Próg rentowności

Relacja między sprzedażą, kosztami i zyskiem jest jednym z ważniejszych powiązań zachodzących między wielkościami związanymi z działalnością firmy. Jedną z metod badania tych powiązań jest analiza progu rentowności, BEP (ang. Break Even Point). Jest to metoda może prymitywna, ze względu na silne założenia i warunki, których spełnienia wymaga jej stosowanie, ale właśnie ze względu na jej prostotę jest szeroko stosowana. Analiza BEP może służyć jako pierwszy wstępny krok procesów szacowania w wielu problemach decyzyjnych:

• wybór technologii,

• ustalanie ceny zbytu,

• szacowanie opłacalności produkcji ze względu na możliwości sprzedaży,

• badanie efektywności wykorzystania kosztów stałych,

• badania kosztów zmiennych,

• itp.

Powiązanie między ceną zbytu i wielkością sprzedaży przedstawia funkcja przychodu ze sprzedaży:

S(q) = S (p_j, q)

gdzie:

S(q) - przychód ze sprzedaży,

q - ilość wyprodukowanych i sprzedanych produktów,

p_j - jednostkowa cena zbytu.

Zakładając liniową postać funkcji przychodu otrzymuje się

S(q) = p_j q.

Oznaczając: F - koszty stałe, V - koszty zmienne, funkcję kosztów produkcji K(q) można przedstawić następująco:

K(q) = K (F, V(q)).

W praktyce rozważa się najczęściej liniową funkcję kosztów,

K(q) = F + q (v_j)

gdzie:
F - koszty stałe,

v_j - jednostkowe koszty zmienne,

Próg rentowności jest taką wielkością produkcji (q₀), przy której przychód ze sprzedaży równa się całkowitym kosztom produkcji

S(q₀) = K (q₀).

Równanie to można przedstawić następująco:

p_j (q₀) = F + q₀ v_j,

skąd po przekształceniu otrzymuje się

.

Jeżeli wielkość produkcji jest mniejsza od progu rentowności q < q₀, to przedsiębiorstwo ponosi stratę. W przeciwnym przypadku q > q₀, produkcja przynosi zysk. Rozważania dotyczące progu rentowności w postaci graficznej przedstawia rys

Rys.. Próg rentowności.

Przykład 4.7.

Przedsiębiorstwo produkcyjne DOM S.A. powstało w 1945 roku i zajmuje się produkcją i sprzedażą artykułów gospodarstwa domowego. Niektóre maszyny i urządzenia spółki pochodzą jeszcze z okresu przedwojennego i wymagają ciągłych remontów. Firma znana jest na rynku krajowym i zagranicznym z produkcji garnków WAR, które mimo przestarzałej technologii ich produkcji wciąż cieszą się uznaniem klientów i wielkość sprzedaży, od kilku lat, utrzymuje się na tym samym poziomie sprzedaży 10 000 szt. rocznie. Jednakże wszechobecna konkurencja powoduje, że cena zbytu garnków WAR, mimo ciągłego wzrostu kosztów produkcji z powodu wzrostu cen energii, surowców, nie wzrasta proporcjonalnie do wzrostu kosztów. Utrzymywanie ceny zbytu na poziomie 40zł/jednostkę nie może trwać w nieskończoność przy wzrastających kosztach produkcji i niższych cenach oferowanych przez konkurencję. Cena w wysokości 35zł za sztukę mogłaby zadowolić klientów. Produkcja powoli staje się nieopłacalna i w najbliższej przyszłości zacznie przynosić straty.

Menedżerowie firmy widzą rozwiązanie problemu w unowocześnieniu technologii. Rozważają trzy propozycje modernizacji produkcji.

1. Projekt A, który polega na wymianie przestarzałego parku maszynowego. Szacowany koszt inwestycji wynosi 2 880 000zł.

2. Projekt B, który polega na wymianie technologii na technologię częściowo zautomatyzowaną. Szacowany koszt inwestycji wynosi 3 840 000zł.

3. Projekt C, który polega na zakupie nowej zautomatyzowanej linii technologicznej. Szacowany koszt inwestycji wynosi 5 940 000zł.

