Michał Szurek

Komentarz do wyników egzaminu z algebry (29 stycznia 2003).

Do wiadomości: studenci I roku Informatyki

Prowadzący zajęcia

Prof. Dr. Zbigniew Nahorski

Egzamin wypadł katastrofalnie. Przyczyny tego są następujące: uczycie się Państwo matematyki tak, jak aktor roli. Jesteście bezbronni przy najmniejszej zmianie treści, nawet jeśli to upraszcza zadanie. Zwracam uwagę, że na egzaminie wolno było mieć wszystkie własne notatki. Być może liczyli Państwo, że w takim razie po co się uczyć: przepisze się z notatek i spokój. I tak można było zrobić. Wszystkie typy zadań były omawiane na ćwiczeniach i wykładzie. Należało jedynie umieć rozpoznać typ zadania.

Uczenie się matematyki musi przebiegać w trzech fazach: pierwsza to opanowanie pamięciowe definicji i ich zrozumienie, druga to nabycie wprawy w elementarnych zadaniach ich dotyczących. Trzecia to umiejętność łączenia zadań elementarnych w bardziej skomplikowane. W tej klasyfikacji zadanie 1 było z "fazy 2" (elementarne przekształcenia liczb zespolonych"), to samo zadanie 2 i 3. Zadanie 6 należało nawet do "fazy 1" (nic poza definicją). Zadanie 4 to już "faza 3", należało wykazać się nie tylko rozumieniem, ale i złożeniem trzech podstawowych typów zadań elementarnych. Wreszcie zadanie 5 polegało na złożeniu dwóch typów zadań elementarnych, należało je zakwalifikować gdzieś między "fazą 2" a "fazą 3".

W następnym semestrze mamy przedmiot nazywany "wstępem do matematyki". Można powiedzieć, że będziemy na nim Państwa uczyć ogólnej kultury matematycznej. Z doświadczenia wiem, że jest to przedmiot bardzo łatwy dla osób z solidnym przygotowaniem szkolnym i bardzo trudny dla tych z Państwa, dla których matematyka w szkole sprowadzała się do rachunków, które należało jak najszybciej odpisać od kolegi/żanki. Do tego przedmiotu nie ma dobrego podręcznika (istniejące są za trudne), choć wiele można znaleźć w książce Leitnera. Wnioski proszę wyciągnąć samodzielnie. Zapowiadam, że kryteria zaliczenia będą nie tak łagodne, jak w tym semestrze. Z kolei dobre przygotowanie z tego przedmiotu uwolni Państwa od "zmory II roku" - matematyki dyskretnej.

Komentarz dla osób, które być może się dziwią, że kryteria z algebry były "łagodne". A jak inaczej nazwać kryteria, przy których z egzaminu można dostać czwórkę nie potrafiąc rozwiązać dwóch najbardziej podstawowych zadań algebry liniowej: badanie przestrzeni rozwiązań i wyznaczanie macierzy przekształcenia (albo wyznaczanie wartości własnych i rozwiązywanie układu równań) ?

Załączam rozwiązania zadań i/lub komentarze jednego z zestawów egzaminu. Wszystkie zestawy były bardzo podobne.

Zadanie 1 (2 pkt) . Obliczyć moduł i argument liczby zespolonej

8 + 13(1+i)³/(2+3i)

Rozwiązanie. Obliczamy najpierw (1+i)³ = 1 + 3i +3i² + i³ =

= 1 + 3i - 3 ­- i = -2 + 2i . Zatem

8 + 13(1+i)³/(2+3i) = 8 + 13(-2 + 2i)/(2+3i) . Zgodnie z regułami dzielenia liczb zespolonych wartość ułamka obliczamy mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika, tj. 2-3i . Obliczamy

(-2 + 2i)⋅(2-3i) = -4 + 4i + 6i - 6i² = 2 + 10i oraz

(2+3i)(2-3i) = 4 + 9 = 13 . Zatem 8 + 13(1+i)³/(2+3i) = 10 + 10i . Taka liczba ma moduł równy 10⋅√2 , argument 45⁰ .

