madit


Niebieski oznacza poprawna odpowiedz, czerwony zla, czarny przy niebieskiej tez oznacza zla. Czerwony uzywalem tylko wtedy jesli nie bylo zadnej poprawnej i w wyjatkowych przypadkach.

  1. Ile elementów ma zbiór P(A), jeżeli A={1, {1}, Ø }:
       a) 4
       b) 8
       c) Tyle ile ma zbiór P({1,2,3}) T

    2) Czy następujące wyrażenia są tautologiami rachunku zdań?
       a) p → (p v q)
       b) q → (p → p)
           c) p → (p Λ q) T

    3) Które zdania są tautologiami rachunku zdań:
           a) (p Λ q) → (q v ⌐ p)
       b) (p Λ ⌐ q) → (⌐ p v q)
       c) (p → q) → ⌐ p

    4) Funkcja f : N → N jest określona wzorem f(n)= n + (-1)^{n} . Czy f jest
       a) funkcją różnowartościową? ( nie wiem jak to jest z c ?)
       b) odwzorowaniem zbioru N na zbiór N?
       c) Czy f^{ - 1}({1}) zawiera 1 element? T

    5) Czy suma \sum_{i = 1}^n 2n jest równa
       a) 2n
       b) 2
       c) 2^{n} T

    6) Losowo ustawiano 4 litery a, b, c, d w ciągu.
           a) Prawdopodobieństwo tego, że a i b stoją obok siebie, wynosi 1/3 (na skanach jest ½) - i byłaby to zla odpowiedz tylko w przydadku ½
       b) Prawdopodobieństwo tego, że a i b są rozdzielone jedną literą, wynosi 1/3 T
       c) Prawdopodobieństwo tego, że a i b są rozdzielone dwiema literami, wynosi 1/4

    7) Cyfry 0, 1, 2,....9 losowo ustawiano w ciąg.
       a) Prawdopodobieństwo tego, że otrzymany ciąg jest ciągiem rosnącym, wynosi 1/10
       b) Prawdopodobieństwo tego, że 0 stoi bezpośrednio przed 1, wynosi {9}\over{10!}
       c) Prawdopodobieństwo tego, że 0, 1, 2 stoją obok siebie, jest większe niż {1}\over{10!} T

    8) Rzucono 2     kostkami symetrycznymi.
       a) Prawdopodobieństwo tego, że suma oczek jest liczbą parzystą, jest mniejsze niż 1/2 N
       b) Prawdopodobieństwo tego, że suma oczek na obu kostkach nie przekracza 10, jest mniejsze niż 5/6 N
       c) Prawdopodobieństwo tego, że na pierwszej kostce wypadną dokładnie 3 oczka a na drugiej wypadną więcej niż 2 oczka, jest mniejsze niż 1/10 N

    9) Niech L=(p Λ ⌐ r) Λ (p → r), B=(p → r) Λ (r → p) .
       a) L nie jest tautologią
       b) istnieje wartościowanie takie, że L jest prawdziwe
       c) B jest tautologią

    10) Niech A={2, 4, {8}}, B={0, 1, 2, {2, 4, {8}}}. Czy:
       a) A \cap B = Ø
       b) A \ B = \{4, \{8\}\}
       c) |B|=4

    11) Na ile sposobów można podzielić zbiór 9 elementowy na dwa rozłączne zbiory?
       a) 2^8
       b) 100
       c) 2^9 T

    12) Liczba rozmieszczeń 6 nierozróżnialnych kul w 4 rozróżnialnych urnach jest równa:
       a) {5 \choose 2} gdy urny nie mogą być puste
       b) {9 \choose 3} gdy urny mogą być puste
       c) {6 \choose 4} gdy urny nie mogą być puste

    13) Mamy funkcję f:X→ Y oraz dwa podzbiory: A\subseteq X oraz B\subseteq Y
       a) Zawsze zachodzi: |A|>|f(A)|
       b) Zawsze zachodzi: |f^{-1}(B)|≥q|B|
       c) Zawsze zachodzi: f(f^{-1}(B))=B

    14) Ustal prawdziwość następujących zdań:
       a) Część wspólna dwóch relacji zwrotnych w zbiorze X jest zwrotna w zbiorze X. T
       b) Suma dwóch relacji zwrotnych w zbiorze X jest zwrotna w zbiorze X T
       c) Jeżeli r jest relacją antysymetryczną to jest relacją przeciwzwrotną. T

    15) Relacja MATKA\cdot MATKA^{-1} jest
       a) tą samą relacją co relacja MATKA^{-1} \cdot MATKA
       b) podzbiorem właściwym relacji identyczności
       c) relacją identyczności

    16) Relacja BABCIA \cdot DZIADEK^{-1} jest
       a) relacją niepustą
       b) relacją asymetryczną
       c) relacją zwrotną

    17) Niech f: R → R będzie określona wzorem f(x) = \root{3} \of {x-1} . Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
       a) f nie jest funkcją odwracalną
       b) funkcja g(x) = (x-1)^3 jest funkcją odwrotną funkcji f(x)
       c) funkcja f(x) jest bijekcją

    18) Liczba różnych mieszanek po 10 cukierków, jeśli mamy do dyspozycji 4 rodzaje cukierków w nieograniczonych ilościach jest
       a) 4^{10} T
       b) 10 \choose 4 N
       c) zwrotna N

    19) Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe dla każdego zbioru A, B, C?
       a) A \subseteq B → -A \subseteq -B
       b) A \ C = B \ C → A = B
       c) A \subseteq B → C \ B \subseteq C \ A

    20) Niech X będzie zbiorem n elementowym. Ile elementów ma zbiór {X, Ø , {X, Ø }}:
       a) 3
       b) 2n
       c) 2

    21) Dana jest formuła F = (Ε x)(A y)(Ε z)[z>y ↔ z=x+1] . Które z następujących formuł są zaprzeczeniem formuły F:
       a) (A x)(Ε y)(A z)[z>y Λ z=x+1]
       b) (A x)(Ε y)(A z)[z>y Λ z \neq x+1]
       c) (Ε x)(A y)(Ε z)[z=x+1 ↔ z>y]

