Modelowanie wspomagające projektowanie maszyn PROJEKT	Politechnika Poznańska Instytut Mechaniki Stosowanej Zakład Mechaniki Technicznej	2014/2015
Imię i nazwisko	Wydział	Kierunek
Kamil Jakubczak Bartosz Góra	BMiZ	MiBM
	Semestr/Stopień	Grupa
	2 / II	KMiU
Temat projektu	Nr projektu	Prowadzący
Wyznaczanie wykresów ugięć	54	dr inż. P. Fritzkowski
oraz częstości i postaci drgań własnych	Data oddania	Ocena
dla ramy płaskiej
Opis projektu Dla ramy statycznie niewyznaczalnej przedstawionej na rysunku wykonać: 1. W rozwiązaniu analitycznym: Uwolnić układ od więzów i zaznaczyć lokalne układy współrzędnych {x, y} Napisać równania statyki Napisać warunki brzegowe i warunki zgodności Wyznaczyć reakcje Wykonać wykresy momentów gnących Dobrać przekrój poprzeczny dla ramy na podstawie warunku wytrzymałościowego Wykonać wykresy ugięć dla całej ramy 2. W rozwiązaniu metodą sztywnych elementów skończonych: Wprowadzić podział na części Wyznaczyć sztywności dla wszystkich części Wprowadzić EST i SES Przyjąć stopnie swobody, współrzędne uogólnione i prędkości uogólnione Napisać energię kinetyczną i potencjalną Wyznaczyć macierze bezwładności i sztywności Wyznaczyć ugięcie ramy, wynikające z zadanego obciążenia Wykonać wykresy ugięć dla całej ramy Wyznaczyć częstości i postaci drgań własnych układu Wykonać wykresy postaci drgań własnych dla kilku pierwszych częstości drgań własnych 3. Dodatkowo przeprowadzić analizę wpływu podziału (dyskretyzacji) ramy na wyniki obliczeń

Rozwiązanie metodą Sztywnych Elementów Skończonych

Podział na części:

Współczynniki sztywności każdego z elementów:

CN1=(EE*Ap)/ΔL1 – współczynnik wytrzymałości pierwszych elementów na rozciąganie

CT1=(GG*Ap)/(kt*ΔL1) – współczynnik wytrzymałości pierwszych elementów na ścinanie

CG1=(EE*Jz)/ ΔL1 – współczynnik wytrzymałości pierwszych elementów na zginanie

CN2=(EE*Ap)/ ΔL2 – współczynnik wytrzymałości drugich elementów na rozciąganie

CT2=(GG*Ap)/(kt*ΔL2) – współczynnik wytrzymałości drugich elementów na ścinanie

CG2=(EE*Jz)/ ΔL2 – współczynnik wytrzymałości drugich elementów na zginanie

CN3=(EE*Ap)/ ΔL3 – współczynnik wytrzymałości trzecich elementów na rozciąganie

CT3=(GG*Ap)/(kt*ΔL3) – współczynnik wytrzymałości trzecich elementów na ścinanie

CG3=(EE*Jz)/ ΔL3 – współczynnik wytrzymałości trzecich elementów na zginanie

CN4=(EE*Ap)/ ΔL4 – współczynnik wytrzymałości czwartych elementów na rozciąganie

CT4=(GG*Ap)/(kt*ΔL4) – współczynnik wytrzymałości czwartych elementów na ścinanie

CG4=(EE*Jz)/ ΔL4 – współczynnik wytrzymałości czwartych elementów na zginanie

CN1u=5*CN1; – współczynnik wytrzymałości utwierdzenia w początku ramy na rozciąganie

CT1u=5*CT1; – współczynnik wytrzymałości utwierdzenia w początku ramy na ścinanie

CG1u=5*CG1; – współczynnik wytrzymałości utwierdzenia w początku ramy na zginanie

CN4p=5*CN4; – współczynnik wytrzymałości podpory na końcu ramy na rozciąganie

CT4p=5*CT4; – współczynnik wytrzymałości podpory na końcu ramy na ścinanie

CG4p=0; – współczynnik wytrzymałości podpory na końcu ramy na zginanie

Wprowadzenie EST i SES:

Liczba stopni swobody:

Nss = 3 * Ne = 3 * (N1+N2+N3+N4+1) = 3 * (4+5+7+5+1) = 3 * 22 = 66 

Nss = 66

Kod generujący wektor współrzędnych uogólnionych:

Do[

{wq[3 * k − 2]=qx[k],

wq[3*k−1] = qy[k],

wq[3*k] = φ[k]},

{k, 1, Ne}]

Postać wektora współrzędnych uogólnionych – przemieszczenia w osiach X i Y oraz obrotów w płaszczyźnie XY:

