LICZBY ZESPOLONE.

Parą uporządkowaną z = (a, b); a,b∈R nazywamy liczbę zespoloną (LZ); a - część rzeczywista LZ; b - część urojona LZ; |C - zbiór wszystkich LZ.

Dwie LZ nazywamy równymi gdy mają identyczne części rzeczywiste i identyczne części urojone.

Suma i iloczyn LZ: z₁ + z₂ := (a₁ + a₂; b₁ + b₂); z₁ * z₂ := (a₁a₂ - b₁b₂; a₁b₂ + a₂b₁)

Dowodzi się że w |C istnieje dokładnie jeden element 0 (zerowy) i jest nim para (0,0) zwany moduł dodawania, oraz dokładnie jeden element jednostkowy (1,0) moduł mnożenia.

Jednostka urojona - nazywamy liczbę i:= (0,1). Ponieważ i² = (0,1)*(0,1) = (-1,0) = -1 ; możemy ją uważać za pierwiastek kwadratowy -1.

Każdą LZ z = (a,b) można przedstawić w postaci z = a + b * i

DOWÓD: z=(a,b)=(a,0) + (b,0) = (a,0) + (b,0)*(0,1) = a + b*i

(0 , b)

Postać z=a+b*i jest to postać kartezjańska (algebraiczna) LZ.

Liczba sprzężona:
:= a - bi

Modułem |z| - LZ z = a + bi nazywamy długość r wektora [a, b] czyli |z| = r :=

Argumentem arg z - LZ z = a + bi (z ≠ 0) nazywamy każdy kąt α spełniający warunki: cos α = a / r ; sin α = b / r

UWAGA: Dla LZ z = (0,0) argument w ogóle nie może być określony zaś dla pozostałych LZ nie jest on określony (z uwagi na okresowość) jednoznacznie.

Argumentem głównym Arg z - LZ z ≠ o nazywamy ten z jej argumentów α który należy do przedziału (-Π, Π>. Niekiedy przyjmuje się przedział <0, 2 Π)

Postacią trygonometryczną LZ z = a + bi nazywamy zapis z = r (cos α + sin αi); gdzie r = |z|; α = Arg z

TWIERDZENIA:

a). |z₁ z₂| = |z₁| * |z₂| dla dowolnych dwóch liczb z₁ z₂ ∈ |C

b). |z₁ / z₂ | = |z₁| / |z₂| gdy z₂≠0

c). Arg (z₁z₂) = { Arg z₁ + Arg z₂ gdy Arg z₁ + Arg z₂ ≤ Π i Arg z₁ + Arg z₂ - 2 Π gdy Arg z₁ + Arg z₂ >Π }

d). Arg (z₁ / z₂ ) = Arg z₁ + Arg z₂ gdy z₁, z₂ ≠ 0

***TWIERDZENIE MOIVRE'A:***

[r(cos α + sin α i)]ⁿ = rⁿ (cos n α + sin n α i)

TIERDZENIE: Każda LZ z= r (cos α + sin α i) ≠ 0 ma dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n wyrażających się wzorem:

gdzie: k=0,1,2,...,n-1

DOWÓD:

Niech ω := R(cos φ + sin φ i) oznacza 1 z pierwiastków stopnia n liczby z. Ze wzoru Moivre'a:

Rⁿ (cos φ + sin φ i) = r (cos α + sin α i)

Stąd: Rⁿ = r R =

n * φ = α + 2k Π φ = (α + 2k Π) / 2 teraz k=0, +/-1, +/-2, .... mamy:

Podstawiając za k kolejno liczby 0,1,2..,n-1 otrzymujemy n różnych pierwiastków ω_k. Dla pozostałych wartości k otrzymane pierwiastki ω_k się powtarzają.

Potęga o wykładniku zespolonym:

e^z := e^x+yi = e^a+bi := e^a (cos b + sin b i)

Prawdziwe są wzory:

1).

2).

3).

4).

5). (e^iφ)ⁿ = e^inφ

6). Zⁿ = rⁿ e^inφ

7). 1/z = (1/r) e^-iφ

8).

9).
gdzie: k=0,1,2,...,n-k

MACIERZE.