Menedżer finansowy sugeruje, że żądany kapitał inwestycyjny uzyskać można z dwóch źródeł: z emisji nowych akcji oraz kredytu długoterminowego. Sądzi, że dotychczasowi udziałowcy będą skłonni wyrazić zgodę na nową emisję co najwyżej do 4 000 000zł, i co więcej, cena akcji nie powinna przekraczać 10zł/akcję. Korzystanie z kredytu bankowego jest wciąż w gospodarce polskiej obarczone wysokim ryzykiem. Szczególnie w przypadku zmiany technologii, której opłacalność wiąże się z reguły ze zwiększeniem wielkości sprzedaży, co nie zawsze udaje się osiągnąć w pierwszym okresie uruchomienia nowej technologii. A przecież wtedy właśnie najczęściej przychodzą pierwsze terminy płatności i firmy zaczynają mieć kłopoty z wypłacalnością. Mądre banki rozumieją takie sytuacje i spokojnie prolongują terminy spłat czekając na okres zwiększenia płynności firmy. Wiele banków jednak wpada w panikę i trzymając się kurczowo przepisów rujnuje przedsiębiorstwo żądając natychmiastowych spłat.

Po wielu dyskusjach menedżerowie firmy ustalili, że projekt A można realizować korzystając z kapitału uzyskanego z nowej emisji akcji; natomiast projekt B i C w połowie finansować kapitałem akcyjnym i w połowie kredytem bankowym. Charakterystykę projektów A, B, C przedstawia tabela 

Tab.. Charakterystyka projektów A, B, C.

Projekt	A	B	C
Kapitał inwestycyjny [tys. zł]	2 880	3 840	5 940
kredyt bankowy [tys. zł]	0	1 920	2 970
kapitał akcyjny [tys. zł]	2 880	1 920	2 970
liczba nowych akcji [tys.]	288	192	297
cena zbytu [zł]	35	35	35
koszt jednostkowy zmienny [zł]	19.83	17.00	16.00
koszt stały [tys. zł]	250	330	505

Po przeprowadzeniu oszacowań projektów A, B, C za pomocą analizy progu rentowności okazuje się, że przy dotychczasowej wielkości sprzedaży 10 000 szt., żaden z projektów nie jest opłacalny. Kierownik Działu Marketingu firmy twierdzi, że można zwiększyć sprzedaż na eksport i w kraju do 40 000 szt. rocznie, intensyfikując działania marketingowe i obniżając dotychczasową cenę z 40 do 35zł za szt.

Menedżer finansowy postanowił dokonać analizy dyskutowanych projektów A, B, C przyjmując ostrożnie wielkość sprzedaży w wysokości 40 000 sztuk rocznie

4. Dźwignia operacyjna

Dźwignia operacyjna obrazuje wpływ wielkości sprzedaży S (lub liczby sprzedanych wyrobów) na zysk operacyjny EBIT.

Aby ustalić ten wpływ, należy znaleźć prostą zależność pomiędzy zyskiem operacyjnym EBIT, a

• wielkością sprzedaży (liczbą sprzedawanych sztuk wyrobu q),

• ceną jednostkową p_j wyrobu

• wielkością sprzedaży S (w jednostkach pieniężnych) i 

• kosztem K (również w jednostkach pieniężnych).

EBIT = f(Q, p_j, S, K)

Do celów analizy wygodnie będzie podzielić koszty na

• stałe F (niezależne od wielkości produkcji) i 

• zmienne V (o których zakłada się, że są proporcjonalne do liczby sprzedawanych wyrobów q i jednostkowego kosztu zmiennego v_j).

Przy tych założeniach możemy napisać:

EBIT = S - F - v_j*q = p_j*q - F - v_j*q

DOL (stopień dźwigni operacyjnej) przedsiębiorstwa definiuje się jako mnożnik wykorzystania kosztów operacyjnych stałych, a mianowicie:

Korzystając z zależności:

(przyrost zysku zależy tylko od kosztów zmiennych) i

,

otrzymuje się

.

Wykorzystując ostatnią równość w przekształceniu otrzymujemy

gdzie

EBIT - zysk przed odsetkami i podatkiem

ΔEBIT - zmiana zysku

S - wielkość sprzedaży

ΔS - zmiana wielkości sprzedaży

V - koszty zmienne

ΔV - przyrost kosztu zmiennego

q - wielkość sprzedaży, dla której mierzona jest dźwignia operacyjna

Dźwignia operacyjna jest funkcją wartości sprzedaży (a więc i liczby sprzedawanych sztuk). Jeśli zmieni się sprzedaż, to w nowym punkcie obliczona wartość dźwigni operacyjnej będzie inna. Wykresem dźwigni operacyjnej jest hiperbola o „zerowej”, poziomej asymptocie, pokrywającej się z osią poziomą, pionowa asymptota przechodzi przez próg rentowności BEP.

