Tematy/pytania na egzamin ustny z topologii 2010
Niech X będzie dowolnym zbiorem. Metryką w zbiorze X nazywamy funkcję d:X×X→R spełniającą warunki:
1. d(x,y) ≥ 0, d(x,y) = 0 ⇔ x = y
2. d(x,y) = d(y, x)
3. d(x,y) + d(y, z)≥d(x, z)
Zbiór X z ustaloną metryką nazywamy przestrzenią metryczną i oznaczamy (X,d).
Niech (X,d) przestrzeń metryczna, przestrzeń (Y,d|Y×Y) gdzie Y⊂X nazywamy podprzestrzenią.
Kulą otwartą o środku x∈X i promieniu r (r>0, r∈R) nazywamy zbiór B(x,r) = {yϵX : d(x,y) > r}
Punkt a jest punktem wewnętrznym zbioru A jeśli istnieje kula B(a,r)⊂A.
Punkt x0 jest punktem brzegowym zbioru A jeśli każda kula B(x0,r) zawiera punkty należące do A i punkty należące do X-A. Zbiór punktów brzegowych zbioru A nazywamy brzegiem zbioru A.
Punkt x0 jest punktem granicznym zbioru A jeśli istnieje an∈A, an→x0.
Punkt x0 nazywamy punktem skupienia zbioru A jeśli istnieje ciąg punktów an∈A, an→x0, an≠x0.
Punkt, który należy do zbioru A i nie jest punktem skupienia zbioru A nazywamy punktem izolowanym zbioru A.
Zbiór A jest otwarty jeśli xϵAr > 0 B(x, r)A
Zbiór A jest domknięty jeśli zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.
Zbiór A jest brzegowy jeśli A nie zawiera żadnej kuli.
Zbiór A⊂X nazywamy gęstym jeśli każda kula w X zawiera punkt zbioru A. (inaczej: jeśli Ā=X)
Dowód: $\overset{\overline{}}{A} = A \cup A^{'},\ A$ jest gesty jeśli każdy punkt X albo należy do A, albo jest punktem skupienia A. Jeśli xϵA′ to każda kula B(x, r) zawiera punkt zbioru A. Więc jeśli A gęsty to każda kula B(x,r) zawiera punkt zbioru A, bo albo xϵA i xϵB(x, r), albo xϵA′ i xϵB(x, r). Odwrotnie przyjmiemy, że każda kula B(x, r) zawira punkt zbioru A wtedy albo xϵA albo xϵA′.
W przestrzeni dyskretnej jedynym zbiorem gęstym jest cała przestrzeń.
Niech (X,d) przestrzeń metryczna, A⊂X, odległość punktu x od zbioru A d(x,A) = inf{d(x,a) : aϵA}
Niech (X,d) przestrzeń metryczna, A,B⊂X odległość zbiorów A i B d(A,B) = inf{d(a,b) : aϵA, bϵB}
Niech (X1,d1), (X2,d2) przestrzenie metryczne i niech f:X1→X2 będzie funkcją. f jest funkcją ciągłą ciągła w x0 jeśli d1(xn,x0)→0 ⇒ d2(f(xn),f(x0))→0.
Funkcja f jest ciągła ⇔ przeciwobraz każdego zbioru domkniętego jest domknięty (otwartego jest zbiorem otwartym).
Dowód: Przypuśćmy, że f ciągła i B domknięty w X2. Wtedy X2 − B otwarty w X2 ⇒ f−1(X2 − B)=X1 − f−1(B) otwarty w X1 f−1(B) domknięty w X1.
Niech f:A→R, ∅≠B⊂A. Funkcja f jest ciągła jednostajnie na zbiorze B jeśli spełniony jest warunek:
ε > 0δ > 0xϵByϵA d1(x, y)<δ ⇒ d2(f(x), f(y))<ε
Ciąg {an} zbieżny ε > 0Nn > N d(xn,x0) < ε
Ciąg {an} jest ograniczony: α > 0nϵN |xn|≤α
Zbiór A jest ograniczony, jeżeli istnieje kula B(x,r) zawierająca A.