Komentarz. Jak widać, zadanie wymagało tylko umiejętności dzielenia liczb zespolonych i znajomości pojęcia "moduł" i "argument". Rachunki były bardzo proste. Za braki w temacie "kolejność działań" proszę mieć pretensje do nauczycieli szkoły podstawowej. Na wykładzie powtarzałem kilka razy, że zadanie o liczbach zespolonych będzie stosunkowo wysoko punktowane. Liczby zespolone są przecież bardzo łatwe i ich nieznajomość kompromituje.

Zadanie 2. (1 pkt) Wyznaczyć wymiar przestrzeni rozwiązań układu równań

x + b y + 2 z = 1 ,

x + (2b−1) y + 3z = 1,

x + b y + (b+3) z = 2b − 1

w zależności od wartości parametru b .

Komentarz. W ciągu całego kursu przy każdej okazji powtarzałem, że badanie własności przestrzeni rozwiązań układu równań liniowych jest osią, wokół której kręci się cały wykład. Wielokrotnie przerabiane było zadanie "znaleźć przedstawienie parametryczne przestrzenie rozwiązań". Zapowiedziałem, że to będzie na 100 procent na egzaminie. Zadanie niniejsze jest częścią tego ogólnego - proszę tylko o podanie wymiaru, a nie znalezienie przedstawienia parametrycznego. Sposób rozwiązania: obliczyć rząd macierzy w zależności od parametru b i podstawić do twierdzenia Kroneckera-Cappelli, które między innymi zawiera formułę na ten wymiar. Obliczenie rzędu najwygodniej w tym przypadku przeprowadzić tak, że obliczyć wyznacznik układu, sprawdzić, kiedy jest równy zero i te przypadki przedyskutować oddzielnie. Uważam, że miałbym prawo postawić każdemu "ndst" za nieumiejętność rozwiązania tego tylko zadania. To tak, jak by kierowca nie umiał jechać na wprost.

Zadanie 3 (2 pkt). Wyznaczyć podprzestrzenie własne przekształcenia o macierzy

{{1, 1, -2, 0}, {0, 1, 0, 0} , {0, 0, 2, 0}, {−4, 1, −5, 2}} .

Zaznaczyć właściwą odpowiedź:

1. jest jedna dwuwymiarowa i jedna jednowymiarowa taka podprzestrzeń,

2. jest jedna dwuwymiarowe i dwie jednowymiarowe,

3. są dwie dwuwymiarowe,

4. są trzy jednowymiarowe,

5. są cztery jednowymiarowe,

6. jest jedna czterowymiarowa

7. jest pięć jednowymiarowych.

Rozwiązanie. Stosunkowo najwięcej rachunków. Wyznaczamy wielomian charakterystyczny, czyli wyznacznik

Det {{1- t, 1, -2, 0}, {0, 1-t, 0, 0} , {0, 0, 2-t, 0}, {−4, 1, 5, 2-t}} . Oblicza się on natychmiast (rozwinięcie względem ostatniej kolumny i potem trzeciego wiersza). Otrzymujemy wartości własne 1 oraz 2 . Mamy teraz wyznaczyć wektory własne odpowiadające tym wartościom. Po podstawieniu t = 1 do macierzy charakterystycznej otrzymujemy układ równań na wektory własne odpowiadające wartości własnej 1. Otrzymujemy z niego natychmiast, że y=z=0 a między x , t jest zależność liniowa. Wymiar przestrzeni własnej jest więc 1. Dla wartości własnej 2 mamy macierz charakterystyczną {{-1, 1, -2, 0}, {0, -1, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}, {4, 1, 5, 0}}. Taka macierz mnożona przez szukany wektor własny {x,y,z,t} to

{{-x + y -2z + t , -y, 0, 4x + y + 5z }}. Przyrównanie tego do zera daje -x + y -2z + t = 0 , y = 0 , 4x + y + 5z = 0 . Łatwo widać, że są to trzy niezależne warunki, zatem wartości własnej 2 odpowiada jeden (z dokładnością do proporcjonalności) wektor własny, a więc jest to też jednowymiarowa przestrzeń własna.

Komentarz dla osób, które dziwiły się zapisowi macierzy w postaci wektora wektorów. Czy jesteście pewni, że nie przespaliście zajęć z Excela?

Zadanie 4. (3 pkt). Niech V będzie przestrzenią rozpiętą na wektorach

[0,0,1,0], [2,3,-1,2], [3,2,-4, 3], [1,-1,1,1], [1,2,3,1].