Przyporządkujmy każdej parze uporządkowanej liczb naturalnych (i, k) gdzie:

1 ≤ i ≤ m , 1≤ k ≤ n pewną liczbę a_ik ∈ |R. Tak otrzymaną funkcję nazywamy macierzą prostokątną o m wierszach i n kolumnach i oznaczamy:

Gdy m=n to macierz nazywamy kwadratowy.

***Dwie macierze [a, k] i [b, k] nazywamy r1ównymi gdy są tych samych wymiarów i ich odpowiednie elementy są równe, to znaczy: a_ik = b_ik dla: i=1,2,..,m ; k=1,2,..,n

Dla macierzy tych samych wymiarów definiujemy sumę różnicę i iloczyn „liczba * macierz” następująco:

[a_ik] + [b_ik] := [a_ik + b_ik] ; [a_ik] - [b_ik] := [a_ik - b_ik] ; α * [a_ik] := [α * a_ik]

Iloczynem macierzy
i macierzy
nazywamy macierz

gdzie: C_ik = a_i1 b_1k + a_i2 b_2k +...+ a_ip b_pk =

UWAGA1: Mnożenie macierzy jest wykonalne gdy liczba kolumn macierzy A równa się liczbie wierszy macierzy B.

UWAGA 2: Mnożenie nie jest przemienne: A*B ≠ B*A

WYZNACZNIKI.

Wyznacznikiem stopnia n macierzy kwadratowej A który oznaczamy symbolem det A = |A| = W nazywamy liczbę przyporządkowaną macierzy A następująco:

det A =

1). Jeżeli n = 1 to: W := |a₁₁| := a₁₁

2). Jeżeli n>1 to: W := a₁₁ * |A₁₁| - a₁₂ |A₁₂| + a₁₃ |A₁₃| + ...+ (-1)ⁿ⁺¹ a_1n*|A_1n| gdzie A_1k oznacza macierz powstałą z macierzy A przez pominięcie pierwszego wiersza i k - tej kolumny.

Metoda SARRUSA służy do obliczania wyznaczników stopnia trzeciego.

***TWIERDZENIE LAPLACE'A***

Wyznacznik dowolnego stopnia równy jest sumie iloczynów kolejnych elementów dowolnie wybranego wiersza (kolumny) przez odpowiadające im dopełnienia algebraiczne, to znaczy:

1). dla wierszy: W = a_i1 * |A_i1^*| + a₁₂ * |A_i2^*| +...+ a_in |A_in^*|

2). Dla kolumny: W = a_1k * |A_1k^*| + a_2k * |A_2k^*| +...+ a_nk |A_nk^*|

|A_ik^*| := (-1)^i+k |A_ik| dopełnienie algebraiczne elementu macierzu a_ik

*Wzór 1 - rozwinięcie (Laplace'a) wyznacznika względem i - ge wiersza.

*Wzór 1 - rozwinięcie (Laplace'a) wyznacznika względem k - tej kolumny.

Własności wykładników:

1). Wyznacznik nie zmienia się jeżeli:

a). Zamienimy miejscami kolumny z wierszami zachowując kolejność - transpozycja.

b). Do elementów wybranego wiersza (kolumny) dodamy odpowiednie elementy innego wiersza przemnożone przez dowolną stałą.

2). Jeżeli wszystkie elementy jednego wiersza (kolumny) pomnożymy przez ten sam czynnik to wyznacznik również zostaje pomnożony przez ten czynnik.

3). Jeżeli wyznacznik ma dwa wiersze (kolumny) proporcjonalne to: W = 0

4). Jeżeli w wyznaczniku wszystkie elementy jednego wiersza (kolumny) są zerami to: W = 0

5). Jeżeli w wyznaczniku wszystkie elementy nad (pod) główną przekątną są zerami to: W = iloczynowi elementów na głównej przekątnej.

6). Jeżeli przestawimy między sobą dwa dowolne wiersze (kolumny) to wartość wyznacznika zmieni się na przeciwną.

Macierz nieosobliwa:

Macierz A nazywamy nieosobliwą, jeżeli |A| ≠ 0

Macierz jednostkowa:

Macierzą jednostkową rzędu n nazywamy taką macierz kwadratową która na głównej przekątnej ma wyłącznie jedynki, a pozostałe jej elementy to zera:

tzw: delta KRONECKERA

UWAGA:

Macierz E jest modułem mnożenia macierzy: E * A = AE = A przy założeniu wykonalności mnożenia.