    22) Niech A = {1, 2, 3, 4, 5}. Niech S będzie zbiorem wszystkich podzbiorów A. Definiujemy w S relację r następująco: X r Y wttw., gdy X \cap {1} = Y \cap {1}. Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
       a) r jest relacją przeciwzwrotną
       b) r jest relacją symetryczną
       c) r jest relacją spójną

    23) Zbadamy ciągi bitów zerojedynkowych o długości 10. Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
       a) Ciągów zawierających tyle samo jedynek co zer jest 2^{5 }
       b) Ciągów niemalejących jest 11 T
       c) Ciągów zaczynających się od bitów 10011 jest 2^{5 } T

    24) Rzucono dwiema kostkami symetrycznymi.
       a) Prawdopodobieństwo tego, że szóstka nie wypada jednocześnie na obu kostkach wynosi 25/36
       b) Prawdopodobieństwo tego, że na pierwszej kostce wypada więcej oczek niż na drugiej jest równe 15/36 T
       c) Prawdopodobieństwo tego, że suma oczek na obu kostkach jest większa niż 4, wynosi 2/3

    25) W urnie są 4 białe i 3 czerwone kule. Losowo wybrano 3 kule
       a) Prawdopodobieństwo tego, że kule są tego samego koloru, jest większe niż 1/100 T
       b) Prawdopodobieństwo tego, że wśród wylosowanych są 2 kule białe i 1 kula czerwona, jest większe niż 1/100 T
       c) Prawdopodobieństwo tego, że wśród wylosowanych liczba czerwonych kul jest większa niż liczba białych, jest mniejsze niż 1/100 T

    26) Niech L=(p v r) → (p → r), B=(p v (r → p)) v r .
       a) L nie jest tautologią
       b) ⌐ B= (⌐ p Λ (r Λ ⌐ p)) Λ ⌐ r
       c) L → B jest tautologią

    27) Ile klas abstrakcji ma relacja r = \{(x,y) ε R \times R: x^2 = y ^2\}
       a) 2
       b) \aleph _{0}
       c) c

    28) Ciąg {a_{n}} jest określony następująco: a_{0}= 0, a_{1}=4, a_{n+2} = 4a_{n} . Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
       a) a_n jest wielokrotnością 8.
       b) a_n = 4^n
           c) a_n = 2^n - (-2)^n

    29) Które z następujących wyrażeń są tautologiami?
       a) p → (q → p)
       b) (\neg p → p) → p
       c) p → (\neg p v q)

    30) Ile jest różnych liczb 5-cyfrowych utworzonych z cyfr \{1,2, \dots ,9\} , jeżeli cyfry w liczbie mogą się powtarzać i dodatkowo pierwsza cyfra jest zawsze nieparzysta?
       a) 9!\over{4!}
       b) 5\cdot9^4
       c    ) 9^5\over{2}

    31) Niech X=\{0,1,2\} i Y=\{0,2\} .     Zbiór X \times Y \cap Y \times X ma:
       a) 6 elementów.
           b) 5 elementów.
       c) 4 elementy.

    32) Relacja BRAT\cdot BRAT^{-1} jest
       a) zwrotna
       b) symetryczna
       c) antysymetryczna

    33) Które z następujących wyrażeń są tautologiami rachunku predykatów:
       a) ((Ε x)a(x)) ↔ ((A x)a(x))
       b) ((Ε x)(a(x) Λ b(x))) ↔ ((Ε x)(a(x) v b(x)))
       c) ((A x)(a(x) v b(x))) ↔ ((A x)(a(x) Λ b(x)))

    34) Niech r \subseteq R \times R. Czy następujące relacje są funkcjami
       a) x\ r\ y wttw., gdy x^{2} = y +1
       b) x\ r\ y wttw., gdy x^{2} < y^{2}
       c) x\ r\ y wttw., gdy x+y = 3

    35) Ustal prawdziwość następujących zdań:
       a) Jeśli r jest relacją symetryczną i przechodnią, to r jest zwrotna
       b) Przecięcie dwóch relacji zwrotnych jest relacją zwrotną
       c) Suma relacji przeciwsymetrycznej i symetrycznej jest relacją symetryczną

    36) W urnie są 4 białe i 3 czerwone kule. Wyciągano z urny 2 razy po jednej kuli ze zwracaniem
       a) Prawdopodobieństwo tego, że kule są różnego koloru, jest mniejsze niż 1/2
       b) Prawdopodobieństwo tego, że pierwsza wylosowana kula jest biała, wynosi 4/7
       c) Prawdopodobieństwo tego, że kule są jednakowego koloru, jest mniejsze niż 1/2

    37) Rzucono 4 razy symetryczną monetą.
       a) Prawdopodobieństwo tego, że orzeł nie wypada ani razu, jest mniejsze niż 1/10
       b) Prawdopodobieństwo tego, że orzeł wypada dokładnie 3 razy, jest większe niż 1/5
       c) Prawdopodobieństwo tego, że orzeł wypada częściej niż reszka, jest większe niż 1/3

    38) Ile jest ciągów długości n>2 o elementach ze zbioru {1, 2, 3} jeśli wiemy, że dwa pierwsze elementy są różne?
       a) 2!\cdot3^{n-2}
       b) 6\cdot3^{n-2}
       c) 2\cdot{3 \choose 2}\cdot3^{n-2}

    39) Czy relacja r = \{(x,y) ε R \times R: x = y\}
       a) jest relacją częściowego porządku?
       b) jest relacją równoważności?
       c) ma \aleph _{0} klas abstrakcji?