{qx[1],qy[1],φ[1],qx[2],qy[2],φ[2],qx[3],qy[3],φ[3],qx[4],qy[4],φ[4],qx[5],qy[5],φ[5],

qx[6], qy[6], φ[6], qx[7], qy[7], φ[7], qx[8], qy[8], φ[8], qx[9], qy[9], φ[9], qx[10], qy[10], φ[10],

qx[11], qy[11], φ[11], qx[12], qy[12], φ[12], qx[13], qy[13], φ[13], qx[14], qy[14], φ[14],

qx[15], qy[15], φ[15], qx[16], qy[16], φ[16], qx[17], qy[17], φ[17], qx[18], qy[18], φ[18],

qx[19],qy[19],φ[19],qx[20],qy[20],φ[20],qx[21],qy[21],φ[21],qx[22],qy[22],φ[22]}

Kod generujący wektor sił uogólnionych:

Do[

 {wp[3 * k − 2]=fx[k],

wp[3*k−1] = fy[k],

wp[3 * k]=mφ[k]}, 

{k, 1, Ne}]

Postać wektora sił uogólnionych dla podanego wcześniej podziału ramy –
– kolejne wiersze odpowiadają wierszom wektora współrzędnych uogólnionych:

$$\{ 0, - \frac{\text{aq}}{8},0,0, - \frac{\text{aq}}{4},0,0, - \frac{\text{aq}}{4},0,0, - \frac{\text{aq}}{4},0,0, - \frac{\text{aq}}{8},0,$$

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, −F, 0,

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,

$$0,0,0,0,0,0,0, - \frac{\text{bq}}{10},0,0, - \frac{\text{bq}}{5},0,$$

$$0, - \frac{\text{bq}}{5},0,0, - \frac{\text{bq}}{5},0,0, - \frac{\text{bq}}{5},0,0, - \frac{\text{bq}}{5},0\}$$

Zapis energii potencjalnej sprężystości:

$$\text{Ep} = \frac{1}{2}*(\sum_{k = 1}^{N1}\left( CN1*\left( \text{xA}\left\lbrack k + 1 \right\rbrack - \text{xB}\left\lbrack k \right\rbrack \right)^{2} + CT1*\left( \text{yA}\left\lbrack k + 1 \right\rbrack - \text{yB}\left\lbrack k \right\rbrack \right)^{2} + CG1*\left( \varphi\left\lbrack k + 1 \right\rbrack - \varphi\left\lbrack k \right\rbrack \right)^{2} \right)$$

$$+ \sum_{k = N1 + 2}^{N1 + N2}\left( CN2*\left( \text{xA}\left\lbrack k + 1 \right\rbrack - \text{xB}\left\lbrack k \right\rbrack \right)^{2} + CT2*\left( \text{yA}\left\lbrack k + 1 \right\rbrack - \text{yB}\left\lbrack k \right\rbrack \right)^{2} + CG2*\left( \varphi\left\lbrack k + 1 \right\rbrack - \varphi\left\lbrack k \right\rbrack \right)^{2} \right)$$

$$+ \sum_{k = N1 + N2 + 1}^{N1 + N2 + N3 - 1}\left( CN3*\left( \text{xA}\left\lbrack k + 1 \right\rbrack - \text{xB}\left\lbrack k \right\rbrack \right)^{2} + CT3*\left( \text{yA}\left\lbrack k + 1 \right\rbrack - \text{yB}\left\lbrack k \right\rbrack \right)^{2} + CG3*\left( \varphi\left\lbrack k + 1 \right\rbrack - \varphi\left\lbrack k \right\rbrack \right)^{2} \right)$$

$$+ \sum_{k = N1 + N2 + N3 + 1}^{N1 + N2 + N3 + N4}\left( CN4*\left( \text{xA}\left\lbrack k + 1 \right\rbrack - \text{xB}\left\lbrack k \right\rbrack \right)^{2} + CT4*\left( \text{yA}\left\lbrack k + 1 \right\rbrack - \text{yB}\left\lbrack k \right\rbrack \right)^{2} + CG4*\left( \varphi\left\lbrack k + 1 \right\rbrack - \varphi\left\lbrack k \right\rbrack \right)^{2} \right)$$

+(CN2*(xA[N1+2]−yB[N1+1])²+CT2*(yA[N1+2]+xB[N1+1])²+CG2*(φ[N1+2]−φ[N1+1])²)

+(CN4 * (yA[N1+N2+N3+1]−xB[N1+N2+N3])² + CT4 * (xA[N1+N2+N3+1]+yB[N1+N2+N3])²

+CG4 * (φ[N1+N2+N3+1]−φ[N1+N2+N3])²)+(CN1u * xA[1]² + CT1u * yA[1]² + CG1u * φ[1]²)

+(CN4p * xB[Ne]² + CT4p * yB[Ne]² + CG4p * φ[Ne]²))

Obliczenie pochodnej energii potencjalnej po przemieszczeniach uogólnionych:

pEp = ∂_{WQ}Ep

Kod generowania macierzy sztywności:

Do[

{Do[

{mC[kw,kk]=Coefficient[pEp[[kw]],WQ[[kk]]]},

{kk, 1, Nss}]},

{kw, 1, Nss}]