Przykład.

W roku 199x BARR S.A. uzyskała wyniki przedstawione w rachunku wyników, tabela 

Tab. Rachunek wyników za 199x r. dla BARR S.A.

Dźwignia operacyjna	Sprzedaż KTS Koszty: sprzedaży administracyjne ogólne Razem koszty	5 000 000zł 2 500 000 1 500 000 4 000 000
Dźwignia finansowa	EBIT Odsetki EBT Podatek (40%) EAT Dywidendy uprzywil. Zysk dla akcjonariuszy EPS (100 000 akcji)	1 000 000 250 000 750 000 300 000 450 000 150 000 300 000 3

Po przeanalizowaniu kosztów przedstawiony rachunek wyników można przedstawić następująco:

Uwaga: 500 000zł kosztów należących do kosztów sprzedaży, administracyjnych i ogólnych uznano jako koszty zmienne.

Z tabeli tej wynika, że przy poziomie sprzedaży 5 000 000zł koszty zmienne operacyjne wynoszą 3 000 000zł, zatem wskaźnik udziału kosztów operacyjnych zmiennych w wielkości sprzedaży wynosi 60%.

Załóżmy, że wielkość sprzedaży firmy wzrosła o 10% i wynosi 5 500 000zł, co więcej koszty operacyjne stałe nie zmieniły się i wynoszą dalej 1 000 000zł, a koszty operacyjne zmienne wzrastają zgodnie ze wskaźnikiem 60% (inaczej mówiąc zakłada się liniowość funkcji kosztów zmiennych względem wielkości sprzedaży).

Wówczas otrzyma się efekt jak w tabeli 

Tab. Rachunek wyników po wzroście sprzedaży o 10%.

		Przed zmianą	Po zmianie	% zmiana
	Sprzedaż	5 000 000	5 500 000	+10%
	Koszty zmienne operacyjne (60%) Koszty stałe operacyjne Koszty operacyjne ogółem	3 000 000 1 000 000 4 000 000	3 300 000 1 000 000 4 300 000	+10% 0% +8%
	EBIT Odsetki ≡ koszt stały kapit. EBT Podatek (zmienna) EAT Dywidenda (koszt stały kapit.) Zysk dla akcjonariuszy EPS	1 000 000 250 000 750 000 300 000 450 000 150 000 300 000 3	1 200 000 250 000 950 000 380 000 570 000 150 000 420 000 4.2	+20% +0% +27% +27% +27% +0% +40% +40%

Dźwignia operacyjna wynosi

lub

DOL równe 2.0 oznacza, że zmiana wielkości sprzedaży o 1% powoduje zmianę zysku przed odsetkami i podatkiem dwa razy większą, co więcej, zmiany te zachodzą w tym samym kierunku. Wzrost sprzedaży powoduje dwukrotnie większy wzrost EBIT i odwrotnie, spadek sprzedaży powoduje dwukrotnie większy spadek EBIT.

Oczywisty jest fakt, że wartość DOL zależy od poziomu sprzedaży, dla której jest on ustalany.

Jeśli tylko cena jednostkowa produktu jest w rozważanym przedziale taka sama i wynosi p to poziom sprzedaży wyrażać można wartościowo (jak w poprzednim przykładzie) lub ilościowo

DOL(S) = DOL(q* p_j).

Jeśli koszty jednostkowe zmienne równają się v_j, to

Koszty operacyjne zmienne V = q*v_j

oraz

Przykład (Ciąg dalszy).

Załóżmy, że w BARR S.A. Corporation cena jednostkowa produktu p_j = 250zł/sztukę. Koszty zmienne jednostkowe v_j = 150zł/szt., koszty stałe operacyjne wynoszą 1 000 000zł. Obliczamy wartość sprzedaży q oraz odpowiadający jej stopień dźwigni operacyjnej, tabela 

Tab. Zależność DOL od wielkości sprzedaży.

	wielkość sprzedaży	DOL
	0 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 14 000 16 000 18 000 20 000	0 -0.25 -0.67 -1.50 -4.00 nie zdefiniowane (Próg rentowności) +6.00 +3.50 +2.67 +2.25 +2.00

Zależność tę prezentuje rysunek .