Macierz transponowana:

Macierzą transponowaną (przestawioną do macierzy A nazywamy macierz A^T która powstaje z A przez zamianę wierszy na kolumny w tym samym porządku.

Macierz dołączona:

Macierzą dołączoną do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz:

Macierz odwrotna:

Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A nazywamy taką macierz A^-1 która spełnia warunki równania:

A*A^-1 = A^-1 * A = E

TWIERDZENIE:

Jeżeli macierz A jest nieosobliwa to istnieje do niej dokładnie jedna macierz odwrotna A^-1 i wyraża się wzorem:

A^-1 = (1 / |A|) * A^D

Macierz rzędu R:

Macierz A=[a₁₁ ... ] (normalna macierz A) nazywamy macierzą rzędu R jeżeli co najmniej jej jedna podmacierz stopnia r jest nieosobliwa a wszystkie jej podmacierze stopnia wyższego niż r są osobliwe (macierz stopnia r to macierz kwadratowa r na r).

Rząd macierzy R(A) oczywiście R(A) ≤ mn (m, n)

Rząd macierzy nie zmienia się gdy:

1). Przestawimy wiersze lub kolumny

2). Mnożymy wiersz lub kolumnę przez liczbę różną od zera.

3). Do jednego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę)

4). Pominiemy wiersz (kolumnę) zerową.

5). Gdy transponujemy macierz.

UKŁAD RÓWNAŃ LINIOWYCH.

Układem n równań o n niewiadomych x₁, x₂,...,x_n nazywamy układ równań postaci: (oznaczamy go *)

Jeżeli dla każdego k b_k = 0 to układ (*) nazywamy jednorodnym w przeciwnym razie nie jednorodnym.

Wyznacznikiem głównym (charakterystycznym) układu (*) nazywamy wyznacznik:

W=|a₁₁...| (normalny wyznacznik A ten co wyżej)

Wyznacznikiem odpowiadającym niewiadomej x_k nazywamy wyznacznik:

***TWIERDZENIE CRAMERA***

Jeżeli wyznacznik główny W układu (*) jest ≠ 0 to układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorami:

dla k=1,2,..,n

WNIOSKI:

1). Układ jednorodny o wyznaczniku głównym W ≠ 0 ma jedynie rozwiązanie zerowe.

2). Jeżeli układ jednorodny ma rozwiązania nie zerowe to z tego wynika że wyznacznik główny W = 0 i wówczas układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań.

TWIERDZENIE:

Rozważmy układ równań m o n niewiadomych: (oznaczymy go **)

Niech A oznacza macierz współczynników [a_ij], zaś B macierz uzupełnioną:

***TWIERDZENNIE KRONECKERA - CAPELLEGO:***

Układ równań (**) ma rozwiązanie gdy rząd macierzy A równa się rzędwi macierzy B. R(A) = R(B)

Niech r := R(A) = R(B)

Jeżeli r = n to układ (**) ,ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeżeli r < n to układ (**) ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n - r (niewiadomych) parametrów.

Metoda GAUSAA-JORDANA - to doprowadzamy macierz aby zostały jedynki po przekątnej a pozostałe to zera.

WEKTORY.

Iloczynem wektorowym - dwóch nierównoległych a i b ( a nie || b ) nazywamy wektor W spełniający warunki:

1). |W| = |a| * |b| * sin kąta (a, b)

2). W ┴ a i W ┴ b

3). Zwrot wektora W jest tak dobrany, aby uporządkowanie trzech wektorów a, b, W tworzyła układ o orientacji zgodnej z przyjętą orientacją osi współrzędnej. Jeżeli wektory są równoległe albo jeden jest zerowy to: a
b := 0

Własności iloczyny wektorowego:

1). a
b = - b
a

2). a
(b + c) = a
b + a
c

3). a (a v b) = (α * a )
b = a
(α * b)

4). Jeżeli a = [a₁, a₂, a₃] ; b = [b₁, b₂, b₃] ich:

DOWÓD do punktu 4:

a = a₁ i + a₂ j + a₃ k ; b = b₁ i + b₂ j + b₃ k

a
b = (a₁ i + a₂ j + a₃ k)
(b₁ i + b₂ j + b₃ k) = a₁b₁ i
i + a₁b₂ i
j + a₁b₃ i
k + a₂b₁ j
i + a₂b₂ j
j + a₂b₃ j
k + a₃b₁ k
i + a₃b₂ k
j + a₃b₃ k
k == j
k = i ; k
i = j ; i j = k ; k
j = -i ; i
k = - j ; j
i = -k == (a₁b_1- a₂b₁)k + (a₃b₁ - a₁b₃)j + (a₂b₃ - a₃b₂)i

Iloczynem skalarnym - dwóch wektorów niezerowych a i b nazywamy liczbę a * b * cos kąta (a, b)

Własności:

1). a * b = b*a

2). a * (b + c) = a*b + a*c

3). Jeżeli wektor a = [a₁, a₂, a₃] ; b = [b₁, b₂, b₃] to a * b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

DOWÓD:

Niech i := [1, 0, 0] ; j := [0, 1, 0] ; k := [0, 0, 1]

a = a₁ i + a₂ j + a₃ k ; b = b₁ i + b₂ j + b₃ k

a * b = (a₁ i + a₂ j + a₃ k ) * (b₁ i + b₂ j + b₃ k) = a₁i b₁i + a₁i b₂j + a₁i b₃k +...+ a₃k b₃k = a₁b₁ i*i + a₂b₂ j*j + a₃b₃ k*k = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃₂

WNIOSKI:

1). Jeżeli mamy dwa wektory niezerowe a, b ≠ 0 to cos kąta (a, b) =

2).
; istotnie a * a = a₁² + a₂² + a₃² ; a * a := |a|² |a|² = a₁² +a₂² + a₃²

3). Długość odcinak o końcach P₁ (x₁, y₁, z₁) i P₂ (x₂, y₂, z₂) wynosi:

; liczymy |a| o otrzymujemy powyższy wzór.

4). Jeżeli a = [a₁, a₂, a₃] ; b = [b₁, b₂, b₃] a ┴ b a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = o

Iloczyn mieszany.

Iloczynem mieszanym trzech wektorów a, b, c, nazywamy liczbę (a, b, c) := (a
b)*c

TWIERDZENIE:

Jeżeli a = [a₁, a₂, a₃] ; b = [b₁, b₂, b₃] ; c = [c₁, c₂, c₃ ]

DOWÓD:

to jest rozwinięcie Laplace'a

WNIOSEK:

Iloczyn mieszany nie jest przemienny, zachodzi tzw. przemienność cykliczna.:

(a, b, c) = (c, a, b) = (b, c, a)

TWIERDZENIE:

Wektory a, b, c są komplenarne (współpłaszczyznowe) (a, b, c) = 0

Wzory:

Wzór na pole równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b:

P_∆ABC = P□_ABCD =

Pole na objętość ostrosłupa o wierzchołkach A, B, C, D:

V_ost = 1 / 3 V_{czworościanu} * 1 /2 = 1 / 6 |)AB, AC, AD)|

PŁASZCZYZNA.

Równanie Ax + By + Cz + D = 0 gdzie A² + B² +C² > 0 nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny ( w |R³ )

1). A = 0 Π | | Ox

2). B = 0 Π | | Oy

3). C = 0 Π | | Oz

4). A = B = 0 Π | | pł. Oxy

5). A = C = 0 Π | | pł. Oxz

6). B = C = 0 Π | | pł. Oyz

Równanie odcinkowe płaszczyzny:

D ≠ 0 (nie przechodzi przez początek układu współrzędnych)

ABC ≠ 0 (żaden współczynnik zerem nie będzie)

Równanie ogólne:

Ax + By + Cz = - D

[x / (-D/A) + y / (-D/B) + z / (-D/C) ] = 1

Niech: a := -D/A ; b := -D/B ; c := -D/C

Równanie odcinkowe płaszczyzny:

(x/a + y/b + z/c) = 1

Liczby a, b, c oznaczają miary względne odcinków wyznaczonych przez tę płaszczyznę na osiach współrzędnych.