    40) Dany jest zbiór A = \{ \{N\}, R, Ø \} , gdzie R (odp. N) jest zbiorem liczb rzeczywistych (odp. naturalnych). Ustal prawdziwość następujących zdań:
       a) \{Ø\} \subseteq A
       b) \{N\} ε A
       c) R ε A

    41) Czy suma 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + (k-1) \cdot k jest równa
       a) k^3
       b) {(k-1)k(k+1)}\over{3}
       c) {(k-1)k}\over{2}

    42) Niech r \subseteq N \times Z . Czy r jest funkcją, jeśli wiadomo że
       a) (x,y)ε r wtedy i tylko wtedy gdy x =2 \cdot y - 1
       b) (x,y)ε r wtedy i tylko wtedy gdy x =|y^2 - 1|
       c) (x,y)ε r wtedy i tylko wtedy gdy x = y \cdot |y|

    43) Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
       a) Każda relacja, jeśli nie jest zwrotna to jest przeciwzwrotna?
       b) Każda relacja, jeśli nie jest symetryczna to jest antysymetryczna
       c) Każda relacja, jeśli jest przeciwzwrotna to nie jest zwrotna

    44) Niech A = {a, b, c}. Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe ?
           a) {b, c} ε P(A) T
       b) {a} \subseteq P(A) (na skanie jest {{a}})
       c) {a} ε P(A)

    45) Czy następujące relacje są funkcjami:
       a) r = {(2,3),(4,2),(3,4),(2,5),(6,8)}
           b) r = {(1,3),(2,4),(3,6),(4,6)} T
       c) r = {(1,1),(2,2),(3,3)} T

    46) Niech A = {1, 2, 3, 4, 5}. Niech S będzie zbiorem wszystkich podzbiorów A. Definiujemy na S relację r następująco: X r Y wttw.,gdy X \cap {1,2,5} = Y \cap {1,2,5}. Czy wynika z tego, że
       a) r jest relacją zwrotną
       b) r jest relacją antysymetryczną
           c) r jest relacją przechodnią (w skanach jest {1,2,3} nie wiem czy to cos zmienia

    47) Załóżmy, że mamy dziesięć książek, wśród nich pięć powieści, trzy matematyczne, dwie historyczne. Uznając za równoważne książki danego typu,dziesięć książek w jednym rzędzie można ułożyć na tyle sposobów
       a) {{10!}\over{5!3!2!}}
       b) C_{10}^5 .C_5^3 .C_2^2
       c) 10!

    48) W urnie są 2 białe kule, 3 czerwone i 2 niebieskie. Losowo wybrano 2 kule
       a) Prawdopodobieństwo tego, że kule są jednakowego koloru, jest mniejsze niż 1/500
       b) Prawdopodobieństwo tego, że kule są różnego koloru, jest większe niż 1/150 T
       c) Prawdopodobieństwo tego, że wśród wylosowanych nie ma białych, jest mniejsze niż 1/200

    49) Niech X = {1,2,3}, Y = {4,5}.
       a) Liczba funkcji ze zbioru X w zbiór Y wynosi 8
       b) Liczba funkcji różnowartościowych ze zbioru Y w zbioru X wynosi 6
       c) Liczba permutacji zbioru X \cap Y wynosi 5

    50) Niech L=((p → q) → r) v (p Λ ⌐ r) .
       a) L nie jest tautologią
       b) dla p=1, r=0, q=1 L jest prawdziwe
       c) dla p=0, r=1, q=0 L jest fałszywe

    51) Niech X=(A \ (A \cap B)) \cap C, Y=(B \oplus C) \cap A . Czy zawsze zachodzi:
       a) X=Y
       b) X \subseteq Y
       c) X \cap Y \subseteq A

    52) Dane są dwie relacje równoważnoości r_1,r_2 . Relacją równoważności jest również relacja
       a) r_1 ∩ r_2
       b) r_1 \cap r_2
       c) r_1 \cdot r_2

    53) Ciąg {a_{n}} jest określony następująco: a_{0}= 2, a_{n+1} = 3a_{n} - 2 . Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
       a) Ε n ε N: a_n < n+1
       b) a_n = 3^n + 1
       c) a_n jest liczbą parzystą.

    54) Ustal prawdziwość następujących zdań dla dowolnych zbiorów A, B, C:
       a) A - B = \overline{\overline A ∩ B}
       b) A ∩ B = (A \cap B) ∩ B
           c) A - B = A - (A \cap B)

pozwole sobie dopisac jeszcze jeden przypadek ze skanow

d)(A∩ B) \cap(A - B) = A również poprawny

55) Jeśli a,b są ze sobą w relacji BRAT\cdot BRAT , to wynika z tego że
   a) a=b
   b) a i b są tej samej płci
   c) b nie ma brata

56) Niech X będzie zbiorem n-elementowym. Ile elementów ma zbiór P(X) \cap\{Ø\} :
   a) 3
   b) n
   c) 1 ( na skanach sa inne odpowiedzi, ale c sie powtarza)

57) Niech z będzie zdaniem: A _{x ε R} A _{y ε R} [(x < y) → (x^{2} < y^{2})] . Czy zaprzeczeniem z jest
   a) Ε _{x ε R} Ε _{y ε R} [(x ≥ y) Λ (x^{2} > y^{2})]
   b) Ε _{x ε R} Ε _{y ε R} [(x ≥ y) Λ (x^{2} < y^{2})]
   c) Ε _{x ε R} Ε _{y ε R }[(x ≥ y) Λ (x^{2} ≤ y^{2})]

58) Niech a(x) = "x < 1", b(x) = "x2>2" będą funkcjami zdaniowymi, których zakresem zmienności jest zbiór liczb rzeczywistych R. Które z następujących formuł są prawdziwe w R:
   a) ((Ε x)a(x) Λ (Ε x)b(x))
   b) (Ε x)(a(x) Λ b(x))
   c) (A x)(a(x) ↔ b(x))

59) Niech r \subseteq R \times R. Czy następujące relacje są funkcjami ?
   a) x r y wttw., gdy x < y + 1
   b) x r y wttw., gdy x = y + 1
   c) x r y wttw., gdy x^{2} = y^{2}

60) Dana jest relacja r określona na zbiorze R: x\ r\ y ↔ |x+y| = 1 . Wynika z tego, że
   a) r jest zwrotna, antysymetryczna i nie jest przechodnia
   b) r jest symetryczna, nie jest przechodnia i nie jest przeciwzwrotna
   c) r jest symetryczna i nie jest zwrotna

61) Niech A = {0,1,2,3,4,5}. Relacja r \subseteq A\times A jest określona następująco: x r y wttw, gdy xy\ mod\ 5 = 1 . Czy następujące zdania są prawdziwe?
   a) r jest zwrotna
   b) r jest symetryczna
   c) r jest spójna

