3. Funkcje rzeczywiste i zmienne.
Def. Funkcja określoną na zb X o wart w zb Y nazywamy przyporządkowanie każdemu el
Def. Niech X nazywamy dziedziną funkcji f i ozn ją Df. El dziedziny nazywamy argumentami. Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f i oznaczamy
Zb Wf :=
Def. Wykresem funkcji
Def. Jeżeli dla funkcji f zachodzi Df
U. Wykres funkcji
Def. Niech A
Def. Funkcja
Def. Funkcja
Def. Funkcja
Funkcja U. Wykres funkcji parzystej jest symetryczny wzg osi Oy. Wykres funkcji nieparzystej jest sym wzg środka układu.
Def. Funkcja Funkcje rosnącą i malejącą nazywamy funkcją silnie monotoniczną a funkcje niemalejącą i nierosnącą funkcją słabo monotoniczną.
Def. Funkcję
Def. Funkcję
Def. Funkcję
U. Funkcja
Obs. Funkcja f jest silnie mon
Def. Niech
g U. Składanie funkcji nie jest operacją przemienną.
Def. Niech
1. Funkcję g nazywamy wtedy funkcją odwrotną do funkcji f i ozn f-1
Obs. Funkcja
Obs. Funkcje 1. Wf=Dg i Wg=Df 2. wykresy Gf i Gg są sym wzg prostej y=x
Def. Pierwiastkiem (miejscem) zerowym funkcji Def. Funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje, które można otrzymac z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji składania funkcji.
Def. Wielomianem nazywamy f.W:R
U. Każdy wielomian jest skończona sumą iloczynu funkcji stałych przez funkcje potęgowe, a zatem f. elementarną.
Def. Mówimy że wielomian jest podzielny przez wielomian V jeżeli istnieje wielomian P taki że W(x)=V(x)P(x) Def. Wielomian nazywamy nierozkładalnym jeżeli nie jest podzielny przez żaden inny wielomian.
Tw. (dzielenie wielomianów z resztą), Niech W,V- wielomiany takie że degV Def. Wielomian R nazywamy resztą z dzielenia W przez V
Def. Funkcje wymierne nazywamy funkcję postaci Q(x)=L(x)/M(X), gdzie L i M są wielomianami, M U. Każda funkcja wymierna jest ilorazem dwóch wielomianów (funkcji El) więc jest funkcją elementarną. Def. Funkcje wymierną nazywamy właściwą gdy deg L<deg M. Tw. Każdą f wymierną można przedstawić w postaci sumy wielomianów i f wymiernej wł.
Def. Funkcję wym postaci
Def. Funkcję wym postaci 4. Ciągi
Def. Ciągiem nazyw dowolną funkcję określona na N. Jego wartość dla Arg Def. Ciągiem liczbowym nazyw dowolny ciąg o wart w R
Def. Ciąg (an)
Def. Ciąg (an) Ciąg rosnący lub malejący nazywamy ciągiem silnie mon a niemalejący lub nierosnący ciągiem słabo mon.
Def. Mówimy że ciąg (an) jest zbieżny do liczby g (zmiana do g, ma granicę g), jeżeli:
Def. Mówimy, że ciąg (an) jest zbieżny do /
Def. Niech (an) będzie dow ciągiem oraz niech (kn) będzie dowolnym rosnącym ciągiem liczb nat. Ciag bn=akn Tw. Ciąg zbieżny nie może mieć dwóch różnych granic. Tw. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Nie każdy ogr jest zbieżny. Tw. Każdy ciąg mon i ograniczony jest zbieżny. Tw. (o 3 ciągach) Niech (an),(bn),(cn) będą ciągami takimi że:
1. an Tw. (o 2 ciągach) Niech (an), (bn)- ciągi
1. an
2.
Def. Ciąg (an) nazywamy arytmetycznym jeżeli
Obs. an- arytm
Def. Ciąg (an) nazywamy geometr jeżeli
Obs. An- geom
Obs. |q|<1
q>
g=1
5. Granica funkcji
Def. Otoczeniem pkt x0
Def. Sąsiedztwem pkt x0
Def. Sąsiedztwem /prawostronnym/ lewostronnym/ x0
Def. Sąsiedztwem /
Def. Niech
(def. Heinego)
(def. Cauchyego)/
Def. Załóżmy że
(def. Heinego)
(def. Cauchyego)/ U. analogicznie definiuje się granice lewostronną funkcji w pkt.
Def. Załóżmy że
Albo f(x)
(def. Heinego)
(def. Cauchyego)/
U. Analogicznie definiujemy granice w
Tw. (o granicach funkcji złożonej) Niech f,g
1.
Tw. (o trzech funkcjach) Niech f,g,h,
1. f(x)
Wtedy
Tw. (o dwóch funkcjach) Niech f,g
1. f(x)<g(x) Tw. (o zachowaniu nierówności w granicy)
f(x)
f(x) 6. Ciągłość funkcji
Def. Funkcja
1. f jest określona w x0 (x0
Def. Funkcja
1.f jest określona w x0 2.f ma granice /prawostr/ lewostr/ w x0 3.
Obs. F jest ciągła w x0
Def. F
Tw. (o ciągłości f. odwrotnej), Niech
Tw. (o lokalnym zachowaniu znaku), Niech
Tw. Weierstrassa (o przyjmowaniu kresów), f: U. bez założenia domkniętości lub ograniczoności dziedziny albo ciągłości teza nie musi być spełniona.