TWIERDZENIE:

Niech Π = Ax + By + Cz + D = 0 wówczas wektor N := [A, B, C] zwany wektorem normalnym płaszczyzny Π, jest prostopadły do płaszczyzny Π.

Warunek prostopadłości płaszczyzn: Π₁ ┴ Π₂ N₁ ┴ N₂ A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0

Warunek równoległości: Π₁ | | Π₂ N₁ | | N₂ A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂

Zerowanie się któregoś z mianowników pociąga za sobą zerowanie się któregoś z licznika (odpowiedniego).

Kąt między płaszczyznami:

Oznaczmy przez φ kąt między płaszczyznami Π₁ i Π₂. Ten sam kąt φ będzie równierz między ich wektorami normalnymi czyli N₁ i N₂ a zatem ze wzoru na cos kąta między wektorami mamy:

TWIERDZENIE:

Równanie płaszczyzn przechodzące przez trzy dane punkty P_i (x_i, y_i, z_i)_i=1,2,3 jest w postaci:

TWIERDZENIE:

Odległość punktu od płaszczyzny:

Odległość punktu P₀ (x₀, y₀, z₀) od płaszczyzny Π: Ax + By + Cz + D wyraża się wzorem:

PROSTA W PRZESTRZENI 3D.

Pęk płaszczyzn:

Pękiem płaszczyzn wyznaczonym przez płaszczyzny Π₁: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 i Π₂: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 nazywamy zbiór wszystkich płaszczyzn przechodzących przez krawędzi przecięcia płaszczyzn Π₁ i Π₂

Π₁ nie jest równoległe do Π₂

TWIERDZENIE:

Dla każdej płaszczyzny Π należącej do pęku płaszczyzn wyznaczonego przez dwie płaszczyzny Π₁ i Π₂ (Π₁: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 i Π₂: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0) istnieją takie dwie stałe λ₁ i λ₂ nie znikające jednocześnie:

(|λ₁| + | λ₂| > 0 ), że Π: λ₁(A₁x + B₁y + C₁z + D₁) + λ₂ (A₂x + B₂y + C₂z + D₂ ) = 0

Jeżeli λ₁ ≠ 0 to przyjmując: λ := λ₂ / λ₁ po podzieleniu przez λ₁ mamy: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ + λ (A₂x + B₂y + C₂z + D₂ ) = 0

Prosta:

Równanie krawędziowe.

Równaniem krawędziowym prostej nazywamy układ równań:

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

Płaszczyzny z tego układu przecinają się wzdłuż naszej prostej.

Równanie kanoniczne.

Równaniem kanonicznym (kierunkowym) prostej nazywamy równania:

określające prostą przechodzącą przez punkt P₀ (x₀, y₀, z₀) i | | do wektora k o współrzędnych (l, m, n ).

Wektor kierunkowy prostej: k = [l, m, n]

Równania parametryczne prostej.

Z równań kanonicznych wprowadzając parametr t łatwo przejść do parametrycznych równań prostych.

Układ równań parametrycznych prostych: x = x₀ + l*t ; y = y₀ + m*t ; z = z₀ + n*t

TWIERDZENIE:

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty P₁ (x₁, y₁, z₁) i P₂ (x₂, y₂, z₂) jest postaci:

TWIERDZENIE:

Kąt φ między dwiema prostymi o równaniach kanonicznych: (x-x₁)/l₁ = (y-y₁)/m₁ = (z-z₁)/n₁ oraz (x-x₂)/l₂ = (y-y₂)/m₂ = (z-z₂)/n₂ obliczamy według wzoru:

Warunek równoległości:

l₁/l₂ = m₁/m₂ = n₁/n₂

Warunek prostopadłości:

l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0

Rozważmy dwie proste: L₁: (x-x₁)/l₁ = (y-y₁)/m₁ = (z-z₂)/n₂ oraz L₂: (x-x₂)/l₂ = (y-y₂)/m₂ = (z-z₂)/n₂

Proste te leżą w jednej płaszczyźnie gdy wektory k₁ i k₂ oraz wektor P₁P₂ są współpłaszczyznowe

(***)

Jeżeli zachodzi (***) i dodatkowo:

a).
to proste L₁ i L₂ mają dokładnie jeden punkt wspólny.

b).
to proste się pokrywają.

c).
i
to proste są równoległe (L₁ | | L₂) oraz L₁ ≠ L₂

WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTEJ I PŁASZCZYZNY.