62) Ile jest ciągów 0, 1 długości n>2, jeżeli wiemy, że na pierwszej i ostatniej pozycji jest 0?
   a) 2^{n-1} - 2^{n-2}
   b) 2^n-2
   c) n^2 - {n \choose 2}

63) Liczba rozmieszczeń 5 rozróżnialnych kul w 3 rozróżnialnych urnach jest równa:
   a) {5 \choose 3}
   b) 15
   c) 243

64) Niech f będzie funkcją odwzorującą zbiór R liczb rzeczywistych w R, f(x) = x^2 - 5x + 6 . Ustal prawdziwość następujących zdań:
   a) f jest różnowartościowa ("1-1")
   b) f(\{2,4\}) = \{0,3\}
   c) f(\{2,4\}) \subseteq f([2,4])

65) Niech A, B, C będą dowolnymi zbiorami. Czy następujące stwierdzenia sa prawdziwe?
   a) (A \cap B = A \cap C) → (B = C)
   b) (A \ B = A \ C) \leftarrow (B = C)
   c) (A \oplus B = A \oplus C) → (B = C)

66) Niech A = \{1, 2, 3,...,10\} . Relację r \subseteq A \times A określamy wzorem: (x,y)ε r wtedy i tylko wtedy gdy x\ y . Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
   a) Relacja r jest częsciowym porządkiem
   b) 2 jest najmniejszym elementem w zbiorze A
   c) 10 jest największym elementem zbioru A

67) Rozważamy słowa nad alfabetem {a, b, c}. Liczba słów o długości 10, w których a występuje co najmniej raz, jest równa
   a) 3^{10}
   b) 3^{10} - 10
   c) 3^{10} - 2^{10} T

68) Niech P(n, m) oznacza własność "n jest dzielnikiem m". Czy następujące zdania są prawdziwe?
   a) Ε _{n ε N} A _{m ε N} P(n, m) ( nie wiem czy to nie bedzie poprawne)
   b) A _{n ε N} Ε _{m ε N} P(n, m) T
   c) Ε _{n ε N} Ε _{m ε N} P(n, m) T

69) Niech f będzie funkcją odwzorowującą zbiór liczb rzeczywistych R w R , f(x) = x^2 -x -2 . Czy:
   a) f^{-1}(\{0\}) = \{0\}
   b) f nie jest "1-1" i nie jest "na"
   c) f((-1,2))\subseteq f([-1,2])

70) Załóżmy, ze mamy dziesięć książek, wśród nich cztery powieści, trzy matematyczne i trzy historyczne. Liczba sposobów ułożenia dziesięciu książek w jednym rzędzie tak, że powieści są na początku, następnie książki matematyczne a na końcu książki historyczne jest równa
   a) C_{10}^4 + C_6^3 + C_3^3
   b) 3!.3!.4! T
   c) 4! + 2.3!

71) Czy dla dowolnych skończonych zbiorów A, B, C zachodzi:
   a) |A ∩ B ∩ C| = |A ∩ B| + |C| - |(A ∩ B) \cap C|
   b) |A| + |B| + |C| >= |A ∩ B ∩ C|
   c) |A| + |B| + |C| > |A \cap B \cap C|

72) Na ile sposobów możemy wybrać z n-osobowej grupy k-osobową wycieczkę i z pozostałych osób przewodnika?
   a) k\cdot{n \choose k}
   b) n\cdot{n-1 \choose k}
   c) n\cdot k!

73) Niech g(x)=x^2,\ \ \ \ f(x)=5x-1 . Czy jest prawdą, że:
   a) (g \cdot f)(x)=(f \cdot g)(x)
   b) (f \cdot g)(2)=15
   c) (g \cdot f)(7)=4

74) Które z następujących relacji są relacjami równoważności?
   a) r = \{ (x,y) ε R \times R: x + y = 2\}
   b) r = \{ (x,y) ε R \times R: 2x - 2y = 2\}
   c) r = \{ (x,y) ε R \times R: 4 | x^2 - y^2 \}

75) Ustal prawdziwość następujących zdań, jeśli wiadomo że n 1
   a) \sum_{i=1}^{n} 1/[i(i+1)] = n/(n+1) .
   b) \sum_{i=1}^n 1/[i(i+1)] > 2 .
   c) \sum_{i=1}^n 1/[i(i+1)] < 1 .

76) Niech A = \{1, 2^2, 2^3,...,2^{10}\} ∩ \{3\} . Relację r \subset A \times A określamy wzorem: (x,y)ε r wtedy i tylko wtedy gdy x\ y . Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
   a) Relacja r jest częściowym porządkiem
   b) Relacja r jest liniowym porządkiem
   c) 3 jest maksymalnym elementem w zbiorze A

77) Czy dla dowolnych zbiorów A, B i C:
   a) (-A) ∩ (-B) = -(A \cap B)
   b) (A \ B) \subseteq (A \cap B)
   c) (A\cap B)\cap(A\ B)=Ø

78) Niech z będzie zdaniem: A _{x ε R} Ε _{y ε R} [(x^{2} ≥ y^{2}) → (x ≥ y)] . Czy zaprzeczeniem z jest
   a) Ε _{x ε R} A _{y ε R} [(x^{2} ≥ y^{2}) Λ (x < y)] T
   b) Ε _{x ε R} A _{y ε R} [(x^{2} ≥ y^{2}) Λ (x ≤ y)]
   c) Ε _{x ε R} A _{y ε R }[(x^{2} < y^{2}) → (x < y)]

79) Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe
   a) Każda funkcja różnowartościowa f: N → N jest funkcją "na" T
   b) Każda funkcja różnowartościowa f: {1,2,3,4,5} → {1,2,3,4,5} jest funkcją "na" T
   c) Każda funkcja przekształcająca zbiór {1,2,3,4,5} na zbiór {1,2,3,4,5} jest funkcją różnowartościową ( hmmmmm tu tez nie wiem jak to jest)

80) Niech A = {1,2,3,4,5}. Niech S będzie zbiorem wszystkich podzbiorów A. Definiujemy w S relację równoważności r: X r Y wttw., gdy X\cap\{2,4,5\} = Y \cap \{2,4,5\} Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
   a) Klasa abstrakcji [Ø ]_{r} zawiera 1 element
   b) Klasa abstrakcji [A]_{r} zawiera 4 elementy
   c) Klasa abstrakcji [{1,2}] zawiera 2 elementy