Zaznaczyć właściwe odpowiedzi (są dwie !!)

1. bazą V jest [2,3,0,2], [ 1,-1,0,1], [1,2,2,1]

2. bazą V jest [0, 3, 2, 0], [ -1,1,0,-1], [3,2,-3,3]

3. bazą V jest [1,0,0,0], [0,1,0,0], [0,0,1,0], [0,0,0,1]

4. bazą jest [ 1,0,0,1], [0,0,0,1]

5. bazą jest [ 1,0,0,1], [0,0,0,1], [1,0,0,1]

6. bazą jest [ 0,1,1,0], [0,1, -1, 0]

Komentarz. Zadanie banalne, pokazywane wiele razy na wykładzie. Trzy punkty za to zadanie było dlatego, że należało w nim wykazać się rozumieniem, o co chodzi w pojęciach "baza" , "wymiar" i "generowanie".

Co to jest rząd macierzy? Jest to największa liczba liniowo niezależnych kolumn (wierszy). Co to jest wymiar przestrzeni? Jest to największa liczba liniowo niezależnych wektorów tej przestrzeni. Co z tego wynika? A no, że do wyznaczenia wymiaru przestrzeni V musimy wyliczyć rząd macierzy utworzonej ze współrzędnych wektorów. Nieskomplikowane rachunki pokazują, że rząd jest równy 3. W odpowiedzi mamy podane trzy bazy trójelementowe, więc wystarczy odrzucić jedną z nich. Oczywiście musi to być baza e. Spójrzmy na nią. Na trzeciej współrzędnej w tej bazie jest wszędzie 0. Gdyby więc ona była bazą V, to wszystkie wektory V miały by na trzeciej współrzędnej zero, a tak nie jest. A zatem odpowiedzią jest tylko a), b).

Zadanie 5 (1 pkt) . Wyznaczyć przedstawienie parametryczne prostej będącej częścią wspólną płaszczyzny o równaniu x + 2y + 3z = 0 i płaszczyzny rozpiętej na [1, -1, 0] , [0, 1, -1] .

Zadanie to było kompilacją dwóch, wałkowanych na wykładzie i ćwiczeniach. Można je było rozwiązać na kilka sposobów. Na przykład tak. Płaszczyzna rozpięta na [1, -1, 0] , [0, 1, -1] składa się z punktów (t, u-t,-u), gdzie t, u są parametrami. Kiedy taki punkt spełnia równanie pierwszej płaszczyzny? Wtedy, kiedy t + 2 (u-t) - 3u = 0 , tj. t = -u , a więc szukana prosta składa się z punktów (-u,2u,- u). Jest to prosta o wektorze kierunkowym [-1, 2, -1] , punktem zaczepienia może być oczywiście (0,0,0).

Inny sposób: wyznaczyć równanie drugiej płaszczyzny. Można je zgadnąć, bo widać, że obydwa wektory generujące spełniają warunek x + y + z = 0. Bez zgadywania: założyć, że jest ono postaci Ax+By+Cz = 0 i wyliczyć współczynniki ( z warunku, że podane wektory tam należą). Z układu równań x + 2y + 3z = x + y + z = 0 wyznaczamy łatwo rozwiązanie: jest nim wektor [-1, 2, -1] i wszystkie do niego proporcjonalne.

Zadanie 6 (1 pkt). Napisać macierz obrotu płaszczyzny o kąt +90 stopni w bazie [1, 2], [2, -1].

Wystarczyło wiedzieć, co to jest macierz przekształcenia. Na wykładzie powtarzałem po kilka razy formułkę:

wkolumnachmacierzyprzekształceniastoją współrzędneobrazówwektorówbazy

wkolumnachmacierzyprzekształceniastoją współrzędneobrazówwektorówbazy

wkolumnachmacierzyprzekształceniastoją współrzędneobrazówwektorówbazy

Na co przechodzi pierwszy wektor przy obrocie o 90 stopni? Wystarczy narysować je "na kratkach", żeby zobaczyć, że na [-2, 1]. A ten drugi? Oczywiście na ten pierwszy. Zatem macierzą obrotu w tej bazie jest {{0, -1}, {1,0}}

---