Wahadło rewersyjne

Drganiami harmonicznymi prostymi nazywamy drgania odbywające się pod wpływem siły F, proporcjonalnej do wychylenia x, lecz przeciwnie skierowanej:

F=-kx

Współczynnik proporcjonalności k (o wymiarze N•m-1) nazywamy siłą kierującą. Ruch harmoniczny opisuje równanie:

S=Asinωt

Wzór:

Obowiązuje dla wahadła fizycznego, czyli bryły, która może obracać się wokół osi nie przechodzącej przez środek ciężkości. Jeżeli wahadło zawiesimy w taki sposób, by jego oś była pozioma i wychylimy o mały kąt ϕ z położenia równowagi, to zacznie się ono wahać. Dla małych wartości kąta ϕ ruch wahadła fizycznego jest ruchem harmonicznym prostym. Moment siły M, działający na wahadło wychylone z położenia równowagi, wyraża się wzorem M=-mgd sinϕ, gdzie d oznacza odległość środka ciężkości od punktu podparcia.

Ze względu na małą wartość kąta ϕ moment siły możemy wyrazić wzorem:

M=-mgdϕ

Zatem, zgodnie z równaniem M=-Dϕ, moment kierujący wyraża się wzorem:

D=mgd

Moment bezwładności, zgodnie z twierdzeniem Steinera, możemy przedstawić równaniem:

I=Is+md²

gdzie Is oznacza moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości. Podstawiając w ten sposób wartości momentu kierującego i momentu bezwładnościwoego do równania:

0x08 graphic
otrzymujemy następujący wzór na okres oscylacji:

Moment bezwładności bryły można wyznaczyć z okresu drgań skrętnych bryły zawieszonej na drucie o znanych właściwościach sprężystych. Np. jeżeli w metodzie dynamicznej wyznaczania modułu sztywności będziemy znać moment kierujący D, z równania:

obliczyć możemy moment bezwładności I bryły zawieszonej na drucie (względem osi zawieszenia). W przypadku nieznanego D można wykonać pomiar względny. W tym celu należy zmierzyć okres T dla bryły o nieznanym momencie bezwładności I, a następnie bryłę tę zastąpić bryłą o znanym momencie bezwładności I₀ i zmierzyć okres T₀. Pozwala to napisać dwa równania:

z których obliczamy moment bezwładności I.

1 - podstawa, 2 - regulowane nóżki, 3 - kolumna, 4 - wspornik górny, 5 - wspornik dolny, 6 - czujnik fotoelektryczny, 7 - wahadło matematyczne, 8 - wahadło rewersyjne, 10 - milisekundomierz elektroniczny, 12 - krążki (soczewki wahadła)

Przez długość zredukowaną wahadła fizycznego rozumiemy długość wahadła matematycznego mającego ten sam okres wahań, a więc spełniającego warunek

T_fiz= T_mat

czyli

gdzie d oznacza odległość osi obrotu od środka ciężkości wahadła fizycznego.

Konstrukcja mechaniczna przyrządu

Wahadło rewersyjne zostało wykonane jako stalowy pręt (8) (patrz rysunek), na którym osadzono dwa zwrócone ku sobie ostrzami noże i dwa krążki (12). Na pręcie zostały wykonane co 10 mm pierścieniowe nacięcia, służące do dokładnego ustalania długości wahadła rewersyjnego (odległość między nożami). Noże i krążki można przemieszczać wzdłuż osi pręta i unieruchamiać w dowolnym położeniu. Elementy te zostały wykonane tak, że ich położenie wzdłuż pręta jest krotnością dziesięciu mm, a pokrętła mocujące umieszczono tak, by korzystając z pierścieniowych nacięć można je było trwale zablokować. Wspornik dolny wraz z czujnikiem fotoelektrycznym (6) można przemieszczać wzdłuż kolumny (3) i unieruchamiać w dowolnie wybranym położeniu.

Położenie I krążka 4 (cm)
Położenie I noża 10 (cm)
Położenie II noża 50 (cm)
	Czas trwania n okresów
Położenie II krążka	Dla zawieszenia I			Dla zawieszenia II
		Ilość okresów [n]	Czas [s]	Okres T₁ [s] • 10^-1	Ilość okresów [n]	Czas [s]	Okres T₂ [s] • 10^-1

0x08 graphic

0x08 graphic
49

0x08 graphic

1,5220

1,4759

1,3699

1,2927

1,2410

1,1975

1,1656

1,1387

1,0950

1,1077

1,0996

1,0943

1,0913

1,0910

1,0931

1,0965

1,1004

1,1059

1,1142

1,1221

1,1322

1,1409

1,1497

1,1608

1,1724

1,1832

1,1936

1,2060

1,2166

1,2301

1,2418

1,2538

1,2659

1,2787

1,2916

1,3032

1,3166

1,3290

15,220

14,759

13,699

12,927

12,410

11,975

11,656

11,387

10,950

11,077

10,996

10,943

10,913

10,910

10,931

10,965

11,004

11,059

11,142

11,221

11,322

11,409

11,497

11,608

11,724

11,832

11,936

12,060

12,166

12,301

12,418

12,538

12,659

12,787

12,916

13,032

13,166

13,290

1,2756

1,2910

1,2887

1,2927

1,2838

1,2794

1,2585

1,2445

1,2639

1,2602

1,2560

1,2526

1,2481

1,2469

1,2441

1,2419

1,2388

1,2352

1,2361

1,2362

1,2333

1,2354

1,2365

1,2376

1,2378

1,2384

1,2422

1,2475

1,2496

1,2545

1,2565

1,2638

1,2678

1,2761

1,2854

1,2952

1,3037

1,3137

12,756

12,910

12,887

12,927

12,838

12,794

12,585

12,445

12,639

12,602

12,560

12,526

12,481

12,469

12,441

12,419

12,388

12,352

12,361

12,362

12,333

12,354

12,365

12,376

12,378

12,384

12,422

12,475

12,496

12,545

12,565

12,638

12,678

21,761

12,854

12,952

13,037

13,137

Wykresy zależności okresów drgań T₁ i T₂ przecinają się w dwóch punktach: F₁ i F₂

F₁ = (15,2; 1,268)

F₂ = (45,0; 1,269)

Położenie pierwszego noża znajduje się w odległości 10 cm od początku wahadła, zaś drugiego noża w odległości 50 cm od jego początku. Zatem długość zredukowana wynosi 40 cm (0,4 m).

Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego

0x08 graphic

gT²=4²l

Dla F₁ g₁= 9,82 [m/s²]

Dla F₂g₂=9,80 [m/s²]

Obliczanie błędu pomiaru metodą różniczki zupełnej:

Wnioski:

Metoda pomiaru przyspieszenia ziemskiego wahadła rewersyjnego jest jedną z najdokładniejszych metod, ponieważ obie z występujących we wzorze długości oraz okres drgań wyznaczone są z bardzo dużą precyzją.

Zależność okresu wahań od położenia soczewki przedstawiona jest na wykresie.

Można zauważyć, że krzywe mają kształt paraboliczny, przy czym gałęzie krzywej dla zawieszenia pierwszego nie są tak rozwarte jak dla zawieszenia drugiego. Wykres nieznacznie odbiega od idealnego.