Tw. Darboux (o przyjmowaniu wart pośrednich), Niech f:
Tw, Darboux (o miejscach zerowych funkcji), Niech f: 7. Pochodna funkcji
Def. Niech Def. Niech f,g będą funkcjami których wykresy przecinaja się w pkt (x0,y0), różniczkowalnymi w pkt x0. Kątem przecięcia wykresów funkcji f i g nazywamy mniejszy z katów φ między stycznymi do wykresów tych funkcji w pkt. Ich przecięcia.
Obs. Miara kąta przecięcia wykresów f i g wyraża się wzorem Def. Normalną do wykresu f w pkt x0 nazywamy prostą prostopadłą do stycznej do wykresu f w pkt styczności (x0,f(x0))
Obs. Równanie normalnej do wykresu f w pkt. x0 wyraża się wzorem
|
Def. Niech
Def. Jeśli
Tw. (o pochodnej złożonej) niech f będzie funkcją różniczkowalną w pkt x0, a g- funkcją różniczkowalna w pkt f(x0). Wtedy
Tw. ( o pochodnej f odwrotnej) Niech 1. f jest ciągła w pewnym otoczeniu V(x0,r) 2. f jest silnie monotoniczna na V(x0,r) 3. f jest różniczkowalna w pkt x0 4. f'(x0) ≠0
Wtedy (f -1)'(y0)=
Tw. Rolle'a- Niech
Tw. Lagrange'a- niech Tw. (Reguła de L'Hospitala) Niech f,g będą funkcjami spełniającymi warunki
1a.
1b.
2. Istnieje
Def. Def.
Tw. (wzór Leibniza) Jeśli f,g są n-krotnie różniczkowalne w x0 to ich iloczyn również zachodzi wzór: Def.
F jest n- krotnie różniczkowalną w pkt x0. Wielomian Dla x0=0 wielomian ten będziemy nazywać wielomianem Mclarina. Wyrażenie Rn(x)=f(x)-fn-1(x) nazywamy n-tą resztą Lagrange'a.
Tw. (Wz Taylora z resztą Lagrange'a) Jeśli f jest funkcją ciągłą f jest n-krotnie różniczkowalna na przedziale
Tzn. 8. Badanie przebiegu zmienności funkcji
Def. Prosta x=a jest asymptotą pionową /lewostr/ prawostr/ funkcji f, jeżeli Def. Prosta x=a jest asymptota pionową funkcji f jeżeli jest jednocześnie jej asymptotą pionową lewo- i prawostronną.
Def. Prosta y=a jest asymptotą poziomą funkcji f, jeżeli Obs. Aby funkcja mogła mieć asymptotę poziomą musi być określona w pewnym sąsiedztwie +∞ lub -∞.
Def, Prosta y=ax+b a≠0 jest a.ukośną funkcji f jeżeli Obs. Aby f mogła mieć a.ukośną musi być określ w pewnym sąsiedztwie +∞ lub -∞
Tw. (Warunki wystarczające monotoniczności funkcji) Niech I będzie przedziałem
1. f'(x)=0
3. f'(x)≥0
5. f'(x)≤0
Def. Funkcja Tw. Fermata (warunek Kon istnienia eks) Jeśli f jest różniczkowalna w x0 i ma w x0 ekstremum lokalne (słabe), to f'(x0)=0
Tw. (I war wyst ist eks) Jeżeli
1.
2.
Tw. (II war wyst ist eks) Jeżeli
1. n jest parzyste i f(n)(x0)<0
2. n jest parzyste i f(n)(x0)>0
3. n jest nieparzystei f(n)(x0) ≠0
Def. F ma w x0
Def. Funkcję U. funkcja jest wypukła jeżeli odcinek dowolnej siecznej jej wykresu między pktmi jej przecięcia z wykr funkcji leży nad tym wykresem, a wklęsła jeżeli leży pod wykresem funkcji.
Tw. (warunki wystarczające wklęsłości i wypukłości) Jeżeli
Def. Niech
Tw. (warunek konieczny istnienia pkt przegięcia) Jeśli f”(x0) istnieje i f ma w (x0,f(x0)) pkt przegięcia
Tw. (warunek wystarczający istnienia pkt przegięcia) Niech 9. Całka nieoznaczona.
Def. Funkcję
Tw. Niech Tw. Jeśli f jest f ciągłą na przedziale I, to ma f pierwotną n I.
Def. Całką nieoznaczona funkcji f nazywamy rodzine wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f Def. Funkcją całkowalną nazywamy funkcje która posiada pierwotną. Zbiór funkcji całkowalnych na przedziale I oznaczać będziemy S(I).
Tw. Niech f'
Tw. (liniowość całki nieoznaczonej)
Tw. (całkowanie przez części)
Tw. (Całkowanie przez podstawianie) Niech 10. Całka oznaczona
Def. Podziałem odcinka
Def. Ciąg {Pn}m
Def. Powiemy, że funkcja f jest całkowalna (w sensie Riemana) na przedziale
Def. Jeżeli funkcja f jest całkowalna (w sensie Riemana) na przedziale
U. Przyjmujemy że Własności całki oznaczonej:
Tw. Każda funkcja ciągła na przedziale
Tw. (liniowość całki ozn)
Tw. Newtona- Lecbriza (I główne tw. Rachunku całkowego)
Tw. (całkowanie przez części) Niech
Tw. (całkowanie przez podst)
Tw. (II główne tw rachunku całkowego) Zast całki oznaczonej w geometrii.
Tw.
U. Jeżeli f przyjmuje także wart ujemne to
Tw. (dł. Krzywej) Niech
Tw. (obj bryły Obr)
Tw. (pole pow. Bryły Obr) Niech 10. Całka niewłaściwa
Def.
Def.
|
|
|