81) Niech X \subset Y oraz a ε X i b \notin Y . Które z następujących zdań na pewno jest prawdziwe ?
   a) b \notin X
   b) Ø \subset Y \ X
   c) a \notin Y

82) Relacja r \subset R \times R jest określona w następujący sposób: (x,y)ε r wtedy i tylko wtedy gdy |x| = |y| . Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
   a) Relacja r jest relacją równoważności
   b) Relacja r jest relacją częściowego porządku
   c) Relacja r jest relacją liniowego porządku

83) Która z następujących liczb jest ograniczeniem górnym lub dolnym zbioru X=\{n ε N^+: 3+(-1)^nn^{-1}\}
   a) 2
   b) 3
   c) \pi

84) Które relacje są relacjami równoważności:
   a) r = {(x,y) ε N \times N: x2 = y}
   b) r = {(x,y) ε R \times R: max(x,y) = 1}
   c) r = {(x,y) ε N \times N: x1/2 = y1/2}

85) Czy suma (1+2+...+n) jest
   a) O(n) N
   b) O(n.log_{2}{n}) N
   c) O(n^{2}) N

86) Rzucono 5 razy symetryczną monetą.
   a) Prawdopodobieństwo tego, że orzeł wypada dokładnie raz, jest mniejsze niż 1/6 T
   b) Prawdopodobieństwo tego, że orzeł wypada co najmniej 2 razy, jest większe niż 3/4 T
   c) Prawdopodobieństwo tego, że orzeł wypada (dokładnie) 2 razy z rzędu, jest większe niż 1/10 T (chybaaa)

87) Dane są dwa zbiory: A={8, 8, {8}}, B={8, {{8}}}. Czy jest prawdą, że:
   a) |A|=|B|+1
   b) A ε B
   c) B \ A = Ø

88) Czy dla dowolnych skończonych zbiorów A, B zachodzi:
   a) |A| + |B| >= |A ∩ B|
   b) |A| + |B| = |A ∩ B| + |(A ∩ B) \ (A \oplus B)|
   c) |A| + |B| = |A ∩ B|

89) Ile jest permutacji zbioru cyfr \{1,2, \dots ,9\} , w których cyfry 2, 3, 5 oraz 7 jednocześnie (wszystkie cztery na raz) nie sąsiadują ze sobą?
   a) 9!\cdot4!
   b) 9!-6!\cdot4!
   c) 9!-6!

90) Ile jest różnych liczb 3-cyfrowych utworzonych z cyfr \{1,2, \dots ,7\} , jeżeli żadna cyfra nie powtarza się w liczbie?
   a) 7!\over{3!}
   b) 3!\cdot4!
   c) 7!\over{4!}

91) Niech A= {1, 2, 3, 4, 5}. Niech S będzie zbiorem wszystkich podzbiorów A. Definiujemy na S relację r następująco: X r Y wttw., gdy X ∩ \{1\} = Y ∩ \{1\} . Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
   a) r jest relacją zwrotną T
   b) r jest relacją antysymetryczną
   c) r jest relacją przechodnią T

92) Czy suma \sum_{i = 0}^n {2^i} jest równa
   a) 2^{n + 1}-1
   b) 2^{n + 1 }
   c) 2^{n + 1}+1 T

93) Na ile sposobów z n-pracowników można wybrać k-osobową delegację?
   a) {n-k \choose n}
   b) {n \choose n-k}
   c) {{n!}\over{(n-k)!}}
( poprawne w skanach {n\choose k} )
94) NIech A=\{Ø,1,\{Ø\}\} .
   a) Øε A
   b) Ø\subseteq A
   c) \{1,Ø\} ε A

95) Niech relacja r \subseteq N \times N będzie określona wzorem (x,y)ε r wtedy i tylko wtedy gdy gdy 3|(x^2 - y^2)
   a) Relacja r jest relacją równoważności
   b) Relacja r ma 3 klasy równoważności
   c) Relacja r ma 2 klasy równoważności

96) Niech A = {1, 2, 3, 4, 5}. Niech S będzie zbiorem wszystkich podzbiorów A. Definiujemy w S relację r : X r Y wttw., gdy X \cap Y = {1,2,3}. Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
   a) r jest relacją zwrotną
   b) r jest relacją antysymetryczną
   c) r jest relacją przechodnią

97) Rzucono symetryczną monetą.
   a) Prawdopodobieństwo tego, że orzeł wypada za pierwszym razem, wynosi 1/3 N
   b) Prawdopodobieństwo tego, że orzeł wypada co najmniej po trzech rzutach,wynosi 1/4 N
   c) Prawdopodobieństwo tego, że orzeł wypada w pierwszym i w trzecim rzucie,wynosi 1/8 N

98) Dane są dwa zbiory A i B . Niech X=(A \ B) i Y=(-B \cap A) . Czy zawsze zachodzi:
   a) X=Y
   b) X ε Y
   c) Y \subseteq X

99) Ustal prawdziwość następujących zdań, jeśli p jest zdaniem fałszywym:
   a) (p v q) ↔ q T
   b) (p Λ q) ↔ p T
   c) (p Λ \neg q) ↔ \neg p

100) Ciąg a_{n} jest określony następująco: a_{0}=2 , a_{1}=3 , a_{n+1}=3a_{n} - 2a_{n-1} . Czy dla każdego n następujące stwierdzenia są prawdziwe:
   a) 3 | a_{n} N
   b) a_{n} = 2^n + 1 N
   c) a_{n} < n N

101) Jeżeli a,b są ze sobą w relacji BRAT\cdot BRAT^{-1} , to wynika z tego, że
   a) a\neq b
   b) b nie jest płci męskiej
   c) a jest płci męskiej

102) Niech X=\{1,2,3\} i Y=\{3,4,5\} . Które z następujących zdań jest prawdziwe ?
   a) \{2,4\} ε X \times X
   b) \{4,2\} ε X \times Y
   c) \{3,2,1\} ε Y \times X \times Y