Niech p: (x-x₀)/l = (y-y₀)/m = (z-z₀)/n oraz Π: Ax + By + Cz + D = 0

1 warunek prostopadłości:

p ┴ Π k | | N A/l = B/m = C/n

2 warunek równoległości:

p | | Π k ┴ N Al. + Bm + Cn = 0

3 kąt między prostą i płaszczyzną:

Niech φ oznacza kąt ostry jaki tworzy prosta p z płaszczyzną Π. Niech ψ (psi) := kąt (k, N)

Wtedy ψ = φ + Π/2 albo ψ = Π/2 - φ

Stąd i ze wzoru na cos kąta między wektorami:

POWIERZCHNIA STOPNIA DRUGIEGO. (PSD)

Powierzchnią stopnia drugiego nazywamy zbiór punktów przestrzeni IR³ której współrzędne spełniają równanie postaci:

a₁₁ x² + a₂₂ y² + a₃₃ z² + 2 a₁₂ xy + 2 a₁₃ xz + 2 a₂₃ yz + 2 a₁₄ x + 2 a₂₄ + 2 a₃₄ z + a₄₄ = 0

Główne równanie PSD:

( |a₁₁| + |a₂₂| + |a₃₃| > 0 )

równanie to może przedstawiać PSD posiadającą środek symetrii, PSD nie posiadająca środka symetrii, powierzchnie zdegenerowane, punkt lub zbiór pusty.

1).1 Do powierzchni zdegenerowanych zalczamy:

-- dwie przecinające się płaszczyzny np.: ( x²/a² - y²/b² ) = 0 Π₁: bx - ay = 0 oraz Π₂: bx + ay = 0

-- dwie płaszczyzny równoległe np.: x² - a² = 0 Π₁: x - a = 0 oraz Π₂: x + a = 0

-- jedną płaszczyznę np.: x² = 0 Π: x = 0

2). Równania PSD określa jeden punkt np.:

( x²/a² + y²/b² + z²/c² ) = 0 określa punkt O (0, 0, 0)

3). Równanie PSD określa zbiór pusty np.:

( x²/a² + y²/b² + z²/c² ) = - 1

PSD ze środkiem symetrii:

SFERA (powierzchnia kulista) - zbiór punktów w przestrzeni |R³ odległych od danego punktu S zwanego środkiem o dany odcinek o długości R zwanym promieniem.

TWIERDZENIE.

Równanie powierzchni kulistej o środku S (a, b, c) i promieniu R jest postaci:

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R² równanie kanoniczne lub środkowe równanie sfery.

Rozważmy równanie postaci:

x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 kiedy jest ono równaniem sfery:

(x - a)² -a² + (y - b)² - b² + (z - c)² - c² +d = 0 ; (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = a² + b² + c² = 0

Niech równanie przedstawia sferę jeżeli:

a² + b² + c² - d > 0

WNIOSKI:

Równanie x² + y² + c² - 2ax - 2by - 2cz + b = 0 przedstawia sferę, jeżeli a² + b² + c² -d > 0 przy czym środek S (a, b, c) a promień

Gdy a² + b² + c² -d = 0 równanie przedstawia jeden punkt.

S (a, b, c) gdy a² + b² + c² -d < 0 to mamy zbiór pusty.

ELIPSOIDA.

Powierzchnia określona równaniem: (x²/a² + y²/b² + z²/c² ) = 1 i każda powierzchnia którą można z niej otrzymać przez izometrię.

Dodatnie liczby 2a, 2b, 2c nazywamy osiami elipsoidy (a, b, c - pół osie elipsoidy)

Gdy dwie osie są równe a = b elipsoidę nazywamy obrotową, gdyż powstaje z obrotu elipsy dookoła jednej osi.

Jeżeli a = b = c to elipsoida jest sferą o promieniu R = a

Przekrój elipsoidy dowolną płaszczyzną jest elipsą.

HIPERBOLOIDA JEDNOPOWŁOKOWA.

Hiperboloidą jednopowłokową nazywamy powierzchnię określoną równaniem: (x²/a² + y²/b² - z²/c² ) = 1 i każdą PSD z nią izometryczną.