Dowód: (⇒) Przypuśćmy, że A ograniczony, diamA < N. Wybierzmy xϵAB(x,N). Jeśli aϵA to d(x,a) ≤ diamA < N ⇒ aϵB(x, N). (⇐) Przypuśćmy, że AB(y, r). Pokażemy, że diamA ≤ r d(a1,a2) ≤ d(a1,y) + d(y,a2) < 2r ⇒ diamA ≤ 2r.
Jeśli xn→x0 to zbiór {x1,x2,...} jest ograniczony.
Dowód: ε > 0Nn > N xnϵB(x0, ε), r = max{d(x0,xi) : i = 1, 2, …, N, ε}. Wtedy n xnϵB(x0,r).
Przestrzeń X jest całkowicie ograniczona jeśli dla każdego ε > 0 istnieje skończona ε − siec.
Funkcja f:X→Y jest ograniczona jeśli f(X) jest zbiorem ograniczonym.
Ciąg {xn}∈X jest ciągiem Cauchy jeśli ε > 0Nl, k ≥ N d(xl, xk)<ε
Każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy.
Dowód: Niech xn → x0 wtedy δ > 0Nn ≥ N d(xn,x0) < δ (*). Chcemy pokazać, że ε > 0Nl, k ≥ N d(xl, xk)<ε. Weźmy $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$, dla takiego δ istnieje N spełniające (*) wtedy dla k, l ≥ N d(xl,xk) ≤ d(xl,x0) + d(x0,xk) < 2δ = ε.
Każdy ciąg Cauchy jest ograniczony.
Dowód: Przyjmijmy, że {xn} ciąg Cauchy. Weźmy ε = 1 Nl, k ≥ N d(xl, xk)<ε tzn. xlϵB(xk, 1). Niech r = max{d(x1,xk), d(x2,xk), …, d(xl,xk)}. Wtedy kula B(xk, r + 1) zawiera wszystkie xn.
Przestrzeń (X,d) nazywamy zupełną jeśli każdy ciąg Cauchy w X jest zbieżny.
Twierdzenie Baire’a
(X,d)≠∅ przestrzeń zupełna, An ciąg zbiorów domkniętych i brzegowych. Wtedy $A = \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_{n}$ też jest zbiorem brzegowym, nie zawiera żadnej kuli więc nie jest przestrzenią.
Przestrzeń (X,d) jest ośrodkowa jeśli istnieje zbiór gęsty przeliczalny.
Przestrzeń (X,d) metryczna jest zwarta jeśli każdy ciąg xn∈X posiada podciąg zbieżny xnk → x0.
Obraz przestrzeni zwartej przez funkcję ciągłą jest zwarty.
Dowód: Chcemy pokazać, że A = f(X) jest zwarte. Niech anϵA, nxnϵX f(xn) = an. Ciąg xnϵX, X jest zwarte więc istnieje xnk → x0. Funkcja f jest ciągła więc f(xnk) → f(x0) = ank → a0ϵf(x). Więc znaleźliśmy podciąg ciągu {an} zbiezny w A ⇒ A jest zwarte.
Jeśli (X,d) przestrzeń zwarta i f:X→R ciągła to f jest ograniczona przyjmuje wartość min i max.
Jeśli (X,d) zwarte i f:X→Y ciągła to f jest ciągła jednostajnie.
Przestrzeń (X,d) jest spójna jeśli nie jest sumą swoich dwóch podzbiorów otwartych, niepustych i rozłącznych.
Podzbiór P przestrzeni spójnej X jest spójny ⇔ P jest przedziałem.
Jeśli $A = \bigcup_{\text{iϵI}}^{}A_{i}$ i $\bigcap_{\text{iϵI}}^{}{A_{i} \neq \varnothing}$ i każdy Ai jest spójny to A jest spójny.