103) Funkcja f:N_+ → R, f(n)=\sum_{i=1}^{n} 2^{-i} jest:
   a) rosnąca
   b) malejąca T
   c) różnowartościowa T

104) Dana jest formuła A = a ↔ (b ↔ c) . Które z następujących formuł są równoważne z formułą A:
   a) (a Λ b) ↔ c
   b) b ↔ (a ↔ c) ( nie jestem pewien tych odpowiedzi)
   c) (a ↔ b) ↔ c

105) Dany jest zbiór \{Ø,\{Ø\}, \{Ø,\{Ø\}\}\} .
   a) Øε A
   b) Ø\subseteq A
   c) Øε 2^A

106) Dane są dwa zbiory A, B. A ma 5 elementów. B ma 6 elementów. A \cap B ma 2 elementy. Ile elementów ma zbiór A ∩ B ?
   a) 11
   b) 9
   c) 6

107) Niech A=\{a,b,c\} oraz B= Ø . Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
   a) A \times B = B \times A
   b) |(A \times B)| = |(B \times A)|
   c) |(A \times B)| = |(A)| \cdot |(B)|

108) Niech A = {1, 2, 3, 4, 5}. Niech S będzie zbiorem wszystkich podzbiorów A. Definiujemy w S relację równoważności r: X r Y wttw., gdy X ∩ {1,2} = Y ∩ {1,2}. Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
   a) Klasa abstrakcji [Ø ]_{r} zawiera 4 elementy
   b) Klasa abstrakcji [A]_{r} zawiera 5 elementów
   c) Klasa abstrakcji [{3}]_{r} zawiera 2 elementy

109) Liczba funkcji różnowartościowych ze zbioru {1,2,3,4} w {1,2,3,4,5,6} jest równa
   a) 10.6^{2 }
   b) 6!
   c) 6^{4 } T

110) Na ile sposobów można z 6 kolejnych liczb (0..5) wybrać ciąg 5-elementowy jeśli wiemy, że elementy nie powtarzają się i na pierwszej pozycji jest liczba podzielna przez 3?
   a) 5! ( poprawna JEŚLI NIE BIEZEMY POD UWAGE 0/3) w skanach mamy ciag 4 elementowy i wtedy bedzie na pewno odp a)

wiec sadze ze tu uznajmy to za bledna odpowiedz, jesli byla poprawna w skanach z ciagiem 4 elementowym
   b) 6^4
   c) 4^6-4 ( i te pozostale tez zle)

111) Ustal prawdziwość następujących zdań, jeśli p jest zdaniem prawdziwym:
   a) (p Λ q) ↔ q
   b) (p v q) ↔ p
   c) (\neg p Λ q) ↔ p

112) Niech A \subset S będzie dowolnym zbiorem a \chi_{A} będzie funkcją charakterystyczną zbioru A . Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
   a) \chi_A przyjmuje dowolną wartość naturalną k taką, że k<|A|
   b) \chi_{A} przyjmuje wartości ze zbioru {-1,0,1}
   c) A jest dziedziną funkcji \chi_{A}

113) Niech X = {a,b,c}.
   a) Liczba różnych relacji binarnych w zbiorze X wynosi 28 T
   b) Liczba różnych relacji zwrotnych w zbiorze X wynosi 26 T
   c) Liczba różnych relacji symetrycznych w zbiorze X wynosi 26 T (w skanach a) jest 2³, wtedy odpowiedz niepoprawna)

114) Dane są dwie funkcje f, g: R → R określone następująco: f(x) = x^2 , g(x) = x+1 . Ustal prawdziwość następujących zdań:
   a) f jest "na".
   b) g jest bijekcją.
   c) f \circ g (x) = x^2 -1

115) Niech r \subseteq R \times R . Czy r jest funkcją, jeśli wiadomo że
   a) (x,y)ε r wtedy i tylko wtedy gdy x < y + 1
   b) (x,y)ε r wtedy i tylko wtedy gdy x^2 + y^2 = 1
   c) (x,y)ε r wtedy i tylko wtedy gdy |x| = |y|

116) Ciąg {a_{n}} jest określony następująco: a_{1}= 1, a_n = 2a_{n - 1} + 1 . Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
   a) a_n = 2^n + 1
   b) A n > 0: a_n < n T (chybaaaa)
   c) a _n = 2^{n} -1 T

117) Relacja OJCIEC \cdot BRAT \cdot OJCIEC^{-1}
   a) jest symetryczna
   b) jest zwrotna
   c) nie zachodzi między ludźmi tej samej płci

118) Niech A, B, C będą dowolnymi zbiorami. Czy następujace stwierdzenia sa prawdziwe?
   a) (A \ B) \ C = A \ (B \ C)
   b) (A \ B) \ C \subseteq A \ (B \ C)
   c) (A \ B) \subseteq A \ (B \ C)

119) Jaka jest wartość wyrażenia (B \oplus A) \oplus A dla dowolnych zbiorów A, B:
   a) A
   b) B
   c) Ø

120) Czy następujące zdania są prawdziwe?
   a) A _{x ε R} A _{y ε R} [(x^{2} ≥ y^{2}) → (x ≥ y)]
   b) A _{x ε R} Ε _{y ε R }[(x^{2} < y^{2}) → (x < y)] T
   c) Ε _{x ε R} A _{y ε R }[(x < y) → (x^{2} < y^{2})]

121) Rozważmy zbiór A=\{3,6,9,12,18\} , będący podzbiorem zbioru N uporządkowanego przez relację: x r y ↔ y jest dzielnikiem x.
   a) 3 jest elementem największym w A T
   b) 18 jest kresem dolnym zbioru A
   c) Elementy minimalne zbioru A to 12, 18

122) Ile elementów ma zbiór A = \{ \{N\}, R, Ø \} , gdzie R (odp. N) jest zbiorem liczb rzeczywistych (odp. naturalnych)?
   a) 0
   b) 3
   c) c (chyba zle)

123) Ciąg {s_{n}} jest określony następująco: s_{1}= 1, s_n = s_{n - 1} + 2\sqrt {s_{n - 1} } + 1 . Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
   a) Trzeci wyraz jest liczbą parzystą
   b) Wszystkie wyrazy są liczbami całkowitymi
   c) Dla każdego n, s_{n} jest kwadratem pewnej liczby całkowitej