Zapis wektora bezwładności:

k=1

wA[3*k-2]=m1k

wA[3*k-1]=m1k

wA[3*k]=J1k

Do[

{wA[3*k-2]=m1

wA[3*k-1]=m1

wA[3*k]=J1},

{k,2,N1}]

k=N1+1

wA[3*k-2]=m12

wA[3*k-1]=m12

wA[3*k]=J12

Do[

{wA[3*k-2]=m2

wA[3*k-1]=m2

wA[3*k]=J2},

{k,N1+2,N1+N2}]

k=N1+N2+1

wA[3*k-2]=m23

wA[3*k-1]=m23

wA[3*k]=J23

Do[

{wA[3*k-2]=m3

wA[3*k-1]=m3

wA[3*k]=J3},

{k,N1+N2+2,N1+N2+N3}]

k=N1+N2+N3+1

wA[3*k-2]=m34

wA[3*k-1]=m34

wA[3*k]=J34

Do[

{wA[3*k-2]=m4

wA[3*k-1]=m4

wA[3*k]=J4},

{k,N1+N2+N3+2,Ne-1}]

k=Ne

wA[3*k-2]=m4k

wA[3*k-1]=m4k

wA[3*k]=J4k

Polecenie rozwiązania liniowego równania ugięcia statycznego ramy – użycie macierzy sztywności MC i wektora sił uogólnionych WP z podstawionymi danymi:

WQs = LinearSolve[numMC, numWP];

Ugięcie statyczne poszczególnych SES:

{0.00000148403324748036, −0.000060122628366477284, −0.0008565217098124666,

0.000008904199484882162, −0.0007443514499637101, −0.004505465450492198,

0.00001632436572228396, −0.0023308660882572965, −0.006995319150580114,

0.000023744531959685762, −0.004461874836825017, −0.008470402244913574,

0.00010246853809133448, −0.006432510702039443, −0.009075034168358694,

−0.006878597162743456, −0.00102189490536133, −0.008768253062643413,

−0.006879034624108425, −0.0019355249074032763, −0.007673212257044223,

−0.006879472085473393, −0.002685346137335691, −0.005789911751561016,

−0.006879909546838362, −0.003184650028171333, −0.0031183515461938134,

−0.006880347008203331, −0.0033494109786012583,  0.00034146835905766537,

−0.006880659480606876, −0.003216498918423674,  0.0027812884880855896,

−0.006880971953010422, −0.0029124305145222253,  0.004766468962022089,

−0.006881284425413968, −0.0024702444884043538,  0.006297009780867255,

−0.006881596897817513, −0.0019256625272558075,  0.007372910944621075,

−0.006881909370221059, −0.0013144063182623342,  0.007994172453283585,

−0.006882221842624605, −0.0006721975486096804,  0.008160794306854765,

0.00007511957929970266, −0.006493359215955717,  0.007134403595983036,

0.00003587090421465957, −0.005096517399065743,  0.005651101508422104,

0.000027330212734978726, −0.003640252414504495, 0.004768240592646999,

0.000018789521255297876, −0.0023677438546065603, 0.004333485450473267,

0.000010248829775617025, −0.0011748490585093572, 0.004194500683716596,

0.000001708138295936171, −0.00029400583943541085,  0.004198950894192523}

Wykres ugięcia ramy pod wpływem obciążenia statycznego w odniesieniu to belki nieugiętej:

Wyznaczenie postaci i kwadratów częstości drgań własnych ramy przy pomocy funkcji Eigensystem:

rozw = Eigensystem[numZMC]

Wartości drgań własnych w odwrotnej kolejności:

{128459.18293305453,  119202.61081023372,  105079.10981338337,  99778.12645000397,  99391.40282294097,

97328.04731386401,  96702.03051949179,  93374.0458405322,  91722.37877143902,  87310.95069779916,

83722.07151046033,  80663.7029072566,  79042.17596664668,  76587.73220810358,  74128.14261508365,

69845.07312737602,  68648.97529924236,  68424.91742872453,  65688.1663141324,  65266.39677376112,

64515.16271236334,  62836.81532963897,  60296.3683910468,  58303.85869033581,  53790.754782343254,

48636.387195237556,  46539.593385551474,  41578.5648959315,  38364.133095476325,  36997.09802593814,

35953.04341842696,  35577.0154728696,  34946.7459525416,  34466.010521689524,  33370.20944117213,

33301.51355593985,  31914.39719985126,  31164.420104634926,  30344.48796354008,  29329.0673828962,

27698.22373810031,  26784.885777212756,  25813.882003101302,  24740.881335167433,  24114.747840657063,

22841.329016462565,  20878.23263143867,  18448.95854001643,  16485.478943752114,  15202.689346301562,

12874.78662017514,  11416.718461893699,  10527.789610436288,  8946.71672139489,  8110.1543836407,

7542.731114798285,  6482.989725796055,  5365.170070958722,  4848.472919877072,  4780.274628203378,

3591.131772099266,  2378.4501119457623,  1765.7976314594168,  1125.564257793941,  667.8768032124542,

163.40958188126916}

Wykresy 3 pierwszych postaci drgań własnych ramy w odniesieniu do nieruchomej belki:
- pierwsza postać drgań własnych
- druga postać drgań własnych
- trzecia postać drgań własnych