32. Pole grawitacyjne. Energia kinetyczna i potencjalna dla pola 1/r.

Prawo powszechnego ciążenia:

Każde dwa ciała o masach m1 i m2 przyciągają się wzajemnie siłą grawitacji wprost proporcjonalną do iloczynu mas, a odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi.

To jest prawo powszechne, ponieważ stosuje się do wszystkich sił grawitacyjnych; np. wyjaśnia spadanie ciał na Ziemię, ale też tłumaczy ruch planet.

Np.:

Siła z jaką Ziemia przyciąga jabłko jest taka sama co do wartości jak siła z jaką jabłko przyciąga Ziemię. Pod wpływem tej siły jabłko przyspiesza w kierunku Ziemi (z przyspieszeniem g) i Ziemia przyspiesza w kierunku jabłka (z przyspieszeniem a)

Ponieważ masa Ziemi jest tak wielka (w porównaniu z masą jabłka) przyspieszenie a jest niemierzalnie małe i mówimy, że jabłko spada na Ziemię.

Wartość współczynnika proporcjonalności G, nazywanego stałą grawitacji, Newton oszacował stosując równanie (6.2) do siły działającej między Ziemią, a ciałem o masie m. Zgodnie z zasadą dynamiki

Skąd

gdzie RZ jest promieniem Ziemi. Masę Ziemi MZ Newton obliczył zakładając średnią gęstość Ziemi równą ρZ = 5·103 kg/m3 (dla porównania gęstość żelaza, głównego składnika masy Ziemi, wynosi ρFe = 7.9·103·kg/m3, a gęstość krzemu, podstawowego składnika skorupy ziemskiej, wynosi ρSi = 2.8·103 kg/m3). Uwzględniając RZ = 6.37·106 m Newton otrzymał wartość G = 7.35·10-11 Nm2/kg2 co jest wartością tylko o 10% większą niż ogólnie dzisiaj przyjmowana wartość 6.67·10-11 Nm2/kg2. Wartość stałej G obliczonej przez Newtona jest obarczona błędem wynikającym z przyjętej średniej wartości gęstości Ziemi.

Na przykładzie sił grawitacyjnych omówimy ważne w fizyce pojęcie pola . Nasze rozważania rozpoczynamy od umieszczenia masy M w początku układu. W punkcie przestrzeni opisanym wektorem r znajduje się inna masa m. Wektor r opisuje położenie masy m względem masy M więc siłę oddziaływania grawitacyjnego między tymi masami możemy zapisać w postaci wektorowej

gdzie znak minus wynika z faktu, że wektor F jest zwrócony przeciwnie do wektora r. Zwróćmy uwagę, że siłę tę możemy potraktować jako iloczyn masy m i wektora γ(r) przy czym

Definicja

Wektor γ(r) dany równaniem nazywamy natężeniem pola grawitacyjnego.

Zwróćmy uwagę na to, że jeżeli w punkcie r umieścilibyśmy dowolną masę np. m' to zawsze możemy zapisać siłę jako iloczyn masy m' i tego samego wektora γ(r).

Widzimy, że wektor γ(r) nie zależy od obiektu na który działa siła (masy m') ale zależy od źródła siły (masa M) i charakteryzuje przestrzeń otaczającą źródło (wektor r). Oznacza to, że masa M stwarza w punkcie r takie warunki, że umieszczona w nim masa m odczuje działanie siły. Inaczej mówiąc masie M przypisujemy obszar wpływu (działania), czyli pole. Na rysunku poniżej jest pokazany wektor γ(r) w wybranych punktach wokół masy M.

Rys. 6.4. "Mapa" natężenia pola grawitacyjnego wokół masy M

Zwróćmy uwagę, że rozdzieliliśmy siłę na dwie części. Stwierdzamy, że jedna masa wytwarza pole, a następnie to pole działa na drugą masę. Taki opis pozwala uniezależnić się od obiektu (masy m') wprowadzanego do pola.

Energia potencjalna jest to energia jaką posiada element umieszczony w polu potencjalnym. Energię potencjalną zawsze definiuje się względem jakiegoś poziomu zerowego. Podobnie jak pracę, energię potencjalną mierzy się w dżulach [J]. Energia potencjalna ciała zależy od jego położenia względem drugiego ciała, z którym oddziałuje.Gdy położenie to ulega zmianie, zmienia się również energia potencjalna ciała.W przypadku energii potencjalnej grawitacji, mówiąc o zmienie położenia mamy na myśli zmianę jego wysokości nad Ziemią. Przyrost energii potencjalnej grawitacji ciała jest równy pracy siły zewnętrznej, wykonanej przy jego podnoszeniu na wysokość h ruchem jednostajnym.Siła zewnętrzna równoważy wówczas siłę grawitacji. Energię potencjalną grawitacji ciała o masie m umieszczonego na wysokości h nad tak zwanym poziomem zerowym obliczamy za pomocą iloczynu m masy, g grawitacji i h wysokości.

W polu grawitacyjnym

Źródłem pola grawitacyjnego jest obiekt posiadający masę. Jeżeli oddalamy się od niego siła przyciągania słabnie. Oznacza to, że jej wartość zmienia się w funkcji odległości. Przyjęto, że poziom odniesienia dla energii potencjalnej pola grawitacyjnego to nieskończoność. W efekcie wyrażenie na pracę potrzebną do wyniesienia obiektu do nieskończoności przyjmie następujący kształt:

gdzie:

r - odległość od źródła pola grawitacyjnego do przyciąganego obiektu [m],

G - stała grawitacyjna [N×m2×kg-2],

M - masa źródła pola grawitacyjnego [kg],

m - masa przyciąganego obiektu [kg].

Minus przed całką oznacza, że energia potencjalna jest zawsze ujemna, bo wartość zerową przyjmuje w nieskończoności. Z wzoru całkowego można wyprowadzić prostą zależność:

Taka definicja może wydawać się dziwna, ale bardzo ułatwia obliczenie II prędkości kosmicznej, która mówi czy obiekt ucieknie z pola grawitacyjnego.

* jeszcze prześle coś o tej energii jak znajde

---