124) Niech funkcja f: N → N będzie określona wzorem f(n) = \lfloor{n \over {2}}+1\rfloor . Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
   a) Funkcja f(x) nie jest różnowartościowa
   b) Funkcja f(x) jest funkcją przekształcającą N na N
   c) Funkcja f(x) jest funkcją niemalejącą

125) Niech r \subseteq N \times N będzie relacją zdefiniowaną następująco: x r y ↔ x + y jest liczbą parzystą. Czy:
   a) r jest relacją porządku
   b) r jest relacją spójną
   c) r jest relacją symetryczną

126) Niech L=(q v p) → ⌐ p, B=(p Λ q) → p . Tautologią jest:
   a) L Λ B
   b) L → B
   c) B v L

127) NIech A=\{Ø,1,\{1\}\} .
   a) Ø ε A
   b) Ø ε P(A)
   c) Ø \subseteq A

128) Składanie niepustych relacji binarnych
   a) przemienne T
   b) dokładne T
   c) nie jest rozdzielne względem sumy T

129) Liczba liczb naturalnych nie przekraczających 100, które są podzielne przez 4 lub 6 jest równa
   a) 41 T
   b) 33
   c) 37

130) Załóżmy, że mamy dziesięć książek, wśród nich pięć powieści, trzy matematyczne i dwie historyczne. Wybieramy siedem książek, wśród nich trzy powieści, dwie matematyczne i dwie historyczne. Liczba sposobów wybierania jest równa
   a) C_5^3 + C_3^2 + C_2^2
   b) 3! + 2! + 2!
   c) C_5^3 .C_3^2 .C_2^2

131) Liczba rozmieszczeń 8 kul w 4 urnach wynosi:
   a) {11 \choose 3} gdy urny są rozróżnialne, a kule nie
   b) {7 \choose 3} gdy urny są rozróżnialne, a kule nie i urny nie mogą być puste
   c) 8^4 gdy kule i urny są rozróżnialne

132) Niech A = {a, b, c}. Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
   a) {a, c} ε A
   b) (a, b) ε A \times A
   c) {a, c} \subseteq A \times A

133) Rozważmy ciągi bitów zerojedynkowych o długości 10. Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
   a) Ciągów, które zawierają co najmniej 3 zera jest 2^{7 }
   b) Ciągów, które zawierają dokładnie 4 zera jest 210
   c) Liczba wszystkich takich ciągów jest równa 2^{10 } T

134) Niech f(x)=x^2 .
   a) f jest różnowartościowa, gdy f: R → R
   b) f jest bijekcją, gdy f: R_+ ∩ {0} → R_+ ∩ {0}
   c) f jest bijekcją, gdy f: R_+ ∩ {0} → R_+

135) Dla dowolnych ziorów A,B,C zachodzi
   a) (A\oplus B)\oplus B = A
   b) (A\oplus B)\oplus C=A\oplus(B\oplus C)
   c) (A\oplus B)\oplus C=(A\oplus C)\oplus B

136) Relacja r \subseteq R \times R: (x,y)ε r ↔ x^2 \neq y^2 jest:
   a) przeciwzwrotna.
   b) relacją częściowego porządku.
   c) przechodnia

137) Liczba wszystkich funkcji f: {1,2,3,4,5} → {0, 1} jest równa
   a) 5^{2 }
   b) 2^{5 }
   c) 2^{5 }- 2

138) Niech X będzie zbiorem 1 elementowym. Ile elementów ma zbiór P(X) \cap X ?
   a) 1, jeżeli X=\{Ø\}
   b) 0, jeżeli X \ne \{Ø\}
   c) 2

139) Liczba funkcji przekształcających zbiór {1,2,3,4,5} na zbiór {0, 1} jest równa
   a) 2^{5 } T
   b) 5^{2 }
   c) 10

140) Która z poniższych relacji poprawnie definiuje relację bycia dziadkiem ze strony matki?
   a) OJCIEC \cdot MATKA
   b) RODZIC^2
   c) MATKA \cdot OJCIEC

141) Niech A, B, C, D będą zbiorami nieskończonymi, oraz X = {A,B,C,D}.
   a) Zbiór X jest nieskończony T
   b) Zbiór P(X) ma 4^4 elementów
   c) Zbiór {P(X),X,A,B,C,D} jest nieskończony T

142) Niech A = {1,2,3,4,5}. Niech S będzie zbiorem wszystkich podzbiorów A. Definiujemy w zbiorze S relację r następująco: X r Y wttw., gdy X \cap {1,2,5} = Y \cap {1,2,5}. Wynika z tego, że
   a) r jest relacją przeciwzwrotną
   b) r jest relacją symetryczną
   c) r jest relacją spójną

143) |A|=|A \cap B| gdy:
   a) B= Ø , A= Ø
   b) A= Ø , B dowolny
   c) B= Ø , A = \{ Ø\}

144) Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem i f: X → X . Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
   a) Jeśli f jest funkcją różnowartościową to f jest funkcją "na" T
   b) Jeśli f jest funkcją "na" to f jest funkcją różnowartościową
   c) Stwierdzenia w poprzednich punktach są prawdziwe tylko gdy zbiór X jest nieprzeliczalny T

145) Które z następujących zdań jest zapisem w języku naturalnym formuły A_{n ε N} A_{m ε N} (n < m → a_{m} < a_{n}) ?
   a) Ciąg \{a_{n}\} jest malejący.
   b) Ciąg \{a_{n}\} jest rosnący. T
   c) Ciąg \{a_{n}\} jest ograniczony.

146) Czy f \cdot f = f , jeśli:
   a) f: R → R, f(x) = 0
   b) f: R → R, f(x) = x
   c) f: R → R, f(x) = 2x

147) Które funkcje są jednocześnie "1-1" i "na":
   a) f: R → R, f(x) = (x2+1)1/2
   b) f: R → R, f(x) = x2003
   c) f: R → R, f(x) = x4

148) Ile elementów ma zbiór \{Ø,\{X\},P(X)\} jeśli X jest zbiorem n elementowym.
   a) n+2, jeśli n > 1
   b) 3
   c) 1+n+2^{n}

149) Które z następujących zdań jest zapisem w języku naturalnym formuły \neg Ε_{x ε R}: x^2 < 0 ?
   a) Nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat byłby mniejszy od zera.
   b) Nie istnieje najmniejsza liczba rzeczywista.
   c) 0 nie jest kwadratem żadnej liczby rzeczywistej.