Dowód: Przypuśćmy, że A = B1 ∪ B2, B1, B2 domknięte i B1 ∩ B2 = ⌀. Pokażemy, że B1 = ⌀ lub B2 = ⌀, a0ϵA = B1 ∪ B2. Niech a0ϵB1. Pokażemy, że B2 = ⌀, AiA = B1 ∩ B2 wiec Ai = (B1∩Ai) ∪ (B2 ∩ Ai). Zbiór B1 ∩ Ai i B2 ∩ Ai są domknięte w Ai, tzn., że jeśli xϵAi i jest punktem skupienia zbioru B1 ∩ Ai to należy do B1 ∩ Ai. Ciąg anϵB1 ∩ Ai, an → x. anϵB1, an → xϵA, B1 domknięte więc xϵB1 ⇒ xϵB1 ∩ Ai. Ai spójna, a0ϵB1 ∩ Ai wiec B2 ∩ Ai = ⌀ dla każdego i. Więc B2 nie zawiera żadnych punktów, B2 = ⌀.
Jeśli A jest zbiorem spójnym w przestrzeni X i A⊂B⊂Ā to B jest spójne.
Dowód: Przypuśćmy, że B = B1 ∪ B2, B1, B2 rozłączne i domknięte w zbiorze B. Wtedy B1 ∩ A i B2 ∩ A są domknięte w A, rozłączne i A = A1 ∪ A2. Ponieważ A jest spójne to A1 lub A2 jest puste. Np. A1 jest puste, wtedy A2 = A = B2 ∩ A. Stąd $AB_{2}\overset{\overline{}}{A}$. Chcemy pokazać, że B1 = ⌀ (czyli B = B2), B2 jest zbiorem domkniętym w B. $AB_{2}B\overset{\overline{}}{A}$. Jeśli xϵB to $\text{xϵ}\overset{\overline{}}{A}$ więc x jest punktem skupienia zbioru A. Jeśli xϵB − B2 ⇒ xA, $\text{xϵ}\overset{\overline{}}{A} \Rightarrow x$ jest punktem skupienia zbioru A ⇒ x jest punktem skupienia zbioru B2⇒ xϵB2 bo B2 domknięte w B. Nie ma punktów zbioru B, które nie należą do B2, B = B2, B1 = ⌀.
Ciągły obraz przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną.
Dowód: Chcemy pokazać, że f(X) jest zbiorem spójnym. Przypuśćmy, że f(X) = B1 ∪ B2 zbiory domknięte i rozłączne. Pokażemy, że B1 = ⌀ lub B2 = ⌀ X = f−1(B1)∪f−1(B2) suma zbiorów rozłącznych i domkniętych. Pokażemy, że f−1(B1) domknięty. Niech x0 punkt skupienia zbioru f−1(B1), xnϵf−1(B1), xn → x0. Wtedy f(xn)→f(x0), f(xn)ϵB1, f(x0)ϵf(X). f(x0) jest punktem skupienia zbioru B1 w f(X), B1 domknięty w f(X) więc f(x0)ϵB1. Więc x0ϵf−1(B1)⇒f−1(B1) domknięty, X spójne więc f−1(B1) = ⌀ lub f−1(B2) = ⌀ ⇒ B1 = ⌀ lub B2 = ⌀.
Przestrzeń X jest lokalnie spójna jeśli xϵXε > 0AX A − spojny, diamA < ε i xϵIntA
Składową spójności punktu x∈X jest suma wszystkich zbiorów spójnych w X zawierających punkt x. Jest największym zbiorem spójnym zawierającym X.
(X1,d1), (X2,d2) – przestrzenie metryczne, iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych to X=(X1×X2,d) $d\left( \left( x_{1},x_{2} \right),\left( y_{1},y_{2} \right) \right) = \sqrt{d_{1}({x_{1},y_{1})}^{2} + d_{2}({x_{2},y_{2})}^{2}}$ - metryka produktowa
Iloczyn kartezjański przestrzeni zupełnych jest przestrzenią zupełną.