Rys.. Zależność DOL od wielkości sprzedaży.

Należy tu zwrócić uwagę, że dla produkcji q = 10 000 jednostek, która jest progiem rentowności dla tej firmy,

,

wartość DOL jest nie zdefiniowana, ponieważ w punkcie tym (jak pamiętamy) EBIT = 0. Dla produkcji poniżej progu rentowności wartość DOL jest ujemna, co znaczy, że redukcja strat (EBIT jest ujemny) jest proporcjonalna do DOL. Na przykład, przy bazowej produkcji 8 000 jednostek wyrobów wzrost sprzedaży o 1% spowoduje redukcję (zmniejszenie) strat o 4%.

5. Dźwignia finansowa

O dźwigni finansowej mówi się wówczas, gdy przedsiębiorstwo wykorzystuje fundusze obce o stałym koszcie do finansowania swojej działalności. Zwykle przedsiębiorstwo korzysta z funduszy obcych, aby zwiększyć zysk przeznaczony dla właścicieli (np. akcjonariuszy). Podstawowym funduszem o stałym koszcie jest dług: kredyt bankowy, obligacje, pożyczki długoterminowe. Kosztem stałym takiego funduszu są płacone odsetki, kupony. Inny fundusz o stałym koszcie to kapitał z akcji preferowanych, którego kosztem stałym jest obligatoryjnie wypłacana dywidenda.

Załóżmy, że firma A finansuje swoją działalność tylko kapitałem własnym bez funduszy o koszcie stałym. Firma B - oprócz kapitału własnego - korzysta również z funduszy obcych o stałym koszcie. Dźwignię finansową przedsiębiorstw A, B (rys.) reprezentuje zmiana zysku na akcję EPS, która zachodzi w wyniku zmiany zysku przed odsetkami i podatkiem - EBIT.

Rys. Dźwignia finansowa.

Zależność między EBIT oraz EPS dla firmy A reprezentuje linia A, dla firmy B linia B. Tangens kąta nachylenia linii A jest mniejszy niż tangens kąta nachylenia linii B (rys.). Zatem zmiana EBIT o ΔEBIT = EBIT₂ - EBIT₁ wywołuje w firmie A zmianę ΔEPS(A) = EPS₂(A) - EPS₁(A), a w firmie B zmianę EPS o ΔEPS(B) = EPS₂(B) - EPS₁(A), gdzie

ΔEPS(B) > ΔEPS(A)

W firmie finansowanej tylko kapitałem akcyjnym (zwykłym), wpływ zmiany zysku EBIT na EPS jest słabszy niż w firmie finansowanej kapitałem akcyjnym i długiem długoterminowym, czyli kapitałem obcym.

Zastosowanie dźwigni finansowej przy stosunkowo wysokim poziomie zysku, na przykład EBIT_2, w firmie B (rys.), zwiększa poziom EPS powyżej poziomu EPS(A) dla firmy nie korzystającej z finansowania obcego. Z drugiej strony, w przypadku stosunkowo niskiego poziomu EBIT, na przykład EBIT₀ (rys. 4.8) otrzymuje się odwrotną zależność. W firmie B, finansowanej również kapitałem obcym, EPS₀(B) < EPS₀(A), a nawet zysk na akcję w firmie B jest ujemny, EPS₀(B) < 0.

Stopień dźwigni finansowej przedsiębiorstwa DFL dla określonego poziomu EBIT definiuje się jako stosunek procentowej zmiany EPS do procentowej zmiany zysku EBIT, który zmianę EPS wywołał [5], [9], [49], [88]:

,

lub jeśli nie ma akcji uprzywilejowanych

,

gdzie I - odsetki, T - stopa podatkowa.

Dźwignia finansowa jest funkcją zysku operacyjnego EBIT, a więc jej wartość jest inna dla każdej wartości zysku operacyjnego. Wykresem dźwigni finansowej w funkcji zysku operacyjnego są obie gałęzie hiperboli. Asymptotą poziomą jest linia prosta o wartości równej 1. Asymptotą pionową jest prosta w punkcie EBIT = I, a więc w punkcie, w którym zysku operacyjnego starcza tylko na odsetki od kapitału obcego. Zastosowanie dźwigni finansowej ma sens tylko na prawo od tego punktu, albo inaczej mówiąc: nie ma sensu tak duże finansowanie kapitałem obcym, że odsetki od niego przekraczają wypracowany zysk operacyjny. W praktyce zysk operacyjny powinien być wyraźnie większy od odsetek od kapitału obcego.