Dodatnie liczby 2a i 2b nazywamy osiami rzeczywistymi HJ; 2c - oś urojona

Gdy a = b to nazywamy obrotową (bowiem powstaje z obrotu hiperboli dookoła Oz)

Przekroje HJ: - płaszczyznami ┴ Oz są elipsami, - płaszczyznami ┴ do osi Ox i ┴ do Oy są hiperbolami.

HIPERBOLOIDA DWUPOWŁOKOWA.

HD nazywamy powierzchnię określoną równaniem: (x²/a² + y²/b² - z²/c² ) = -1

0 < 2c - oś rzeczywista HD ; 0 < 2b, 2b - osie urojone HD

Przekroje HD: - płaszczyznami do Oz są elipsami ; - płaszczyznami ┴ do Ox i Oy są hiperbolami

STOŻEK.

Stożkiem nazywamy powierzchnię określoną równaniem: (x²/a² + y²/b² - z²/c² ) = 0

Gdy a = b to stożek nazywamy obrotowym (powstaje z obrotu prostej przecinającej oś Oz dookoła jej osi)

Przekroje S: - płaszczyznami ┴ do Oz są elipsami, - płaszczyznami ┴ do Ox i Oy są hiperbolami, - płaszczyznami przechodzącymi przez Oz są prostymi (tworzącymi stożka) przecinającymi się w punkcie 0.

WALEC ELIPTYCZNY.

Walcem eliptycznym nazywamy powierzchnię określoną równaniem:

(x²/a² + y²/b²) = 1 (a, b > 0)

a, b - półosie WE

gdy a = b to WE jest obrotowy (otrzymujemy przez obrót prostych)

Przekroje WE: - płaszczyznami ┴ do Oz są elipsami, - płaszczyznami ┴ do Ox lub Oy są dwiema prostymi tworzącymi walca.

Każdy punkt osi Oz jest środkiem symetrii WE, każda płaszczyzna ┴ do Oz jest płaszczyzną symetrii WE.

WALEC HIPERBOLICZNY.

WH nazywamy powierzchnią określoną równaniem: (x²/a² - y²/b²) = 1 (a, b > 0)

a, b - pół osie WH

Przekroje WH: - płaszczyznami ┴ do Oz są hiperbolami, - płaszczyznami ┴ do Ox i Oy są dwiema prostymi równoległymi (tworzące WH)

Każdy punkt osi Oz jest punktem symetrii, a każdy płaszczyzna ┴ do Oz jest płaszczyzną symetrii WH.

POWIERZCHNIE DRUGIEGO STOPNIA (nie mające środka symetrii)

PARABOLOIDA ELIPTYCZNA:

PE nazywamy powierzchnię określoną równaniem: (x²/a² + y²/b²) = 2 z (a, b > 0)

Gdy a = b to paraboloidę eliptyczną nazywamy obrotową. Powstaje z obrotu paraboli dookoła własnej osi symetrii.

Przekroje PE: - płaszczyznami ┴ do Oz są elipsami, - płaszczyznami ┴ do Ox, Oy są parabolami.

Punkt O (0, 0, 0) nazywamy wierzchołkiem PE. Płaszczyzny Oxz, Oxy są płaszczyznami symetrii, oś Oz osią symetrii.

PARABOLOIDA HIPERBOLICZNA.

PH nazywamy płaszczyznę określoną równaniem: (x²/a² - y²/b²) = 2 z (a > 0, b > 0)

Liczby a, b nazywamy półosiami PH.

Przekroje PH: - płaszczyznami ┴ do Oz są hiperbole, - płaszczyznami ┴ do Ox, i Oy są parabole.

Płaszczyzny Ox, Oy są płaszczyznami symetrii, oś Oz jest osią symetrii.

WALEC PARABOLICZNY.

WP nazywamy powierzchnię określoną równaniem:

^y2 = 2 px (p ≠ 0)

Płaszczyzny ┴ do Oz są płaszczyznami symetrii WP.

Przekroje WP: - płaszczyznami są parabolami, - płaszczyznami ┴ do Ox są dwoma prostymi równoległymi, - płaszczyznami ┴ do Oy są jedną prostą równoległą do osi Oz

---