Dowód: (xn, yn)ϵX × Y. Przypuśćmy, że (xn, yn) ciąg Cauchy ε > 0Nl, k ≥ N d((xl,yl), (xk, yk)) < ε, $d_{1}(x_{l},x_{k}) = \sqrt{{d_{1}(x_{l},x_{k})}^{2}} \leq \sqrt{{d_{1}(x_{l},x_{k})}^{2} + {d_{2}(y_{l},y_{k})}^{2}} < \varepsilon$, xn ciąg Cauchy w X, $d_{2}(y_{l},y_{k}) = \sqrt{{d_{2}(y_{l},y_{k})}^{2}} \leq \sqrt{{d_{1}(x_{l},x_{k})}^{2} + {d_{2}(y_{l},y_{k})}^{2}} < \varepsilon$, yn ciąg Cauchy w Y. Stąd xn → x0, yn → y0 ⇒ (xn,yn) → (x0, y0). Czyli X × Y jest przestrzenią zupełną.
Iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenią zwartą.
Dowód: Ciąg punktów w X × Y (xn,yn), xnϵX, ynϵY. Chcemy znaleźć podciąg zbieżny xnϵX, więc istnieje xnks → x0, ynϵY ⇒ ynks → y0. xnks jest podciągiem xnk, ynks jest podciągiem ynk. Wtedy (xnks,ynks) → (x0, y0). Zatem iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych jest zwarty.
Iloczyn kartezjański przestrzeni całkowicie ograniczonych jest przestrzenią całkowicie ograniczoną.
Iloczyn kartezjański przestrzeni spójnych jest przestrzenią spójną.
Iloczyn kartezjański przestrzeni ośrodkowych jest przestrzenią ośrodkową.
Funkcja g:(X,d1)→(Y×Z,d) jest ciągła ⇔ g1:X→Y i g2:X→Z są ciągłe.
Dowód: Przypuśćmy, że g ciągła, xn → x0 to g(xn) → g(x0) ⇔ (g1(xn),g2(xn)) → (g1(x0),g2(x2)) ⇔ g1(xn) → g1(x0), g2(xn) → g2(x0).
X jest przestrzenią normalną jeśli każdy zbiór jednopunktowy jest domknięty i dla każdych dwóch zbiorów domkniętych A, B rozłącznych istnieją C, D takie, że A⊂C, B⊂D i C∩D=∅.
Przykładowe zadania na egzamin pisemny z topologii
Udowodnić, że ciąg Cauchy jest ograniczony.
Dowód: Przyjmijmy, że {xn} ciąg Cauchy. Weźmy ε = 1 Nl > N d(xl,xN) < ε, tzn. xlϵB(xN,1). Niech r = max{d(x1,xN), d(x2,xN),…,d(xn,xN)}. Wtedy kula B(xN,r+1) zawiera wszystkie xn.
Udowodnić, że ciąg ma najwyżej jedną granicę.
Dowód: Przypuśćmy, że ciąg {xn} ma dwie granice g1, g2ϵR, g1 ≠ g2. Weźmy liczbę $\varepsilon = \frac{g_{2} - g_{1}}{3}$ i rozważmy otoczenia liczb g1, g2 o promieniu ε. Zgodnie z definicją w otoczeniu g2 w przedziale (g2 − ε, g2 + ε) znajdują się prawie wszystkie wyrazy tego ciągu, a więc w przedziale (g1 − ε, g1 + ε) znajduje się tylko ich skończona ilość. Zatem g1 nie może być granicą ciągu {xn}.
Udowodnić, korzystając tylko z definicji, że jeśli F jest taką funkcją dla której przeciwobraz każdego zbioru otwartego jest otwarty to obraz każdego ciągu zbieżnego jest zbieżny.
Dowód: Niech (X,d1), (Y, d2) przestrzenie metryczne. Niech F : X → Y taka, że otwartego VY F−1(V) otwarty w X. Niech {xn}X taki, że xn → xoϵX. Pokazać, że f(xn) zbieżny w Y do f(x0). Ze zbieżności B(f(x0), ε)Y dla dowolnego ε > 0 i B(f(x0), ε) jest zbiorem otwartym. Zatem f−1(B(f(x0),ε)) jest otwarty, zatem istnieje δ > 0 takie, że B(x0,δ)f−1(B(f(x0),ε))X, a stąd f(B(x0,δ))B(f(x0), ε). Ponieważ xn → x0 więc istnieje N takie, że jeśli n ≥ N to xnϵB(x0, δ), ale wtedy f(xn)ϵB(f(x0), ε).
