil, D - żonkil i frezja.

1. Czy zdarzenia A, B, C, D tworzą układ zdarzeń zupełnych?

2. Niech teraz A oznacza zdarzenie, że wybierzemy różę, D - frezje, B i C są opisane jak wyżej. Czy zdarzenia A, B, C, D tworzą układ zdarzeń zupełnych?

3. Podać przykład zdarzeń A, B, C, D takich, które tworzą układ zupełny?

Zad. 3. Z talii 52 kart wyciągnięto 5 kart. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród nich są:

1. dokładnie dwa asy,

2. co najwyżej dwa asy,

3. trzy karty będą koloru pik.

Zad. 4. Z talii 52 kart wybrano pięć. Jaka jest szansa, że otrzymamy więcej czerwonych niż czarnych kart?

Zad. 5. Rozważmy rodzinę z trojgiem dzieci. Niech „c” oznacza chłopca, „d” - dziewczynkę. Płeć dziecka jest jednakowo prawdopodobna. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że rodzina ma dzieci obu płci, B - jest co najwyżej jedna dziewczynka, D - jest co najwyżej jeden chłopiec.

1. Czy zdarzenia A, B i C są wzajemnie niezależne?

2. Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzeń A∪B, B∩C', A'?

Zad. 6. Udowodnić następujące własności prawdopodobieństwa:

a) P(∅) = 0, b) A⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B), c) P(A) ≤ 1, d) P(A') = 1- P(A), e) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Wykorzystać fakt, że własności te wynikają z aksjomatów prawdopodobieństwa Kołmogorowa.

Zad. 7. Uzupełnić równości:

a) A ∩ A = ..., b) A ∪ A = ..., c) A ∪ Ω = ..., d) A ∩ Ω = ...

Zad. 8. Uzupełnić implikacje:

a) Ω ⊂ A ⇒ A = ..., b) A ⊂ ∅ ⇒ A = ...

Zad. 9.

1. Wyrazić koniunkcję A ∩ B za pomocą zdarzenia A i różnicy zdarzeń A-B.

2. Niech P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(A ∩ B) = 0.1. Obliczyć: P(A'), P(B'), P(A ∪ B), P(A' ∩ B), P(A ∩ B'), P(A' ∩ B'), P((A ∩ B)'), P(A|B).

Zad. 6. Z badań ankietowych wynika, że w pewnym mieście 90% rodzin ma telewizor, 49% ma samochód, 96% ma radio, 45% ma telewizor i samochód, 46% ma samochód i radio, 87% ma radio i telewizor, 39% rodzin ma radio, telewizor i samochód. Wybrano na chybił trafił jedną z rodzin. Obliczyć prawdopodobieństwo, że będzie miała przynajmniej jedno z tych urządzeń.

Zad. 7. Niech A i B będą takimi niezależnymi zdarzeniami, że prawdopodobieństwo zajścia przynajmniej jednego z nich jest równe 1/3, natomiast prawdopodobieństwo, że zajdzie A i B nie zajdzie równa się 1/9. Obliczyć P(B). Ile będzie wynosiło prawdopodobieństwo zdarzenia B, jeśli A i B będą zdarzeniami wykluczającymi się?

Zad. 8. Na rynku walutowym oszacowano prawdopodobieństwa wzrostu cen walut w pewnym okresie: cena euro wzrośnie z prawdopodobieństwem 0.3, cena dolara wzrośnie z prawdopodobieństwem 0.3. Prawdopodobieństwo tego, że wzrosną ceny obu walut równocześnie wynosi 0.1. Obliczyć prawdopodobieństwa:

1. spadku dolara,

2. wzrostu co najmniej jednej z walut,

3. spadku euro i wzrostu dolara,

4. spadku obu walut jednocześnie,

5. wzrostu euro w przypadku, gdy spadnie dolar,

6. wzrostu dolara, gdy spadnie euro.

Zad. 9. Dane są
,
i
. Obliczyć
,
i
.

Zagadnienia tematyczne.

1. Kiedy eksperyment jest losowy?

2. Rodzaje zdarzeń losowych: niezależne, pewne, przeciwne, wykluczające się.

3. Suma, iloczyn, różnica zdarzeń.

4. Kiedy zdarzenia tworzą układ zdarzeń zupełnych?

5. Rodzaje prawdopodobieństw:

• aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa,

• klasyczna definicja prawdopodobieństwa,

• prawdopodobieństwo warunkowe,

• prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń,

• prawdopodobieństwo sumy (dwóch, trzech) zdarzeń.

6. Kiedy zdarzenia A i B są niezależne? Kiedy zdarzenia A₁, ..., A_n są wzajemnie niezależne (dla n∈N)?

7. Podstawowe pojęcia kombinatoryczne: permutacje, wariacje, kombinacje (z powtórzeniami i bez powtórzeń).

---