150) Ustal prawdziwość następujących zdań dla dowolnych zbiorów A, B:
   a) Jeśli A ma n elementów to P(A) ma n^2 elementów.
   b) Jeśli A \subset B to P(A) \subset P(B) .
   c) A ε P(A)

151) Niech A=\{a,b,c\} oraz B= Ø . Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
   a) P(A \times B) < P(A) \cdot P(B)
   b) |P(A \times B)| = 2^3
   c) |P(A) \times P(B)| = 2^3

152) Które z następujących zdań jest zapisem w języku naturalnym formuły Ε_{x} A_{n ε N} |a_{n}| < x ?
   a) Ciąg \{a_{n}\} jest malejący. T
   b) Ciąg \{a_{n}\} jest rosnący.
   c) Ciąg \{a_{n}\} jest ograniczony. T

153) Która z następujących liczb jest kresem górnym lub dolnym zbioru X=\{n ε N^+:4+(-1)^{n-1}n^{-1}\}
   a) 4
   b) 5
   c) 3.5

154) Niech A = {1, 2, 3, 4, 5}. Niech S będzie zbiorem wszystkich podzbiorów A. Definiujemy w S relację r : X r Y wttw., gdy X \cap Y = {1,2,4}. Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe?
   a) r jest relacją przeciwzwrotną
   b) r jest relacją symetryczną
   c) r jest relacją spójną

155) Jeżeli a,b są w relacji BRAT^{-1}\cap SIOSTRA , to wynika z tego, że
   a) b nie jest płci żeńskiej
   b) a i b są różnej płci
   c) a=b

156) Funkcja f : N → N jest określona wzorem f(n) = [n/3]. Czy f jest
   a) funkcją różnowartościową? T
   b) odwzorowaniem zbioru N na zbiór N?
   c) Czy f^{ - 1}({1}) zawiera 1 element? T

157) Czy suma \sum_{i = 0}^{101} {( - 1)^i} jest równa
   a) 1
   b) -1 T
   c) 3

158) Czy suma \sum_{i=1}^{n} i^2 jest równa:
   a) n^2
   b) n(n+1)(2n+1)\over 6
   c) n(n+1) \over 2

159) Czy następujące stwierdzenia są prawdziwe dla każdego zbioru A, B ?
   a) (A ∩ B = A )↔ B\subset A
   b) (A ∩ B) \cap B = B → A = B
   c) A \oplus B = Ø ↔ A = B

160) Niech S=\{1,2,\{1,2\}\} . Który z następujących zbiorów jest podzbiorem 2^{S} ?
   a) \{Ø\}
   b) \{\{1,2\}\}
   c) \{\{1,2\},\{2\}\}

161) \sum_{i=1}^{n} 2^{-i} wynosi:
   a) 2^{-in} N
   b) 1-2^{-n} N
   c) 1-2^{-n-1} N

162) Niech A=\{\{\{Ø\}\},\{Ø\},2,\{Ø,3,4\},3\} . Które z następujących zdań jest prawdziwe ?
   a) Ø ε A
   b) \{2,3\} ε A
   c) Ø \subseteq A

163) Niech X=(A \cap B) ∩ (A \cap C) ∩ (B \cap C), Y=((A \ B) \cap C) . Czy zawsze zachodzi:
   a) X \subseteq Y
   b) X \oplus Y \subseteq B
   c) X \cap Y \subseteq C

164) Które z podanych niżej wyrażeń są tautologiami rachunku zdań?
   a) [(p → q) Λ (p → \neg q)] → \neg p
   b) (p → q) ↔ (\neg p → \neg q)
   c) (p → q) ↔ (\neg q → \neg p)

165) Relacja BRAT\cdot SIOSTRA JEST
   a) Przeciwzwrotna
   b) antysymetryczna
   c) pusta

166) Rozważamy słowa nad alfabetem \{ a, b, c \} . Liczba słów o długości 10, w których a występuje dokładnie 3 razy jest
   a) 10 \choose 3
   b) 10 \choose 3 \cdot 2^7
   c) 2^7

167) Rozważamy słowa nad alfabetem \{ a, b, c \} . Liczba słów o długości 10, w których pierwsza litera i ostatnia litera są różne, jest
   a) 3^8 N
   b) 3^{10} - 3^9 N
   c) 3^8 \cdot 2 N

168) Które z natępujących wyrażeń są tautologiami rachunku zdań?
   a) [(p → q) Λ \neg p] → q
   b) [(p → q) Λ \neg q] → p
   c) (p → q) ↔ (\neg p Λ q)

169) Rozważamy słowa nad alfabetem \{ a, b, c \} . Liczba słów o długości 10, które zawierają 2 litery a , 3 litery b i 5 liter c jest
   a) 10 \choose 2 \cdot 10 \choose 3 \cdot 10 \choose 5
   b) 10 \choose 2 \cdot 8 \choose 3 \cdot 5 \choose 5
   c) 10! \over {2! \cdot 3! \cdot 5!}

170) Czy dla dowonych zbiorów A, B, C następujący zbiór (A \ B) \cap (A ∩ B)
   a) A \ B
   b) (A \ B) \cap A
   c) (A\ B) ∩ A

171) Czy suma \sum_{i = 1}^n 3 jest równa
   a) 3n T
   b) 3
   c) 3^n

172) Dany jest zbiór A = \{ \{Z\}, Q, Ø \} , gdzie Q (odp. Z) jest zbiorem liczb wymiernych (odp. całkowitych). Ustal prawdziwo�ć następujących zdań:
   a) \{Ø\} \subseteq A
   b) \{Z\} ε A
   c) Q ε A

173) Ile elementów ma zbiór \{Ø,\{X\},P(X), \{Ø\}\} je�li X jest zbiorem n elementowym
   a) n+3, je?li n > 1
   b) 4
   c) n^2


Wyszukiwarka