Udowodnić, że podzbiór zwarty przestrzeni metrycznej jest domknięty.
Dowód: Niech (X, d) przestrzeń metryczna, AX jest przestrzenią zwartą i anϵA, an → x0. Pokażemy, że x0ϵA. Ponieważ A zwarty więc istnieje podciąg ank → anϵA zatem an = x0ϵA.
Udowodnić, że jeśli F:X→Y jest funkcją ciągłą to jej wykres jest domknięty w iloczynie kartezjańskim przestrzeni X i Y.
Dowód: Niech (X,d1), (Y,d2) przestrzenie metryczne, F : X → Y funkcja ciągła. Pokażemy, że wykres F, tj. zbioru F = {(x,F(x))ϵX × Y : xϵX} jest domknięty w X × Y. Niech (x0, y0) będzie punktem skupienia F. Pokażemy, że (x0, y0)ϵF. Istnieje ciąg {(xn,yn)}F taki, że (xn,yn) → (x0,y0) oraz (xn,yn) ≠ (x0,y0) dla n = 1, 2, …. Ponieważ (xn,yn) → (x0,y0), więc xn → x0, yn → y0. Wiemy, że yn = F(xn) dla n = 1, 2, … zatem z ciągłości funkcji F wynika, że F(xn)→F(x0), czyli yn → F(x0), ale w przestrzeni metrycznej ciąg może mieć tylko jedną granicę więc y0 = F(x0), a to oznacza, że punkt (x0, y0)∈F.
Udowodnić, że jeśli F:X→Y jest jednostajnie ciągła to obraz ciągu Cauchy jest ciągiem Cauchy.
Dowód: Niech (X,d1), (Y, d2) przestrzenie metryczne, {xn}X ciąg Cauchy. F : X → Y jest jednostajnie ciągła tzn. ε > 0δ > 0x1, x2ϵX d1(x1,x2) < δ ⇒ d2(f(x1),f(x2)) < ε (1) {xn} jest ciągiem Cauchy w X tzn. α > 0Nl, k ≥ N d1(xl, xk)<α (2). Aby pokazać, że f(xn) jest ciągiem Cauchy ustalamy dowolne ε > 0. Istnieje takie δ > 0 takie, że zachodzi (1). Z (2) dla α = δ dobieramy N. Dla dowolnego l, k ∈ N, l, k ≥ N mamy: z (2) wynika, że d1(xl,xk) < δ, z (1) wynika, że d2(f(xl), f(xk).
Udowodnić, że suma dwóch zbiorów zwartych jest zbiorem zwartym.
Dowód: Niech A, B zwarte. Niech $\{\bigcup_{\alpha}^{}{\ :\alpha < k}\}$ będzie rodziną zbiorów otwartych pokrywających zbiór A ∪ B. Rodzina ta pokrywa zbiór A oraz zbiór B. Jeżeli A zwarty zatem istnieje podciąg {αnk} dla pewnego k takie, że rodzina $\{\bigcup_{\alpha_{n}}^{}{\ :n < k + 1}\}$ pokrywa zbiór A. Jeżeli B zwarty zatem istnieje podciąg {βnl} dla pewnego l takie, że rodzina $\{\bigcup_{\beta_{n}}^{}{\ :n < l + 1}\}$ pokrywa zbiór B. Zauważmy, że rodzina $\{\bigcup_{\alpha_{n}}^{}{\ :n < k + 1}\} \cup \{\bigcup_{\beta_{n}}^{}{\ :n < l + 1}\}$ pokrywa zbiór A ∪ B i jest skończoną podrodziną rodziny $\left\{ \bigcup_{\alpha}^{}{\ :\alpha < k} \right\}$. Zatem A ∪ B jest zwarty.
Udowodnić, że jeśli zbiory A i B są spójne i nie są rozłączne to ich suma jest spójna
(nie wolno korzystać z twierdzeń 29 z części pierwszej)
Dowód: Niech