Czasami wygodniej jest skorzystać z następującej definicji DFL:

gdzie: I - odsetki od zaciągniętego długu, D_p - dywidenda uprzywilejowana, t - stopa podatkowa.

Gdy przedsiębiorstwo nie posiada kapitału z akcji uprzywilejowanych,

,

gdzie: EBT - zysk po zapłaceniu odsetek, ale przed podatkiem (Earning Before Tax).

Przedsiębiorstwo może wpływać na wartość DFL przez obniżkę lub zwiększenie kosztu kapitału obcego (także liczbę emitowanych akcji uprzywilejowanych) lub odpowiednio kształtowaną strukturę kapitału firmy, rozumianą jako stosunek długu, kapitału z akcji uprzywilejowanych i kapitału z akcji zwykłych, odpowiednio, do całego kapitału firmy.

Przykład

Właściciele - akcjonariusze firmy postanowili zwiększyć kapitał firmy i zakupić nowsze, bardziej wydajne maszyny i urządzenia do produkcji. Żądany kapitał inwestycyjny wynosi 200 000zł, a produkcja powinna zwiększyć się do wielkości 120 000 szt. wyrobów, lub większej. Uchwała zarządu spółki pozostawiła do decyzji menedżera finansowego sposób pozyskania kapitału i jego źródła. Cena jednostkowa wyrobu wynosi 10 zł.

Rozważa się trzy sposoby finansowania A, B, C przedstawione w tabeli.

Tab. Propozycje finansowania.

Projekt	Kapitał inwestycyjny [zł]	Odsetek długu [%]	Dług	Kapitał własny [zł]
A	200 000	0	0	200 000
B	200 000	30	60 000	140 000
C	200 000	60	120 000	80 000

Wyniki analiz przedstawiono w tabelach .

Tab.. Projekt A.

Lliczba sprzedanych wyrobów	EBIT	Wielkość odsetek	Podatek 40%	EAT	EPS	ROE	DFL
0	-272 286	0	-108 914	-163 372	-817	-82%	1.00
20 000	-98 000	0	-39 200	-58 800	-294	-29%	1.00
40 000	62 000	0	24 800	37 200	186	19%	1.00
32 250	0	0	0	0	0	0%	( - )
60 000	222 000	0	88 800	133 200	666	67%	1.00
80 000	382 000	0	152 800	229 200	1 146	115%	1.00
100 000	542 000	0	216 800	325 200	1 626	163%	1.00
120 000	702 000	0	280 800	421 200	2 106	211%	1.00
140 000	862 000	0	344 800	517 200	2 586	259%	1.00
160 000	1 022 000	0	408 800	613 200	3 066	307%	1.00

Tab. Projekt B.

Tab. Projekt C.

Wykresy obliczeń dla projektu C przedstawiono na rysunku .

W projekcie A, w którym zakłada się finansowanie inwestycji tylko kapitałem własnym ROE przyjmuje wartości z przedziału -82% do 307% w analizowanym przedziale zmienności wartości sprzedaży, a DFL = 1, to znaczy, że ROE jest wprost proporcjonalny do EBIT.

W projekcie B ROE zmienia się od -126% do 429%. Przedział zmienności jest większy niż w projekcie A. Projekt B jest bardziej wrażliwy na zmiany EBIT, DFL zmienia się od 0.93 do 1.51.

W projekcie C ROE zmienia się od -236% do 735%, a DFL od 0.7 do 3.1. Dla wielkości sprzedaży 160 000szt. wyrobu rocznie zysk na akcję EPS w projekcie C jest największy. Należy pamiętać, że jest to projekt najbardziej ryzykowny spośród rozważanych. Wrażliwość zmian ROE i EPS na zmiany EBIT jest największa. DFL osiąga wysokie wartości.

Analiza dźwigni finansowej pozwala dokonać wyboru decyzji zgodnej z prowadzoną polityką firmy dotyczącą zyskowności i ryzyka przedsięwzięć, i zgodnie z zasadą, że

im bardziej zyskowna inwestycja, tym bardziej ryzykowna.

1

---